Bezoutova věta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 22. října 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Bezoutova věta říká, že zbytek dělení polynomu binomemje. $P(x)$ $(xa)$ $P(a)$

Předpokládá se, že koeficienty polynomu jsou obsaženy v nějakém komutativním kruhu s jednotou (například v oboru reálných nebo komplexních čísel ).

Důkaz

Vydělte polynom binomem se zbytkem : $P(x)$ $xa$

P(x)=(xa)Q(x)+R(x),

kde je zbytek. Protože , then není polynom stupně vyšší než 0, tedy konstanta, označíme jej . Nahrazení , protože , máme . $R(x)$ $\deg R(x)<\deg(xa)=1$ $R(x)$ $r$ $x=a$ $(aa)Q(a)=0$ $P(a)=R(x)=r$

Důsledky

Číslo je kořenem polynomu právě tehdy, je-li beze zbytku děleno binomem (z toho zejména vyplývá, že množina kořenů polynomu je totožná s množinou kořenů příslušné rovnice ). $A$ $p(x)$ $p(x)$ $xa$ $P(x)$ $P(x)=0$
Volný člen polynomu je dělitelný libovolným celočíselným kořenem polynomu s celočíselnými koeficienty (pokud je vedoucí koeficient 1, pak jsou všechny racionální kořeny také celé).
Nechť je celočíselná odmocnina redukovaného polynomu s celočíselnými koeficienty. Potom pro libovolné celé číslo je číslo násobkem . $A$ $Sekera)$ $k$ $A(k)$ $ak$

Aplikace

Bezoutova věta a její důsledky usnadňují nalezení racionálních kořenů polynomických rovnic s racionálními koeficienty.

Viz také

Základní věta algebry

Literatura

Kurz algebry Vinberg E. B. , - M . : Nakladatelství Factorial Press, 2002, ISBN 5-88688-060-7 .
Piotr Rudnicki (2004). "Malá Bézoutova věta (faktorová věta)" (PDF). Formalizovaná matematika. 12(1): 49–58.