Algebraická topologie

Algebraická topologie (zastaralý název: kombinatorická topologie ) je část topologie , která studuje topologické prostory jejich porovnáváním s algebraickými objekty ( skupinami , kruhy atd.), jakož i chováním těchto objektů při různých topologických operacích.

Základní metody

Metody algebraické topologie jsou založeny na předpokladu, že obecné algebraické struktury jsou jednodušší než topologické.

Důležitým nástrojem v algebraické topologii jsou tzv. homologní grupy (například simpliciální nebo singulární). Každý topologický prostor odpovídá v každé dimenzi své vlastní Abelovské homologní grupě a každé spojité zobrazení odpovídá skupinovému homomorfismu a složení zobrazení odpovídá složení homomorfismů a totožné zobrazení odpovídá identickému homomorfismu . V řeči teorie kategorií to znamená, že -tá grupa homologie je kovariantní funktor z kategorie topologických prostorů do kategorie abelovských grup. $X$ $n$ $H_{n}(X)$ $f:X\to Y$ $f_{*}:H_{n}(X)\až H_{n}(Y)$ $fg$ $f_{*}g_{*}$ ${\mathrm {id}}$ ${\mathrm {id}}_{*}$ $n$

Kromě různých teorií homologie ( mimořádná homologie , jako je teorie bordismu nebo teorie , se nyní staly velmi důležitými ), jsou homotopické grupy důležité pro algebraickou topologii . Z nich hlavní je tzv. fundamentální skupina , která na rozdíl od skupin všech ostatních dimenzí může být neabelovská. $K$ $\pi _{n}(X)$ $\pi _{1}(X)$

Příklad techniky

Jedním z klasických příkladů aplikace metod algebraické topologie je důkaz Brouwerovy věty o pevném bodu . Tvrzení věty je, že jakékoli spojité zobrazení uzavřené- rozměrné koule do sebe má pevný bod, to je . $n$ $f\colon D_{n}\to D_{n}$ $\exists x\colon f(x)=x$

Pro důkaz je použito následující lemma: nedochází k zatahování -rozměrné koule na její hranici, -rozměrná koule (takové spojité zobrazení , které pro všechny body hranice). Skutečně: pokud mapování nemá žádné pevné body, pak je možné sestrojit zobrazení koule na kouli tak, že pro každý bod koule nakreslíme paprsek, který vychází ven a prochází skrz (při absenci pevných bodů tyto jsou různé body); nechť je průsečík paprsku s koulí , a . Mapování je spojité, a pokud patří do koule, pak . Dosáhne se tedy stažení koule na kouli, což lemma není možné. Existuje tedy alespoň jeden pevný bod. $n$ $D_{n}$ $(n-1)$ $S_{{n-1}}$ $g:D_{n}\to S_{n-1},$ $g(x)=x$ $F$ $G$ $X$ $f(x)$ $X$ $y$ $S_{{n-1}}$ $g(x)=y$ $g(x)=y$ $X$ $g(x)=x$

K prokázání lemmatu se předpokládá, že takové stažení existuje . Pro vložení koule do koule platí následující vlastnost: složení mapování je shodné zobrazení koule (nejprve , pak ). Dále je ukázáno, že , a . Pak bude zobrazení zobrazením na 0, ale na druhou stranu, protože , máme — není nulový homomorfismus, ale identický izomorfismus. $G$ $i(x)=x$ $gi={\mathrm {id}}$ $i$ $G$ $H_{{n-1}}(S_{{n-1}})={\mathbf {Z}}$ $H_{{n-1}}(D_{n})=0$ $g_{*}:H_{{n-1}}(D_{n})\to H_{{n-1}}(S_{{n-1}})$ $gi={\mathrm {id}}$ $g_{*}i_{*}={\mathrm {id}}_{*}:{\mathbf {Z}}\to {\mathbf {Z}}$

Nealgebraické důkazy Brouwerovy věty jsou také známy, ale zavedení homologie okamžitě usnadnilo dokázat mnoho tvrzení, která se předtím zdála spolu nesouvisející.

Historie

Některé teorémy algebraické topologie již znal Euler , například, že pro jakýkoli konvexní mnohostěn s počtem vrcholů , hran a ploch , . $PROTI$ $E$ $F$ $V-E+F=2$

Gauss a Riemann se zajímali o topologické otázky .

Ale hlavní roli při vytváření algebraické topologie jako vědy sehrál Poincaré - je to on, kdo vlastní koncepty simpliciální homologie a základní grupy. Velké příspěvky poskytli Alexander , Veblen , Lefschetz , Whitehead , Borsuk , Gurevich , Steenrod , Eilenberg , Serre , Tom , Atiyah , Hirzebruch , Bott , Adams , Smale , Milnor , Quillen ; Mezi sovětskými/ruskými matematiky je třeba poznamenat P. S. Aleksandrov , Kolmogorov , Pontrjagin , Ljusternik , Rokhlin , Novikov , Fomenko , Koncevič , Voevodskij , Perelman .

Literatura

Vasiliev V. A. Úvod do topologie. — M.: Fazis, 1997
Wick J. W. Homology Theory. Úvod do algebraické topologie. — M.: MTsNMO, 2005
Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. Problémová učebnice topologie Archivováno 19. února 2012 na Wayback Machine
Dold A. Přednášky o algebraické topologii. — M.: Mir, 1976
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderní geometrie: Metody a aplikace. — M.: Nauka, 1979
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderní geometrie: Metody teorie homologie. — M.: Nauka, 1984
Seifert G., Trefall W. Topologie. - Iževsk: RHD, 2001
Kosniewski C. Počáteční kurz algebraické topologie. — M.: Mir, 1983
Lefshetz S. Algebraická topologie. — M.: IL, 1949
Topologie Novikov P. S. - 2. vyd., opraveno. a doplňkové - Iževsk: Institut pro počítačový výzkum, 2002
Prasolov VV Základy teorie homologie. — M.: MTsNMO , 2006
Switzer R. M. Algebraická topologie — homotopie a homologie. — M.: Nauka, 1985
Spanier E. Algebraická topologie. — M.: Mir, 1971
Steenrod N., Eilenberg S. Základy algebraické topologie. — M.: Fizmatgiz, 1958
Fomenko A. T., Fuchs D. B. Kurz topologie homotopie. — M.: Nauka, 1989

Hatcher A., Algebraická topologie - M.: MTsMNO, 2011. (Originál: Hatcher A. Algebraic Topology Archived 19. května 2018 na Wayback Machine )

Odvětví matematiky

Portál "Věda"

Základy matematiky teorie množin matematická logika algebra logiky

Teorie čísel ( aritmetika )

Algebra
Elementární algebra	Řešení rovnice
Lineární algebra	Vektorový počet matrice Tenzorový počet Multilineární algebra
Obecná algebra	Komutativní algebra Teorie reprezentace Diferenciální algebra Homologická algebra Univerzální algebra Teorie kategorií

Analýza
Klasická analýza	Diferenciální počet Integrální počet
Teorie funkcí	Harmonická analýza Kvaternionová analýza Komplexní analýza teorie míry Теория функций вещественной переменной funkční analýza Variační počet
Дифференциальные a интегральные уравнения	Dynamické systémy a ergodická teorie Diferenciální rovnice obyčejný v parciálních derivacích Integrální rovnice
Vektorová analýza Globální analýza Teorie katastrofy Vlastní analýza Hladká infinitezimální analýza

Geometrie a topologie
Geometrie	Algebraická geometrie Analytická geometrie Euklidovská geometrie Neeuklidovská geometrie Planimetrie Stereometrie
Topologie	Obecná topologie Algebraická topologie Diferenciální geometrie a topologie

Diskrétní matematika
Kombinatorika teorie grafů

Aplikovaná matematika
Matematická fyzika Matematická chemie matematická biologie Matematické statistiky Matematické modelování Teorie algoritmů Numerické metody matematická ekonomie finanční matematika Teorie pravděpodobnosti Operační výzkum Herní teorie

Portál "Matematika"
Kategorie "Matematika"