Jednoduchá homologie

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 4. dubna 2020; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Simplexy a komplexy

Dimenze simplex je konvexní obal bodů, které neleží vjednorozměrném podprostoru. 0-rozměrný simplexje bod, 1-rozměrnýsegment, 2-rozměrnýtrojúhelník, 3-rozměrnýčtyřstěn atd. Simplex vytvořený částí bodůse nazývá plocha velkého simplexu. $k$ $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $(k-1)$ $\langle a_{0}\rangle$ $\langle a_{0},a_{1}\rangle$ $\langle a_{0},a_{1},a_{2}\rangle$ $\langle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}\rangle$ $\langle a_{i}\rangle$

Poté zavedeme pojem simpliciálního komplexu (s důrazem na e). Komplex je množina zjednodušení, z nichž každá zahrnuje všechny své plochy a jakékoli dvě zjednodušení buď nemají vůbec společný bod, nebo se protínají pouze podél celé plochy nějaké dimenze a pouze podél jedné plochy. Obvykle také vyžadují, aby každý bod komplexu měl okolí, které se protíná nejvýše konečným počtem simplicí (tzv. lokální konečnost ). $K$

Řetězová skupina

Uvažujme odstupňovanou abelovskou grupu s celočíselnými koeficienty generovanými zjednodušením komplexu, tzv. řetězová skupina , která je přímým součtem řetězcových skupin dimenze . $C(K)$ $k:\;C_{k}(K)$

Simplexy jsou považovány za orientované a simplex budou považovány za rovné , pokud je permutace sudá, a mající opačné znaménko, pokud je lichá. $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $\langle a_{\sigma (0)},a_{\sigma (1)},...~a_{\sigma (k)}\rangle$ $\sigma$

Hraniční operátor

Definujeme operátor pro převzetí geometrické th plochy $i$ :

$\langle a_{0},...~a_{i},...~a_{k}\rangle \to (-1)^{i}\langle a_{0},...~{\klobouk {a_{i}}},...~a_{k}\rangle$ , kde znamená, že -tý vrchol by měl být přeskočen. ${\klobouk {a_{i))}$ $i$

Operátor převzetí geometrické plochy závisí pouze na samotném simplexu, nikoli však na pořadí vrcholů definujících simplex.

K tomu stačí dokázat, že operátor převzetí -té plochy se při záměně dvou vrcholů (transpozice) nemění. Pokud tato transpozice neovlivní , pak je to zřejmé. Pokud se přeskupí na -té místo, pak máme (nechte například ): $i$ $a_{i}$ $a_{i}$ $j$ $j<i$

{\begin{matrix}\langle a_{0},...~a_{j},...~a_{i},...~a_{k}\rangle =-\langle a_{0}, ...~a_{i},...~a_{j},...~a_{k}\rangle \to -(-1)^{j}\langle a_{0},...~ {\hat {a_{i))},...~a_{i-1},~a_{j},...~a_{k}\rangle =\\=-(-1)^{j }(-1)^{ij-1}\langle a_{0},...a_{j},...~a_{i-1},{\hat {a_{i}}}... ~a_{k}\rangle =(-1)^{i}\langle a_{0},...~a_{j},...~{\hat {a_{i))},... ~a_{k}\rangle \end{matrix}}

- podle očekávání (návrat na staré místo, musíte provést transpozici, respektive změnit znaménko stejně mnohokrát). ${\klobouk {a_{i))}$ $ij-1$

Definujme operátor orientované hranice simplexu takto:

\částečné _{k}\langle a_{0},...~a_{k}\rangle =\součet (-1)^{i}\langle a_{0},...~{\klobouk {a_ {i}}},...~a_{k}\rangle

Použití hraničního operátoru zmenší rozměr o 1. Pro 0-rozměrný simplex (body) uvažujeme . Linearitou rozšiřujeme operátor na libovolný řetězec. Hlavní vlastnost hraničního operátora je následující: $A$ $\partial{A}=0$ $\částečný$

\partial _{k-1}\partial _{k}=0

Aplikace na simplex má za následek odstranění dvou jeho vrcholů. Předpokládejme, že . $\částečné _{k-1}\částečné _{k}$ $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $j<i$

Simplex je zahrnut do výsledku první akce operátoru se znaménkem , ale in se znaménkem , protože po odstranění již vrchol nebude na -tém místě, ale na -tém. Tato znaménka jsou opačná, což znamená, že se bude rovnat nule pro jakýkoli simplex a podle linearity - pro jakýkoli řetězec. $\langle a_{0},...~{\klobouk {a_{j}}},...~{\klobouk {a_{i}}},...~a_{k}\rangle$ $(-1)^{i}\částečný \langle {\klobouk {a_{i))}\rangle$ $(-1)^{i+j}$ $(-1)^{j}\částečný \langle {\klobouk {a_{j))}\rangle$ $(-1)^{i+j-1}$ ${\klobouk {a_{j))}$ ${\klobouk {a_{i))}$ $i$ $(i-1)$ $\částečné _{k-1}\částečné _{k}$

Jednoduchá homologie na komplexech a mnohostěnech

Mnohostěn je spojení mnohostěnů.

Rozdělením mnohostěnu na simplice získáme simpliciální komplex.

Jednoduchá homologie je zavedena na komplexy a mnohostěny takto:

Uvažujme skupinu řetězců dimenzí ze zjednodušení našeho komplexu , označenou . $k$ $K$ $C_{k}(K)$

Řetězec , na kterém je hodnota hraničního operátoru rovna nule (jinými slovy, ), se nazývá cyklus ; označme jejich množinu . $C$ $\partial _{k}c=0$ $c\in \operatorname {Ker} \;\částečné _{k}$ $Z_{k}(K)$

Pokud pro nějaký řetězec platí (jinými slovy, ), pak se řetězec nazývá hranice ; soubor hranic bude označen . $C'$ $c=\částečné _{k+1}c'$ $c\in \operatorname {Im} \;\částečné _{k+1}$ $C$ $B_{k}(K)$

Protože operátor je lineární, hranice i cykly tvoří podskupiny skupiny řetězců. Z toho, že je jasné, že jakákoliv hranice je cyklus, tedy . $\částečný$ $\partial \partial =0$ $B_{k}\subseteq Z_{k}$

O dvou vláknech se říká , že jsou homologní , pokud se liší hranicí. Zaznamenává se (tj . ). $x\sim y$ $x=y+\částečné z$

Faktorová grupa se nazývá grupa k-rozměrné simpliciální homologie komplexu . $H_{k}=Z_{k}(K)/B_{k}(K)=\jméno operátora {Ker} \;\částečné _{k}/\jméno operátora {Im} \;\částečné _{k+1}$

Příklad

Dovolit být jednorozměrný komplex, který je hranicí dvourozměrného simplexu (trojúhelníku) . Pojďme najít jeho homologii. $S_{1}$ $\langle a_{0},a_{1},a_{2}\rangle$

$B_{1}=0$ , protože v komplexu nejsou žádná dvourozměrná zjednodušení. Proto . Pojďme nyní zjistit, kdy může být jednorozměrný řetězec cyklem. $H_{1}=Z_{1}/B_{1}=Z_{1}$

Vezměme si libovolný řetězec . My máme: $c=x\langle a_{0},a_{1}\rangle +y\langle a_{1},a_{2}\rangle +z\langle a_{2},a_{0}\rangle$

\partial c=(zx)\langle a_{0}\rangle +(xy)\langle a_{1}\rangle +(yz)\langle a_{2}\rangle =0

Takže . Proto každý jednorozměrný cyklus má formu $zx=xy=yz=0;\quad x=y=z$ $C$

x(\langle a_{0},a_{1}\rangle +\langle a_{1},a_{2}\rangle +\langle a_{2},a_{0}\rangle )

znamená , že existuje jednoduše nekonečná cyklická skupina . $H_{1}=Z_{1}$ $\mathbb {Z}$

Pojďme najít nulovou dimenzionální homologii. Od té doby . Z rovnosti vyplývá , že a liší se hranicí. Podobně a liší se hranicí, proto až k hranici má jakýkoli nulový rozměrový řetězec tvar . To je prostě nekonečná cyklická skupina . Pokud je to samo o sobě hranice, to je , pak máme to , a proto . $\partial _{0}=0$ $Z_{0}=C_{0}$ $\partial \langle a_{0},a_{1}\rangle =\langle a_{1}\rangle -\langle a_{0}\rangle$ $\langle a_{1}\rangle$ $\langle a_{0}\rangle$ $\langle a_{1}\rangle$ $\langle a_{2}\rangle$ $t\langle a_{0}\rangle$ $C_{0}$ $\mathbb {Z}$ $t\langle a_{0}\rangle =\částečné c=(zx)\langle a_{0}\rangle +(xy)\langle a_{1}\rangle +(yz)\langle a_{2}\rangle$ $xy=yz=0;\quad x=y=z;\quad t=zx=0$ $B_{0}=0$ $H_{0}=C_{0}/B_{0}=\mathbb {Z}$

Takže pro hranici dvourozměrného simplexu . $H_{0}=H_{1}=\mathbb {Z}$

Některé vlastnosti homologie

Je-li homologie komplexu definována, pak jsou také považovány za homologii mnohostěnu odpovídající tomuto komplexu. $K$ $|K|$

Nezávislost skupin homologie na volbě triangulace však musí být prokázána.

Lze dokázat, že homomorfismus odpovídá spojitému zobrazení mnohostěnů , a tato korespondence, jak se říká, je funkční , to znamená, že složení spojitých zobrazení odpovídá složení homomorfismů skupin homologie a identické zobrazení odpovídá identický homomorfismus . $f:|K|\to |L|$ $f_{*}:H_{k}(K)\to H_{k}(L)$ $(fg)_{*}=f_{*}g_{*}$ $(id)_{*}=id_{*}$

Pokud se komplex skládá z konečného počtu simplexů, pak bude mít homologní skupina konečný počet generátorů.

V tomto případě je reprezentován jako přímý součet několika instancí skupiny celých čísel (jejich počet, tj. hodnost skupiny homologie se nazývá Bettiho číslo ) a konečných cyklických grup , kde každá je dělitelem (tato čísla se nazývají součinitele kroucení ). Bettiho číslo a torzní koeficienty jsou jednoznačně určeny. $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} _{a_{0}},\mathbb {Z} _{a_{1}},...~\mathbb {Z} _{a_{i}},...~\mathbb { Z} _{a_{k}}$ $a_{i}$ $a_{i-1}$

Zpočátku je A. Poincaré představil jen proto, aby charakterizoval topologické vlastnosti.

E. Noether ukázal důležitost přechodu ke studiu samotných homologických skupin.

Literatura

Pontryagin L. S. Základy kombinatorické topologie. — M .: Nauka, 1986
Steenrod N., Eilenberg S. Základy algebraické topologie. - M .: Fizmatgiz, 1958
Fomenko A. T., Fuchs D. B. Kurz topologie homotopie. — M .: Nauka, 1989