Noether, Emmy

Emmy Noetherová
Němec  Amalie Emmy Noether
Jméno při narození Němec  Amalie Emmy Noether
Datum narození 23. března 1882( 1882-03-23 ) [1] [2] [3] […]
Místo narození Erlangen , Německá říše
Datum úmrtí 14. dubna 1935( 14. 4. 1935 ) [4] [1] [2] […] (ve věku 53 let)
Místo smrti
Země
Vědecká sféra matematika
Místo výkonu práce
Alma mater Univerzita Erlangen
Akademický titul doktorát ( 1907 ) a habilitace [6] ( 1919 )
vědecký poradce Paul Gordan
Studenti Van der Waerden, Barthel Leendert
známý jako autor Noetherovy věty
Ocenění a ceny Ackermann-Töbnerova cena
 Mediální soubory na Wikimedia Commons

Amalie Emmy Noether ( německy :  Amalie Emmy Noether ; 1882–1935) byla německá matematička nejlépe známá pro své příspěvky k abstraktní algebře a teoretické fyzice . Pavel Aleksandrov , Albert Einstein , Jean Dieudonné , Hermann Weyl a Norbert Wiener ji považovali za nejvýznamnější ženu v dějinách matematiky [7] [8] [9] . Jako jeden z největších matematiků dvacátého století způsobila revoluci v teorii prstenců , polí a algeber . Ve fyzice Noetherův teorém poprvé objevil souvislost mezi symetrií v přírodě a zákony ochrany .

Noether se narodil do židovské rodiny ve franckém městě Erlangen . Její rodiče, matematik Max Noether a Ida Amalia Kaufman, pocházeli z bohatých kupeckých rodin. Noether měl tři bratry: Alfreda, Roberta a Fritze ( Fritz Maximilianovich Noether ), německého a sovětského matematika.

Emmy původně plánovala vyučovat angličtinu a francouzštinu po složení příslušných zkoušek, ale místo toho začala studovat matematiku na univerzitě v Erlangenu , kde přednášel její otec. Po obhajobě dizertační práce v roce 1907, napsané pod vedením Paula Gordana , pracovala sedm let zdarma na Matematickém institutu Erlangenské univerzity (v té době bylo pro ženu téměř nemožné přijmout akademickou pozici).

V roce 1915 se Noether přestěhoval do Göttingenu , kde slavní matematici David Hilbert a Felix Klein pokračovali v práci na teorii relativity a Noetherova znalost invariantní teorie pro ně byla nezbytná. Hilbert se pokusil udělat z Noethera Privatdozent na univerzitě v Göttingenu , ale všechny jeho pokusy selhaly kvůli předsudkům profesury, hlavně v oblasti filozofických věd. Noether však, aniž by zastával jakoukoli funkci, často přednášel pro Hilberta. Teprve na konci první světové války se mohla stát Privatdozentem  - v roce 1919 , poté profesorkou na volné noze (1922).

Noether se držel sociálně demokratických názorů. 10 let svého života spolupracovala s matematiky v SSSR ; ve školním roce 1928/1929 přišla do SSSR a přednášela na Moskevské univerzitě , kde ovlivnila L. S. Pontrjagina [10] a především P. S. Aleksandrova , který v Göttingenu předtím často pobýval.

Noether byla jedním z předních členů katedry matematiky na univerzitě v Göttingenu , její studenti jsou někdy nazýváni „Noether chlapci“. V roce 1924 se do jejího kruhu připojil nizozemský matematik Barthel van der Waerden a brzy se stal předním představitelem Noetherových myšlenek: její práce byla základem pro druhý díl jeho slavné učebnice Moderní algebra z roku 1931 V době, kdy Noetherová vystoupila na plenárním zasedání Mezinárodního kongresu matematiků v Curychu v roce 1932, byl její jemný algebraický smysl uznáván po celém světě. Spolu se svým studentem Emilem Artinem získává cenu Ackermann-Töbner za úspěchy v matematice.

Po nástupu nacistů k moci v roce 1933 byli Židé odstraněni z výuky na univerzitě a Noether musela emigrovat do Spojených států , kde se stala učitelkou na ženské vysoké škole v Bryn Mawr ( Pensylvánie ).

Matematické práce Noethera jsou rozděleny do tří období [11] . V prvním období (1908-1919) rozvinula teorii invariantů a číselných polí. Její diferenciální invariantní teorém ve variačním počtu , Noetherův teorém , byl nazýván „jedním z nejdůležitějších matematických teorémů používaných v moderní fyzice“ [12] . Ve svém druhém období (1920-1926) se ujala práce, která „změnila tvář [abstraktní] algebry“ [13] . Ve své klasické Idealtheorie v Ringbereichen („Theory of Ideals in Rings“, 1921) [1] Archivováno 3. října 2017 ve Wayback Machine , Noether vyvinul teorii ideálů komutativních prstenců , která je vhodná pro širokou škálu aplikací. Našla úhledný způsob, jak použít podmínku vzestupného řetězce a objekty, které tuto podmínku splňují, se po ní nazývají noetherianské. Třetí období (1927-1935) je poznamenáno jejími publikacemi o nekomutativní algebře a hyperkomplexních číslech , Noetherová spojila teorii grupových reprezentací s teorií modulů a ideálů. Kromě vlastních publikací se Noether velkoryse podělila o své nápady s dalšími matematiky. Některé z těchto myšlenek byly daleko od hlavního proudu Noetherova výzkumu, jako například v oblasti algebraické topologie .

Původ a osobní život

Aleksandrov Pavel Sergejevič

Vrcholem všeho, co jsem letos v létě v Göttingenu slyšel , byly přednášky Emmy Noetherové o obecné teorii ideálů ... Samozřejmě, že úplný počátek teorie položil Dedekind , ale jen úplný začátek: teorie ideálů ve všech bohatství jeho myšlenek a faktů, teorie, která měla tak obrovský dopad na moderní matematiku, je vytvoření Emmy Noetherové. Mohu to posoudit, protože znám jak Dedekindovo dílo, tak Noetherova hlavní díla o ideální teorii.
Noetherovy přednášky mě i Urysohna uchvátily. Nebyly oslnivé formou, ale podmanily si nás bohatostí svého obsahu. Emmy Noether jsme neustále vídali v uvolněné atmosféře a hodně si s ní povídali, jak na témata teorie ideálů, tak na témata naší práce, která ji hned zaujala.
Naše známost, která začala živě letos v létě, se velmi prohloubila následující léto a pak se po Urysohnově smrti proměnila v ono hluboké matematické a osobní přátelství, které mezi Emmy Noetherovou a mnou existovalo až do konce jejího života. Posledním projevem tohoto přátelství z mé strany byl projev na památku Emmy Noetherové na zasedání Moskevské mezinárodní topologické konference v srpnu 1935.

Emmyin otec, Max Noether (1844–1921), pocházel z bohaté rodiny velkoobchodníků s hardwarem z Mannheimu  – jeho dědeček Elias Samuel založil rodinnou obchodní firmu v Bruchsalu v roce 1797. Ve věku 14 let kvůli dětské obrně ochrnul. Později nabyl své kapacity, ale jedna noha zůstala nehybná. V roce 1868 získal Max Noether po sedmi letech převážně nezávislého studia doktorát na univerzitě v Heidelbergu . Max Noether se usadil v bavorském městě Erlangen , kde se seznámil a oženil se s Idou Amalií Kaufmannovou (1852-1915), dcerou bohatého kolínského obchodníka Markuse Kaufmanna [14] [15] [16] . Po stopách Alfreda Clebsche , Max Noether významně přispěl k rozvoji algebraické geometrie . Nejznámějšími výsledky jeho práce jsou Brill-Noetherova věta a AF + BG věta .

Emmy Noether se narodila 23. března 1882, byla nejstarší ze čtyř dětí. Na rozdíl od všeobecného přesvědčení „Emmy“ není zkrácená verze jména Amalia, ale prostřední jméno pro Noether. Jméno „Amalia“ jí bylo dáno na počest její matky a babičky z otcovy strany Amálie (Malchen) Würzburger (1812-1872); ale již poměrně brzy dala dívka přednost prostřednímu jménu, i když v oficiálních dokumentech figuruje jako Amalia Emmy nebo Emmy Amalia [17] [18] [19] [20] . Emmy byla okouzlující dítě, vyznačovalo se inteligencí a přátelskostí. Noether měl krátkozrakost a jako dítě trochu hučel. O několik let později vyprávěl rodinný přítel příběh o tom, jak mladá Noether na dětském večírku snadno našla řešení hádanky a projevila svou logickou bystrost již v tak raném věku.[ upřesnit ] [21] . Jako dítě chodila Noether na hodiny klavíru , zatímco většina mladých dívek se učila vařit a uklízet. Nepociťovala ale vášeň pro tento typ činnosti, ale milovala tanec [22] [23] .

Noether měl tři mladší bratry. Nejstarší, Alfred, se narodil v roce 1883 a v roce 1909 získal doktorát z chemie na univerzitě v Erlangenu. Po 9 letech zemřel. Fritz Noether , narozený v roce 1884, se po studiích v Mnichově stal úspěšným v aplikované matematice . 8. září 1941 byl zastřelen u Orla . Mladší bratr Gustav Robert se narodil v roce 1889 a o jeho životě je známo jen velmi málo; trpěl chronickou nemocí a zemřel v roce 1928 [24] [25] .

Noetherův osobní život nevyšel. Nepoznání, vyhnanství, samota v cizí zemi, zdálo by se, měly zkazit její charakter. Přesto téměř vždy působila klidně a shovívavě. Hermann Weil napsal, že dokonce šťastný.

Učení a vyučování

University of Erlangen

Noether se snadno naučil francouzsky a anglicky. Na jaře roku 1900 složila učitelskou zkoušku z těchto jazyků a získala celkovou známku „velmi dobře“. Noetherova kvalifikace jí umožnila učit jazyky na dívčích školách, ale rozhodla se pro další studium na univerzitě v Erlangenu .

Bylo to nerozumné rozhodnutí. O dva roky dříve Akademická rada univerzity oznámila, že zavedení koedukace „zničí akademické základy“ [26] . Na univerzitě z 986 studentů studovaly pouze dvě dívky, z nichž jedna byla Noether. Na přednášky přitom mohla chodit pouze bez nároku na zkoušky , navíc potřebovala svolení těch profesorů, jejichž přednášky chtěla navštěvovat. Přes tyto překážky složila 14. července 1903 závěrečnou zkoušku na norimberském reálném gymnáziu [27] [26] [28] .

Během zimního semestru 1903–1904 Noether studoval na univerzitě v Göttingenu , navštěvoval přednášky astronoma Karla Schwarzschilda a matematiků Hermanna Minkowského , Otto Blumenthala , Felixe Kleina a Davida Hilberta . Brzy byla zrušena omezení vzdělávání žen na této univerzitě.

Noether se vrátil do Erlangenu a oficiálně se vrátil na univerzitu 24. října 1904. Oznámila svou touhu studovat výhradně matematiku. Pod vedením Paula Gordana napsal Noether v roce 1907 disertační práci o konstrukci kompletního systému invariantů ternárních bikvadratických forem. Přestože bylo dílo dobře přijato, Noether ho později nazval „junk“ [29] [30] [31] .

Následujících sedm let (1908-1915) vyučovala na Matematickém institutu Erlangenské univerzity zdarma, někdy nahrazovala svého otce, když jeho zdravotní stav znemožnil přednášet.

Gordan odešel na jaře 1910 do důchodu, ale nadále příležitostně vyučoval se svým nástupcem Erhardem Schmidtem , který se krátce nato přestěhoval do Wrocławi . Gordan definitivně ukončil svou učitelskou kariéru v roce 1911, s nástupem Ernsta Fischera na jeho místo, a v prosinci 1912 zemřel.

Podle Hermanna Weyla měl Fischer na Noether důležitý vliv, zejména tím, že ji seznámil s dílem Davida Hilberta . Od roku 1913 do roku 1916 publikoval Noether několik článků, které zobecňovaly a využívaly Hilbertovy metody ke studiu matematických objektů, jako jsou pole racionálních funkcí a invarianty konečných grup . Toto období znamená začátek její práce v abstraktní algebře, v oblasti matematiky, ve které učinila revoluční objevy.

Noether a Fischer měli z matematiky opravdové potěšení a často diskutovali o přednáškách poté, co byly dokončeny. Je známo, že Noether poslala Fischerovi pohlednice, které ukazují, jak její matematické myšlení nadále funguje [32] [33] [34] .

Univerzita v Göttingenu

Na jaře roku 1915 obdržel Noether pozvání k návratu na univerzitu v Göttingenu od Davida Hilberta a Felixe Kleina . Jejich touhu však zablokovali filologové a historici z Filosofické fakulty, kteří věřili, že žena nemůže být Privatdozent. Jeden z učitelů protestoval: "Co si budou myslet naši vojáci, až se vrátí na univerzitu a zjistí, že se musí učit u nohou ženy?" [35] [36] [37] Hilbert reagoval rozhořčeně a prohlásil: „Nechápu, proč by pohlaví kandidátky mělo být argumentem proti tomu, aby byla zvolena Privatdozent . Koneckonců, tohle je univerzita, ne pánské lázně! [35] [36] [37] .

Noether odjel na konci dubna do Göttingenu; o dva týdny později její matka náhle zemřela v Erlangenu . Oči už dříve konzultovala s lékaři, ale povaha nemoci a její souvislost se smrtí zůstaly neznámé. Přibližně ve stejnou dobu odešel Noetherův otec do důchodu a její bratr narukoval do německé armády, aby bojoval v první světové válce . Noether se na několik týdnů vrátila do Erlangenu, aby se postarala o svého stárnoucího otce .

V jejích raných létech jako učitelka u Göttingen , Noether dostával žádný plat za její práci a měl žádné oficiální postavení; její rodina platila ubytování a stravu, což umožnilo pracovat na univerzitě. Věřilo se, že přednášky, které přednesla, byly Hilbertovy přednášky a Noether působil jako jeho asistent.

Krátce po příjezdu do Göttingenu Noether prokázala své schopnosti tím, že dokázala větu, nyní známou jako Noetherova věta , vztahující nějaké právo zachování ke každé diferencovatelné symetrii fyzikálního systému [37] [39] . Američtí fyzici Leon M. Lederman a Christopher T. Hill ve své knize „Symmetry and the Beautiful Universe“ píší, že Noetherova věta je „zajisté jednou z nejdůležitějších matematických vět používaných v moderní fyzice, možná je na stejné úrovni s pythagorejskou větou . věta “ [40] .

První světová válka byla následována německou revolucí v letech 1918-1919 , která přinesla významné změny ve společenských vztazích, včetně rozšíření práv žen. V roce 1919 na univerzitě v Göttingenu bylo Noetherovi povoleno podstoupit habilitační řízení, aby získal stálé místo. Koncem května proběhla ústní zkouška pro Noether a v červnu úspěšně obhájila doktorskou disertační práci.

O tři roky později obdržela Noether dopis od pruského ministra vědy, umění a veřejného školství, ve kterém jí byl udělen titul profesora s omezenými vnitřními správními právy a funkcemi [41] . Ačkoli význam její práce byl uznán, Noether stále pokračovala v práci zdarma. O rok později se situace změnila a byla jmenována do funkce Lehrbeauftragte für Algebra („lektor algebry“) [42] [43] [44] .

Základní práce v oblasti abstraktní algebry

Ačkoli Noetherův teorém měl hluboký vliv na fyziku, matematici si jej pamatují především pro jeho obrovský přínos k obecné algebře . V předmluvě ke sbírce Noetherových prací Nathan Jacobson píše, že „vývoj obecné algebry, který se stal jednou z nejpozoruhodnějších inovací v matematice dvacátého století, je z velké části zásluhou Noether – jejích publikovaných prací, jejích přednášek , její osobní vliv na současníky“ [45] .

Noether zahájila svou průkopnickou práci na algebře v roce 1920, kdy vydala společný dokument se Schmeidlerem, ve kterém definovali ideály levého a pravého prstence . Následující rok publikovala článek s názvem Idealtheorie v Ringbereichen („Teorie ideálů v prstenech“), analyzující podmínku zlomu pro vzestupné řetězce ideálů. Algebraista Irving Kaplansky označil toto dílo za „revoluční“ [46] . Po uveřejnění článku se objevil koncept „ Noetherian rings “ a některé další matematické objekty se začaly nazývat „ noetherian “ [46] [47] [48] .

V roce 1924 přijel na univerzitu v Göttingenu mladý holandský matematik Barthel van der Waerden . Okamžitě se pustil do práce s Noetherem. Van der Waerden později řekl, že její originalita byla „naprosto bezkonkurenční“ [49] . V roce 1931 vydal učebnici „Moderní algebra“; při psaní druhého dílu své učebnice si hodně vypůjčil z Noetherova díla. Ačkoli Noether neusiloval o uznání za své služby, v sedmém vydání van der Waerden přidal poznámku, že jeho kniha byla „částečně založena na přednáškách E. Artina a E. Noethera“ [50] [51] . Je známo, že mnoho Noetherových nápadů bylo poprvé publikováno jejími kolegy a studenty [52] [53] [19] . Hermann Weil napsal:

Hodně z toho, co tvoří obsah druhého dílu van der Waerdenovy Moderní algebry ( nyní jednoduše Algebra ), musí být zásluhou Emmy Noetherové.

Van der Waerdenova návštěva byla jednou z velkého počtu návštěv matematiků z celého světa v Göttingenu, který se stal hlavním centrem matematického a fyzikálního výzkumu. V letech 1926 až 1930 přednášel na univerzitě ruský topolog Pavel Sergejevič Aleksandrov ; on a Noether se rychle stali dobrými přáteli. Snažila se mu získat profesuru v Göttingenu, ale mohla mu zařídit pouze vyplacení stipendia od Rockefellerovy nadace [54] [55] . Pravidelně se scházeli a užívali si diskuse o souvislostech mezi algebrou a topologií. V roce 1935 Alexandrov v projevu věnovaném památce vědkyně nazval Emmy Noether „největší matematičkou všech dob“ [56] .

Přednášky a studenti

V Göttingenu Noether vyškolil více než tucet postgraduálních studentů; jeho první absolventkou byla Greta Herman , která dokončila svou disertační práci v únoru 1925. Později s úctou označovala Noether jako „mateřské disertační práce“. Noether také dohlížel na práci Maxe Dueringa , Hanse Fittinga [ a Zeng Ching Jie. Úzce také spolupracovala s Wolfgangem Krullem , který významně přispěl k rozvoji komutativní algebry , dokazoval hlavní ideální větu a rozvíjel teorii rozměrů komutativních prstenců [57] .

Kromě svého matematického vhledu byla Noether respektována pro svou pozornost k ostatním. I když se někdy chovala hrubě k těm, kteří s ní nesouhlasili, přesto byla k novým studentům milá a trpělivá. Pro její snahu o matematickou přesnost nazval jeden z jejích kolegů Noether „přísným kritikem“. Zároveň v ní koexistoval i starostlivý přístup k lidem [58] . Kolegyně ji později popsala takto: „Vůbec nebyla sobecká ani namyšlená, nic pro sebe neudělala, práci svých studentů stavěla nade vše“ [59] .

Její skromný životní styl byl zpočátku způsoben tím, že její práce nebyla placená. Nicméně i poté, co jí univerzita v roce 1923 začala vyplácet malý plat, nadále vedla jednoduchý a skromný životní styl. Později začala za svou práci dostávat štědřejší odměnu, ale polovinu platu si dala stranou, aby ji později odkázala svému synovci Gottfriedovi E. Noetherovi [60] .

Noether se o svůj vzhled a způsoby příliš nestarala, životopisci naznačují, že byla zcela zaměřena na vědu. Významná algebraistka Olga Todd popsala večeři, během níž Noether, plně ponořená do diskuse o matematice, „zběsile gestikulovala, neustále rozlévala jídlo a utírala ho do šatů pánví“ [61] .

Podle van der Waerdenova nekrologu Noetherová na svých přednáškách nedodržela plán lekce, což některé studenty naštvalo. Místo toho využila čas přednášek ke spontánním diskusím se studenty k promyšlení a vyjasnění důležitých otázek v popředí matematiky. Některé z nejdůležitějších výsledků její práce vzešly z těchto přednášek a poznámky jejích studentů vytvořily základ pro učebnice van der Waerdena a Dueringa. Je známo, že Noether absolvoval nejméně pět semestrálních kurzů v Göttingenu [62] :

Tyto kurzy často předcházely velkým publikacím v těchto oblastech.

Noether mluvil rychle, což vyžadovalo velkou pozornost studentů. Studenti, kterým se její styl nelíbil, se často cítili odcizení [63] [64] . Někteří studenti si všimli, že je příliš náchylná ke spontánním diskusím. Nejoddanější studenti však obdivovali nadšení, se kterým matematiku přednášela, zvláště když její přednášky vycházely z práce s těmito studenty již dříve.

Noether prokázala svou oddanost předmětu i svým studentům tím, že je pokračovala ve studiu i po přednáškách. Jednoho dne, když byla budova univerzity kvůli státnímu svátku zavřená, shromáždila studenty na verandě, provedla je lesem a přednesla přednášku v místní kavárně . Po nástupu nacionálně socialistické vlády k moci v roce 1933 byl Noether propuštěn z univerzity. Pozvala studenty do svého domu, aby diskutovali o budoucích plánech a otázkách matematiky [66] .

Moskva

V zimě 1928–29 přijala Noether pozvání k práci na Moskevské státní univerzitě , kde pokračovala ve spolupráci s Pavlem Sergejevičem Aleksandrovem. Kromě provádění výzkumu Noether vyučoval abstraktní algebru a algebraickou geometrii . Spolupracovala také s Lvem Semjonovičem Pontrjaginem a Nikolajem Grigorjevičem Čebotarevem , kteří jí později připsali zásluhy na rozvoji Galoisovy teorie [67] [68] [56] .

Politika nebyla pro Noetherův život ústředním bodem, ale projevila velký zájem o revoluci v roce 1917. Věřila, že nástup bolševiků k moci přispěl k rozvoji matematiky v Sovětském svazu. Její postoj k SSSR vedl k problémům v Německu: byla následně vystěhována z budovy penzionu poté, co vedoucí studentů řekli, že nechtějí žít pod jednou střechou s „marxisticky smýšlející židovkou“ [ 56] .

Noether plánovala návrat do Moskvy, kde se jí dostalo podpory od Alexandrova. Po jejím odchodu z Německa v roce 1933 se pro ni pokusil získat katedru na Moskevské státní univerzitě. Ačkoli tyto snahy byly neúspěšné, Noether a Alexandrov si dopisovali o možnosti jejího přestěhování do Moskvy [56] . Ve stejné době její bratr Fritz po ztrátě zaměstnání v Německu získal místo ve Výzkumném ústavu matematiky a mechaniky v Tomsku [69] [70] .

Rozpoznávání

V roce 1932 Noetherová spolu se svým studentem Emilem Artinem obdržela Ackermann-Töbnerovu cenu za úspěchy v matematice [71] . Cena činila 500 říšských marek v hotovosti a je oficiálním uznáním (i když s velkým zpožděním) její významné práce v této oblasti. Její kolegové však vyjádřili své zklamání z toho, že Noether nebyl zvolen do Göttingenské akademie věd a nikdy nebyl jmenován profesorem [72] [73] .

Noetherovi kolegové oslavili její padesátiny v roce 1932 stylem typickým pro matematiky. Helmut Hasse jí věnoval článek v časopise Mathematische Annalen , ve kterém potvrdil její podezření, že některé aspekty nekomutativní algebry jsou jednodušší než v komutativní algebře tím, že dokázal nekomutativní zákon reciprocity [74] . Nesmírně se jí to líbilo. Dal jí také matematickou hádanku - hádanku slabik, kterou okamžitě rozluštila [72] [73] .

V listopadu téhož roku Noether vystoupil na plenárním zasedání Mezinárodního kongresu matematiků v Curychu se zprávou o „hyperkomplexních systémech a jejich souvislostech s komutativní algebrou“. Kongresu se zúčastnilo 800 lidí, včetně Noetherových kolegů Hermanna Weyla, Edmunda Landaua a Wolfganga Krulla. Na kongresu bylo prezentováno 420 oficiálních účastníků a 21 zpráv z pléna. Noetherova první prezentace byla uznáním důležitosti jejích příspěvků k matematice. Účast na kongresu v roce 1932 je někdy považována za vrchol v Noetherově kariéře [75] [76] .

Vyhnanství z Göttingenu

Po nástupu Hitlera k moci v Německu v roce 1933 se nacistická aktivita v celé zemi dramaticky zvýšila. Na univerzitě v Göttingenu panovalo klima nepřátelské vůči židovským profesorům . Jeden mladý protestující prohlásil: „ Árijští studenti chtějí studovat árijskou matematiku, ne židovskou“ [77] .

Jednou z prvních akcí Hitlerovy administrativy bylo přijetí „Zákona o obnovení profesionální státní služby“, kvůli kterému byli Židé propuštěni ze svých funkcí státních zaměstnanců, pokud „neprokázali svou loajalitu k nové moci“. v Německu." V dubnu 1933 obdržela Noether oznámení od pruského ministerstva vědy, umění a vzdělávání, které jí zakazovalo vyučovat na univerzitě v Göttingenu. Několik Noetherových kolegů, včetně Maxe Borna a Richarda Couranta , bylo také suspendováno [78] [79] . Noether přijal toto rozhodnutí klidně. Zaměřila se na matematiku, shromažďovala studenty ve svém bytě a diskutovala s nimi o teorii pole . Když se jedna z jejích studentek objevila v nacistické uniformě, nedala na sobě znát a údajně se tomu poté dokonce smála [80] [79] .

Bryn Mawr

Když desítky nezaměstnaných profesorů začaly hledat práci mimo Německo, jejich kolegové v USA se snažili poskytnout jim pomoc a vytvořit pracovní místa. Tak například Albert Einstein a Hermann Weyl získali práci v Institute for Advanced Study v Princetonu . Noether uvažoval o práci ve dvou vzdělávacích institucích: Bryn Mawr College ve Spojených státech a Somerville College na University of Oxford v Anglii. Po sérii jednání s Rockefeller Foundation obdržel Noether grant na práci v Bryn Mawr a začal tam pracovat od konce roku 1933 [81] [82] .

V Bryn Mawr se Noether setkal a spřátelil s Annou Wheeler, která před příchodem Noethera studovala v Göttingenu . Dalším z univerzitních podporovatelů Noetheru byla prezidentka Bryn Mawr Marion Edwards. Noether pracoval s malou skupinou studentů na Van der Waerdenově Moderní algebře I a prvních kapitolách Algebraické teorie čísel Ericha Heckeho [83] .

V roce 1934 začal Noether přednášet na Institute for Advanced Study v Princetonu. Spolupracovala také s Albertem Michelsonem a Harrym Vandiverem [84] . O Princetonské univerzitě však poznamenala , že na této „mužské univerzitě, kde není nic ženského“ nebyla dobře přijata [85] .

V létě 1934 se Noether krátce vrátil do Německa, aby viděl Emila Artina a jejího bratra Fritze . Přestože mnoho jejích bývalých kolegů bylo nuceno opustit německé univerzity, měla stále možnost využívat knihovnu jako „zahraniční učenec“ [86] [87] .

Smrt

V dubnu 1935 lékaři diagnostikovali Noetherovi rakovinu. Ve stejném roce, ve věku 53 let, krátce po operaci zemřela.

Jeden z lékařů napsal:

Těžko říct, co se stalo s Noetherem. Je možné, že se jednalo o formu nějaké neobvyklé a nebezpečné infekce, která postihla tu část mozku, kde se nacházela tepelná centra [88] .

Několik dní po Noetherině smrti uspořádali její přátelé a spolupracovníci malou vzpomínkovou bohoslužbu v domě prezidenta Bryn Mawr College. Hermann Weil a Richard Brouwer přijeli z Princetonu a obsáhle hovořili s Wheelerem a Olgou Toddovou o jejich zesnulém kolegovi.

Tělo Emmy Noetherové bylo zpopelněno a její popel pohřben pod zdmi Knihovny Caryho Thomase v Bryn Mawr .

Akademik P. S. Alexandrov napsal [90] :

Jestliže vývoj matematiky dnes nepochybně probíhá ve znamení algebraizace, pronikání algebraických pojmů a algebraických metod do nejrozmanitějších matematických teorií, pak to bylo možné až po dílech Emmy Noetherové.

A. Einstein v poznámce k její smrti připsal Noether k největším tvůrčím géniům matematiky [91] .

Příspěvky k matematice a fyzice

Pro matematiky je především důležitá Noetherova práce v oblasti abstraktní algebry a topologie . Fyzici věnují velkou pozornost Noetherově větě . Její práce významně přispěla k rozvoji teoretické fyziky a teorie dynamických systémů . Noether projevila sklony k abstraktnímu myšlení, což jí umožnilo řešit matematické problémy novými a originálními způsoby [92] [32] . Noetherův přítel a kolega Hermann Weyl rozdělil svou vědeckou práci do tří období: [93]

  1. období relativní závislosti, 1907-1919;
  2. studie seskupené kolem obecné teorie ideálů , 1920-1926;
  3. studium nekomutativní algebry a její aplikace na studium komutativních číselných polí a jejich aritmetiky, 1927-1935.

V prvním období (1907-1919) Noether primárně pracoval s diferenciálními a algebraickými invarianty . Její matematické obzory se rozšířily a její práce se stala abstraktnější, ovlivněnou jejím vystavením práci Davida Hilberta.

Druhé období (1920-1926) bylo věnováno rozvoji matematické teorie prstenců [94] .

Ve třetím období (1927-1935) Noetherová zaměřila svou pozornost na studium nekomutativní algebry, lineárních transformací a číselných polí [95] .

Historický kontext

Od roku 1832 až do Noetherovy smrti v roce 1935 prošla oblast matematiky zvaná algebra hlubokými změnami. Matematici v předchozích staletích pracovali na praktických metodách pro řešení konkrétních typů rovnic, jako jsou kubické rovnice, a související problém konstrukce pravidelných mnohoúhelníků pomocí kružítka a pravítka. Počínaje prací Carla Friedricha Gausse , který v roce 1832 prokázal, že prvočísla, jako je pět, lze rozložit na součin gaussovských celých čísel [96] , Evariste Galois v roce 1832 zavedl koncept permutační grupy (kvůli jeho smrti, jeho práce byla publikována až v roce 1846 Liouvillem ), objev kvaternionů Williamem Rowanem Hamiltonem v roce 1843 a vznik konceptu abstraktní skupiny navržené Arthurem Cayleym v roce 1854 se výzkum obrátil k určení vlastností abstraktnějších a obecné systémy. Noether učinila svůj nejdůležitější příspěvek k rozvoji matematiky prostřednictvím rozvoje tohoto nového oboru zvaného abstraktní algebra [97] .

Abstraktní algebra a begriffliche Mathematik (konceptuální matematika)

Základními objekty abstraktní algebry jsou grupy a kruhy.

Skupina se skládá ze sady prvků a jedné binární operace, která mapuje na každou uspořádanou dvojici prvků této sady nějaký třetí prvek. Operace musí splňovat určitá omezení – musí mít vlastnost asociativita a také musí existovat neutrální prvek a pro každý prvek musí existovat inverzní prvek k němu .

Ring , podobně, má mnoho prvků, ale nyní jsou na něm definovány dvě operace - sčítání a násobení. Kruh se nazývá komutativní, pokud je operace násobení komutativní (obvykle je implikována i jeho asociativnost a existence jednotky). Prsten, ve kterém je prvek identity a každý nenulový prvek má inverzní prvek vzhledem k násobení (tj. prvek x takový, že ax \ u003d xa \u003d 1), se nazývá tělo . Pole je definováno jako komutativní těleso.

Skupiny se často učí prostřednictvím jejich reprezentací . V nejobecnějším případě je reprezentace skupiny G  libovolná množina s působením skupiny G na tuto množinu. Množinou je obvykle vektorový prostor a skupina představuje symetrie tohoto prostoru. Například existuje skupina rotací prostoru vzhledem k nějakému pevnému bodu. Rotace je symetrie prostoru, protože prostor samotný se při rotaci nemění, i když se mění poloha objektů v něm. Noetherová použila podobné symetrie ve své práci o invariantech ve fyzice.

Výkonný způsob, jak se dozvědět o prstenech, je prostřednictvím modulů nad nimi. Modul nad prstencem se skládá ze sady, obvykle odlišné od sady prvků prstence a nazývané sada modulových prvků, binární operace na sadě modulových prvků a operace, která bere prstencový prvek a modulový prvek. a vrátí modulový prvek. Pojem modulu je analogický s pojmem reprezentace pro případ kruhů: zapomenutí operace násobení v kruhu přiřadí reprezentaci skupiny modulu nad tímto kruhem. Skutečnou výhodou modulů je, že studium různých modulů nad daným prstencem a jejich interakcí odhalí strukturu prstenu, která není při pohledu na prsten samotný viditelná. Důležitým speciálním případem této struktury je algebra . (Slovo "algebra" znamená jak odvětví matematiky, tak jeden z předmětů studia v této sekci.) Algebra se skládá ze dvou kruhů a operace, která odebírá jeden prvek z každého kruhu a vrací prvek druhého kruhu, čímž se druhý zazvoní modul přes první . První zvonění je často pole.

Slova jako „prvek“ a „binární operace“ jsou velmi obecná a lze je použít v mnoha konkrétních i abstraktních situacích. Jakákoli sada objektů, která splňuje všechny axiomy pro jednu (nebo dvě) operace na ní definované, je skupina (nebo kruh) a podřizuje se všem teorémům o skupinách (nebo kruzích). Celá čísla a operace sčítání a násobení jsou jen jedním příkladem. Prvky mohou být například strojová slova , první binární operace je „exclusive or“ a druhá je spojka. Věty o abstraktní algebře jsou mocné, protože popisují mnoho systémů. Noetherovým talentem bylo určit maximální soubor vlastností, které jsou důsledky daného souboru, a naopak určit minimální soubor vlastností, které jsou zodpovědné za konkrétní pozorování. Na rozdíl od většiny matematiků Noether nezískal abstrakci zobecněním známých příkladů; spíše pracovala přímo s abstrakcemi. Van der Waerden si ji připomněl v nekrologu [98] :

Maximu, kterou Emmy Noetherová ve své práci sleduje, lze formulovat následovně: jakýkoli vztah mezi čísly, funkcemi a operacemi se stává transparentním, zobecnitelným a produktivním teprve poté, co je oddělen od jakýchkoli konkrétních objektů a redukován na všeobecně platné koncepty.

Původní text  (anglicky)[ zobrazitskrýt] Jakékoli vztahy mezi čísly, funkcemi a operacemi se stanou transparentními, obecně použitelnými a plně produktivními teprve poté, co byly izolovány od svých konkrétních objektů a byly formulovány jako všeobecně platné koncepty.

Toto je čistě konceptuální matematika ( begriffliche Mathematik ) charakteristická pro Noether. Tímto směrem se vydali i další matematici, zejména ti, kteří se tehdy zabývali abstraktní algebrou.

Celá čísla a kruhy

Celá čísla tvoří komutativní prsten s ohledem na operace sčítání a násobení . Libovolný pár celých čísel lze sečíst nebo vynásobit, což vede k nějakému třetímu číslu. Operace sčítání je komutativní , to znamená pro libovolné prvky a a b v kruhu a + b = b + a . Druhá operace, násobení , je také komutativní, ale to neplatí pro všechny kruhy. Příklady nekomutativních kruhů jsou matrices a čtveřice . Celá čísla netvoří tělo, protože operace násobení celých čísel není vždy vratná – například neexistuje celé číslo a takové, že 3 ×  a = 1.

Celá čísla mají další vlastnosti, které neplatí pro všechny komutativní kruhy. Důležitým příkladem je Základní věta aritmetiky , která říká, že každé kladné celé číslo lze rozložit na součin prvočísel , a to jedinečným způsobem. Takový rozklad pro kruhy vždy neexistuje, ale Noether dokázal větu o existenci a jedinečnosti faktorizace ideálů pro mnoho kruhů, která se nyní nazývá Lasker-Noetherova věta . Významná část Noetherovy práce spočívala v určování vlastností, které platí pro všechny kruhy , v hledání analogií vět o celých číslech a v nalezení minimálního souboru předpokladů postačujících k odvození určitých vlastností z nich.

První období (1908–1919)

Teorie algebraických invariantů

Většina prací Emmy Noetherové v prvním období její vědecké kariéry byla spojena s invariantní teorií , především s teorií algebraických invariantů. Invariantní teorie studuje výrazy, které zůstávají nezměněné (invariantní) s ohledem na nějakou skupinu transformací. Příklad z běžného života: otočíte-li kovovým pravítkem, pak se změní souřadnice jeho konců ( x 1 , y 1 , z 1 ) a ( x 2 , y 2 , z 2 ), ale délka určená vzorcem L 2 = Δ x 2 + Δ y 2 + Δ z 2 zůstává nezměněna. Teorie invariantů byla na konci 19. století aktivní oblastí výzkumu, kterou podnítil projev Felixe Kleina, tzv. Erlangenův program , podle něhož měly být různé geometrie charakterizovány transformačními invarianty v nich existujícími, jako např. například dvojitý poměr v projektivní geometrii . Klasickým příkladem invariantu je diskriminant B 2 − 4 AC binární kvadratické formy Ax 2 + Bxy + Cy 2 . Diskriminant se nazývá invariant, protože se nemění pod lineárními permutacemi x → ax + by , y → cx + dy s determinantem ad − bc = 1. Tyto permutace tvoří speciální lineární grupu SL 2 . Obecněji lze uvažovat o invariantech homogenních polynomů A 0 x r y 0 + … + A r x 0 y r vyššího stupně, což jsou polynomy v koeficientech A 0 , …, A r . A ještě obecněji lze uvažovat o homogenních polynomech s více než dvěma proměnnými.

Jedním z hlavních úkolů teorie algebraických invariantů bylo vyřešit „problém konečných bází“. Součet nebo součin jakýchkoli dvou invariantů je invariant a problém konečné báze se ptá, zda je možné získat všechny invarianty, počínaje konečným seznamem invariantů, nazývaných generátory , aplikací operací sčítání a násobení na ně. Například, diskriminant dává konečný (sestávající z jednoho prvku) základ invariantů binárních kvadratických forem . Paul Gordan , Noetherův supervizor, byl známý jako „král invariantní teorie“ a jeho hlavním přínosem pro matematiku bylo řešení problému konečných bází pro invarianty homogenních polynomů ve dvou proměnných [100] . Dokázal to tím, že nabídl konstruktivní způsob, jak najít všechny invarianty a jejich generátory, ale nemohl tento přístup použít pro invarianty se třemi nebo více proměnnými. V roce 1890 David Hilbert dokázal podobné tvrzení pro invarianty homogenních polynomů v libovolném počtu proměnných [101] [102] . Navíc jeho metoda nefungovala pouze pro speciální lineární grupu, ale také pro některé její podgrupy, jako je speciální ortogonální grupa [102] . Jeho první důkaz neuváděl žádný způsob konstrukce generátorů, ale v pozdější práci svou metodu učinil konstruktivnější. Neter ve své práci rozšířila Gordanův výpočetní důkaz na homogenní polynomy ve třech a více proměnných. Noetherův konstruktivní přístup umožnil studovat vztahy mezi invarianty. Následně, když se obrátila k abstraktnějším metodám, nazvala Noether svou dizertační práci Mist ("junk") a Formelngestrüpp ("džungle rovnic").

Galoisova teorie

Galoisova teorie studuje transformace číselných polí, které přeskupují kořeny nějaké rovnice. Uvažujme polynom v proměnné x stupně n , jehož koeficienty patří do nějakého základního pole – například pole reálných čísel , racionálních čísel nebo reziduí modulo 7. V tomto poli může být hodnota x , která činí polynom nulovým . Takové hodnoty, pokud existují, se nazývají kořeny . Například polynom x 2 + 1 nemá kořeny v oboru reálných čísel, protože jakákoli hodnota x činí polynom větší nebo roven jedné. Pokud je však pole rozšířeno , pak každý polynom může začít mít kořeny, a pokud je pole dostatečně rozšířeno, bude mít n kořenů. Pokračujeme-li v předchozím příkladu, pokud je pole rozšířeno na komplexní čísla , pak polynom získá dva kořeny, i a − i , kde i  je imaginární jednotka , tedy i  2 = −1 .

Galoisova grupa polynomu je souborem všech transformací jeho pole rozkladu , které zachovávají základní pole. Galoisova grupa polynomu x 2 + 1 se skládá ze dvou prvků: identitního mapování , které mapuje každé komplexní číslo k sobě samému, a komplexní konjugace, která mapuje i na − i . Protože Galoisova grupa zachovává základní pole, koeficienty polynomu zůstávají nezměněny, a proto se nemění množina jeho kořenů. Kořen tohoto polynomu však může jít do jeho druhého kořene, takže transformace definuje permutaci n kořenů mezi sebou. Význam Galoisovy grupy vyplývá ze základní věty Galoisovy teorie , která říká, že pole ležící mezi hlavním polem a polem rozkladu jsou v přímé shodě s podgrupami Galoisovy grupy.

V roce 1918 Noether publikoval zásadní článek o inverzním problému Galoisovy teorie [103] . Namísto definice skupiny Galois pro dané pole a jeho rozšíření se Noether zeptal, zda je vždy možné najít rozšíření daného pole, které má danou skupinu jako skupinu Galois. Ukázala, že tento problém se redukuje na tzv. „problém Noetheru“: je pravda, že pole prvků fixované vzhledem k podgrupě G grupy S n působící na pole k ( x 1 , ... , x n ) je vždy čistě transcendentální rozšíření pole k . (Poprvé se o tomto problému zmiňuje v článku z roku 1913 [104] a připisuje jej svému kolegovi Fisherovi.) Noether ukázal, že toto tvrzení platí pro n = 2 , 3 nebo 4. V roce 1969 našel R. Swan protipříklad k Noetherový problém, kde n = 47 a G  je cyklická grupa řádu 47 [105] (i když tuto grupu lze jako Galoisovu grupu nad polem racionálních čísel realizovat i jinak). Inverzní problém Galoisovy teorie zůstává nevyřešen [106] .

Fyzika

Noether přijela do Göttingenu v roce 1915 na žádost Davida Hilberta a Felixe Kleina, kteří měli zájem naučit se její znalosti invariantní teorie, aby jim pomohla pochopit obecnou relativitu  , geometrickou teorii gravitace, kterou z větší části vyvinul Albert. Einstein . Hilbert si všiml, že zákon zachování energie se zdá být v obecné relativitě porušen, protože gravitační energie může sama sloužit jako zdroj gravitace. Noetherová našla řešení tohoto paradoxu pomocí Noetherovy první věty , kterou dokázala v roce 1915, ale nebyla publikována až do roku 1918 [107] . Nejenže vyřešila tento problém v obecné relativitě, ale také určila konzervované veličiny pro každý systém fyzikálních zákonů, který měl nějakou spojitou symetrii .

Poté, co Einstein obdržel její práci, napsal Hilbertovi [108] :

Včera mi přišel velmi zajímavý článek paní Noetherové o konstrukci invariantů. Jsem ohromen, že takové věci lze posuzovat z tak obecného hlediska. Staré gardě v Göttingenu by neuškodilo, kdyby je poslala na výcvik k madame Noetherové. Zdá se, že své podnikání dobře zná.

— Kimberling, 1981 , s. 13

Pro ilustraci, pokud se fyzikální systém chová stejně bez ohledu na to, jak je orientován v prostoru, pak fyzikální zákony, kterými se řídí, jsou rotačně symetrické; z této symetrie podle Noetherovy věty vyplývá, že rotační moment soustavy musí být konstantní [109] . Fyzický systém sám o sobě nemusí být symetrický; zubaté asteroidy, rotující v prostoru, si i přes svou asymetrii zachovávají svůj moment hybnosti . Spíše symetrie fyzikálních zákonů, kterými se systém řídí, je zodpovědná za zákony zachování . Jako další příklad, jestliže fyzikální experiment má stejný výsledek na jakémkoli místě a v jakémkoliv čase, pak jsou jeho zákony symetrické za neustálých posunů v prostoru a čase ; podle Noetherovy věty z přítomnosti těchto symetrií vyplývá zákon zachování hybnosti a energie v rámci tohoto systému, resp. Noetherův teorém se stal jedním z hlavních nástrojů moderní teoretické fyziky díky teoretickému pochopení zákonů zachování, které poskytuje, a také praktickým nástrojem pro výpočty.

Druhé období (1920–1926)

Ačkoli výsledky prvního období Noetherovy práce byly působivé, její sláva jako matematičky se z velké části opírá o práci, kterou vykonala během druhého a třetího období, jak poznamenali Hermann Weyl a Barthel Warden ve svých nekrologech o ní.

V této době neaplikovala jen myšlenky a metody bývalých matematiků, ale vyvinula nové systémy matematických definic, které se budou používat v budoucnu. Zejména vyvinula zcela novou teorii ideálů v prstencích zobecněním Dedekindových dřívějších prací . Je také známá tím, že vyvinula podmínku ukončení vzestupného řetězce, jednoduchou podmínku konečnosti, pomocí které byla schopna získat silné výsledky. Takové podmínky a ideální teorie umožnily Noetherové zobecnit mnoho minulých výsledků a znovu se podívat na staré problémy, jako je teorie vyloučení a algebraické variety , které studoval její otec.

Zvyšování a snižování řetězců

V tomto období své tvorby se Noether proslavila obratným používáním podmínek pro ukončení vzestupných a sestupných řetězců. Posloupnost neprázdných podmnožin A 1 , A 2 , A 3 ... množiny S se nazývá rostoucí za předpokladu, že každá z nich je podmnožinou následující

Naopak posloupnost podmnožin S se nazývá klesající, pokud každá z nich obsahuje následující podmnožinu:

Sekvence se ustálí po konečném počtu kroků , pokud existuje n takových, že pro všechna m ≥ n . Množina podmnožin dané množiny splňuje podmínku přerušení rostoucích řetězců, pokud se některá rostoucí sekvence po konečném počtu kroků stane konstantní. Pokud se některá sestupná sekvence po konečném počtu kroků stane konstantní, pak sada podmnožin splňuje podmínku sestupného řetězce.

Podmínky pro přerušení vzestupných a sestupných řetězců jsou obecné – v tom smyslu, že je lze aplikovat na mnoho typů matematických objektů – a na první pohled se nezdají být příliš silným nástrojem. Noether ukázal, jak lze takové podmínky využít k jejich maximální výhodě: například, jak je použít k tomu, aby ukázaly, že každá sada podobjektů má maximální nebo minimální prvek nebo že složitý objekt lze sestavit z menšího počtu rodičovských prvků. Tyto závěry jsou často nejdůležitějšími kroky při dokazování.

Mnoho typů objektů v abstraktní algebře může splňovat podmínky ukončení řetězce, a pokud splňují podmínku ukončení vzestupného řetězce, pak se zpravidla nazývají noetherovské. Podle definice splňuje noetheriánský prsten podmínku přerušení pro vzestupné řetězce ideálů. Noetheriánská skupina je definována jako skupina, ve které je každý přísně rostoucí řetězec podskupin konečný. Noetheriánský modul je modul, ve kterém se každá rostoucí sekvence submodulů po konečném počtu kroků stává konstantní. Noetheriánský prostor  je topologický prostor , ve kterém se každá rostoucí sekvence otevřených prostorů po konečném počtu kroků stává konstantní; tato definice dělá ze spektra noetheriánského kruhu noetheriánský topologický prostor.

Podmínky zlomu často „zdědí“ podobjekty. Například všechny podprostory noetheriánského prostoru jsou noetherovské; všechny podskupiny a skupin faktorů noetheriánské skupiny jsou také noetherovské; totéž platí pro submoduly a faktormoduly noetheriánského modulu . Všechny faktorové kruhy noetheriánského kruhu jsou noetherovské, ale to nemusí nutně platit pro podkruhy. Podmínky přerušení mohou být také zděděny kombinacemi nebo rozšířeními noetheriánského objektu. Například konečné přímé součty noetherovských kruhů jsou noetherovské, stejně jako kruh formálních mocninných řad nad noetherovským kruhem.

Další aplikací podmínek ukončení řetězce je Noetherova indukce , což je zobecnění matematické indukce. Noetherovská indukce se často používá k redukci tvrzení o sbírce objektů na tvrzení o konkrétních objektech v této sbírce. Předpokládejme, že S je částečně uspořádaná množina. Jedním ze způsobů, jak dokázat tvrzení o objektech z S , je předpokládat existenci protipříkladu a získat rozpor. Základním předpokladem pro Noetherovskou indukci je, že každá neprázdná podmnožina S obsahuje minimální prvek; zejména soubor všech protipříkladů obsahuje minimální prvek. K prokázání původního tvrzení pak stačí dokázat, že pro jakýkoli protipříklad existuje menší protipříklad.

Komutativní kruhy, ideály a moduly

Noetherův článek z roku 1921 „The Theory of Ideals in Rings“ [110] rozvinul základy obecné teorie komutativních prstenců a poskytl jednu z prvních obecných definic komutativního prstence [111] . Dříve bylo mnoho výsledků v komutativní algebře omezeno na konkrétní příklady komutativních kruhů, jako jsou polynomiální kruhy nad polem nebo kruhy algebraických celých čísel . Noether dokázal, že v prstenci, jehož ideály splňují podmínku vzestupného řetězce, je každý ideál generován s konečnou platností. V roce 1943 francouzský matematik Claude Chevalley razil termín „ noetheriánský prsten “ k popisu této vlastnosti [111] . Hlavním výsledkem Noetherovy práce z roku 1921 je Lasker–Noetherova věta , která zobecňuje Laskerovu větu o primárním rozkladu ideálů v polynomiálních kruzích. Na Lasker-Noetherovu větu lze pohlížet jako na zobecnění základní věty aritmetiky, která říká, že jakékoli kladné celé číslo může být reprezentováno jako součin prvočísel a že tato reprezentace je jedinečná.

Noetherova práce o abstraktní konstrukci teorie ideálů v algebraických číselných polích (1927) [112] charakterizuje kruhy, ve kterých mají ideály jedinečný rozklad na prvoideály, jako Dedekindovy kruhy  , Noetherovské integrálně uzavřené kruhy dimenze 0 nebo 1. Tento článek také obsahuje skutečnost, že v současnosti se nazývají věty o izomorfismu , které popisují některé základní přirozené izomorfismy , a také některé další výsledky pro noetherovské a artinovské moduly.

Teorie vyloučení

V letech 1923-1924 Noetherová aplikovala svou ideální teorii na teorii vyloučení – ve formulaci, kterou připsala svému studentovi Kurtu Hentzeltovi – a ukázala, že základní teorémy o expanzi polynomů lze přímo zobecnit. Tradičně eliminační teorie zvažuje odstranění jedné nebo více proměnných ze systému polynomických rovnic, obvykle výslednou metodou . Pro ilustraci lze soustavu rovnic často psát jako „součin matice M (neobsahující proměnnou x ) a sloupcového vektoru v (jehož složky závisí na x ) se rovná nulovému vektoru “. Determinant matice M tedy musí být nulový, což nám umožňuje získat novou rovnici nezávislou na proměnné x .

Teorie invariantů konečných grup

Hilbertovy metody byly nekonstruktivním řešením problému konečných bází a nemohly být použity k získání kvantitativních informací o algebraických invariantech a kromě toho nebyly použitelné pro všechny skupinové akce. Noetherová ve svém článku z roku 1915 [113] nalezla řešení problému konečných bází pro konečnou grupu G působící na konečně-rozměrném vektorovém prostoru nad polem charakteristické nuly. Jeho řešení ukazuje, že kruh invariantů je generován homogenními invarianty, jejichž stupně nepřesahují řád skupiny; toto se nazývá hranice Noetheru . Její práce poskytuje dva důkazy pro existenci hranice Noetheru, z nichž oba také fungují, když je charakteristika pozemního pole coprime( faktoriál řádu grupy G ). Počet generátorů není nutně odhadován podle pořadí skupiny v případě, kdy se charakteristika pole dělí | G | [114] , ale Noether nedokázal určit, zda je tento odhad použitelný v případě, kdy se charakteristika pole dělí, ale ne. V roce 2000 Martin Fleischman a v roce 2001 Brian Fogarty dokázali, že hranice Noetheru platí i v tomto případě [115] [116] .

Noether ve svém článku z roku 1926 [117] rozšířil Hilbertovu větu na případ, kdy charakteristika pole rozděluje řád grupy. Tento teorém byl následně rozšířen na případ libovolné reduktivní grupy s důkazem Mumfordovy domněnky Williama Haboshe 118] . V tomto článku Noether také dokázal Noetherovo normalizační lemma , které říká, že konečně vygenerovaná doména integrity A nad polem k obsahuje množinu algebraicky nezávislých prvků x1, …, x 1 , ... , x n tak, že A je celé přes k [ x 1 , ... , x n ] .

Příspěvky k topologii

Hermann Weyl a P.S. Alexandrov ve svých nekrologech poukazují na to, že Noetherův příspěvek k topologii ilustruje velkorysost, s jakou sdílela nápady, a také to, jak by její poznatky mohly transformovat celé oblasti matematiky. V topologii matematici studují vlastnosti objektů, které zůstávají při deformaci nezměněny, jako je konektivita prostoru . V žertu se říká, že topolog nerozezná koblihu od hrnku, protože se mohou průběžně deformovat jedna do druhé.

Noetherovi se připisuje autorství základních myšlenek, které přispěly k rozvoji algebraické topologie , konkrétně myšlenky homologických grup [119] . V létě 1926 a 1927 navštěvovala Noetherová Hopfovy a Alexandrovovy topologické kurzy, kde „neustále dělala poznámky, často hluboké a jemné“ [120] . Aleksandrov napsal:

Když se na našich přednáškách poprvé seznámila se systematickou konstrukcí kombinatorické topologie, ihned si všimla, že je účelné uvažovat přímo grupy algebraických komplexů a cyklů daného mnohostěnu a grupu cyklů, podskupinu cyklů homologních k nula; místo obvyklé definice Bettiho čísel navrhla okamžitě definovat Bettiho grupu jako komplementární grupu (faktorovou grupu) grupy všech cyklů nad podskupinou cyklů homologních s nulou. Tato poznámka se nyní zdá být samozřejmá. Ale v těch letech (1925-28) to byl zcela nový úhel pohledu […]

- P. S. Alexandrov [121]

Noetherův návrh, že by topologie měla být studována algebraickými metodami, byl okamžitě přijat Hopfem, Alexandrovem a dalšími matematiky [121] a stal se častým tématem diskusí mezi matematiky z Göttingenu . Noether poznamenal, že systematické používání konceptu skupiny Betti činí důkaz obecného vzorce Euler-Poincaré jednoduchým a transparentním, a Hopfova práce na toto téma [122] „nese pečeť těchto poznámek Emmy Noetherové“ [123 ] .

Třetí období (1927–1935)

Hyperkomplexní čísla a teorie reprezentace

V 19. a na počátku 20. století bylo vykonáno mnoho práce na hyperkomplexních číslech a skupinových reprezentacích, ale zůstaly heterogenní. Noether spojil všechny tyto výsledky a vytvořil první obecnou teorii reprezentací grup a algeber [124] . Stručně řečeno, Noether spojil strukturální teorii asociativních algeber a teorii grupových reprezentací do jedné aritmetické teorie modulů a ideálů v kruzích splňujících podmínku vzestupného řetězce. Tato práce Noethera měla zásadní význam pro rozvoj moderní algebry [125] .

Nekomutativní algebra

Noether byl také zodpovědný za řadu dalších vývojů v oblasti algebry. S Emilem Artinem , Richardem Brouwerem a Helmutem Hassem vytvořila teorii centrálních jednoduchých algeber [126] .

Noether, Helmut Hasse a Richard Brouwer se ve svém článku zabývali dělením algeber [127] . Dokázali dvě důležité věty: větu, že pokud se algebra konečného centrálního dělení nad číselným polem rozštěpí lokálně všude, pak se rozštěpí globálně (a je tedy triviální), a „hlavní věta“, která z ní vyplývá: každý konečně-dimenzionální centrální dělení algebry přes pole algebraických čísel F se rozděluje přes cyklické kruhové rozšíření . Tyto věty umožňují klasifikovat všechny algebry konečného dělení přes dané číselné pole.

Hodnocení a uznání

Noetherovy práce jsou stále relevantní pro rozvoj teoretické fyziky a matematiky. Je jedním z největších matematiků dvacátého století. Nizozemský matematik Barthel van der Waerden ve svém nekrologu napsal, že Noetherova matematická originalita byla „naprosto bezkonkurenční“ [128] , a Hermann Weyl řekl, že Noether „svým dílem změnila tvář algebry“ [13] . Během jejího života a dodnes mnozí považují Noether za největší matematičku v historii [129] [7] , mezi nimi Pavel Alexandrov [130] , Hermann Weyl [131] a Jean Dieudonné [132] .

2. ledna 1935, několik měsíců před její smrtí, napsal matematik Norbert Wiener , že [133]

Slečna Noetherová je […] největší matematička, která kdy žila, […] a vědkyně přinejmenším na stejné úrovni jako madame Curie .

Původní text  (anglicky)[ zobrazitskrýt] Slečna Noetherová je... největší matematička, která kdy žila; a největší vědkyně všeho druhu, která nyní žije, a učenec alespoň na úrovni madame Curie.

Na světové výstavě moderní matematiky v roce 1964 byla Noether jedinou ženskou zástupkyní mezi významnými matematiky moderního světa [134] .

Noether byl poctěn několika památníky:

Seznam doktorandů

datum Jméno studenta Název práce a překlad do ruštiny Univerzita Datum publikace
16.12.1911 Falkenberg, Hans Verzweigungen von Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen
Větvení řešení nelineárních diferenciálních rovnic §
Erlangen Lipsko 1912
1916.03.04 Seidelman, Fritz Die Gesamtheit der kubischen und biquadratischen Gleichungen mit Affekt bei beliebigem Rationalitätsbereich
Sada kubických a kvadratických rovnic s vlivem z jakékoli oblasti racionality
Erlangen Erlangen 1916
25.02.1925 Němec, Greta Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale unter Benutzung nachgelassener Sätze von Kurt Hentzelt
Otázka konečného počtu kroků v teorii ideálů polynomů pomocí věty Kurta Henseltova §
Göttingen Berlín 1926
14.07.1926 Grell, Heinrich Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe
Vztahy mezi ideály různých prstenů §
Göttingen Berlín 1927
1927 Dorota, Wilhelm Über einem verallgemeinerten Gruppenbegriff
O zobecněném pojetí skupiny §
Göttingen Berlín 1927
zemřel před ochranou Holzer, Rudolf Zur Theorie der primären Ringe
K teorii prvočísel §
Göttingen Berlín 1927
12.06.1929 Weber, Werner Idealtheoretische Deutung der Darstellbarkeit beliebiger natürlicher Zahlen durch quadratische Formen
Ideální teoretický výklad reprezentace libovolných přirozených čísel z hlediska kvadratických forem §
Göttingen Berlín 1930
26. 6. 1929 Levitsky, Yaakov Über vollständig reduzible Ringe und Unterringe
Na zcela redukovatelné kroužky a podkroužky §
Göttingen Berlín 1931
18.06.1930 Během, Max Zur aritmetischen Theorie der algebraischen Funktionen
O aritmetické teorii algebraických funkcí §
Göttingen Berlín 1932
29.07.1931 Fitting, Hans Zur Theorie der Automorphismenringe Abelscher Gruppen und ihr Analogon bei nichtkommutativen Gruppen
K teorii automorfismů okruhu abelovských grup a jejich analogů pro nekomutativní grupy §
Göttingen Berlín 1933
27.07.1933 Witt, Ernest Riemann-Rochscher Satz a Zeta-Funktion im Hypercomplexen
Riemann-Rochův teorém a zeta funkce hyperkomplexních čísel §
Göttingen Berlín 1934
6.12.1933 Ching Ze Zeng Algebren über Funktionenkorpern
Algebry nad poli funkcí §
Göttingen Göttingen 1934
1934 Schilling, Otto Über gewisse Beziehungen zwischen der Arithmetik hyperkomplexer Zahlsysteme und algebraischer Zahlkörper
O některých vztazích mezi aritmetikou hyperkomplexních číselných soustav a tělesy algebraických čísel §
Marburg Brunswick 1935
1935 Stauffer, Ruth Konstrukce normálního základu v oddělitelném rozšíření pole Bryn Mawr Baltimore 1936
1935 Forbeck, Werner Nichtgaloissche Zerfällungskörper einfacher Systeme
Rozklady jednoduchých systémů, které nejsou Galoisovými poli §
Göttingen
1936 Wichmann, Wolfgang Anwendungen der p-adischen Theorie im Nichtkommutativen
Aplikace p -adické teorie v nekomutativní algebře §
Göttingen Měsíčník matematiky a fyziky (1936) 44 , 203-24.

Stejnojmenná matematická témata

Hlavní díla

Poznámky

  1. ↑ 1 2 3 Encyclopædia Britannica 
  2. ↑ 1 2 Archiv historie matematiky MacTutor
  3. ↑ Emmy Noether // FemBio : Databanka významných žen
  4. ↑ Noether Emmy // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / ed. A. M. Prochorov - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie , 1974. - T. 17: Moršin - Nikiš. - S. 523.
  5. ↑ https://www.sciencenews.org/article/emmy-noether-theorem-legacy-physics-math
  6. ↑ 1 2 http://cwp.library.ucla.edu/Phase2/[email protected]
  7. ↑ 1 2 Alexandrov, 1936 , s. 255.
  8. ↑ POZDNÍ EMMY NOETHER.; Profesor Einstein píše jako uznání kolegovi-matematikovi. . Získáno 24. května 2021. Archivováno z originálu dne 24. května 2021.
  9. ↑ Projev Hermanna Weyla na pohřbu Emmy Noetherové . Získáno 24. května 2021. Archivováno z originálu dne 24. května 2021.
  10. ↑ Životopis Lva Semjonoviče Pontrjagina, matematika, který sestavil sám. ČÁST II. Univerzita. . Získáno 8. září 2012. Archivováno z originálu 6. února 2012.
  11. ↑ Weyl, 1935
  12. ↑ Lederman & Hill, 2004 , str. 73
  13. ↑ 12 Dick , 1981 , str. 128
  14. ↑ Kimberling, 1981 , pp. 3–5.
  15. ↑ Podzim 1974 , str. 142.
  16. ↑ Dick, 1981 , str. 7–9.
  17. ↑ Ručně psané shrnutí Noethera .
  18. ↑ MacTutor .
  19. ↑ 1 2 Emmy Noether Archivováno 17. dubna 2019 na Wayback Machine // Encyclopædia Britannica Online
  20. ↑ Matematika. Mechanika, 1983 .
  21. ↑ Dick, 1981 , str. 9–10.
  22. ↑ Podzim 1974 , str. 142.
  23. ↑ Dick, 1981 , str. 10–11.
  24. ↑ Dick, 1981 , str. 25, 45.
  25. ↑ Kimberling, 1981 , str. 5.
  26. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , pp. 8–10.
  27. ↑ Dick, 1981 , str. 11–12.
  28. ↑ Lederman & Hill, 2004 , str. 71
  29. ↑ Kimberling, 1981 , pp. 10–11.
  30. ↑ Dick, 1981 , str. 13–17.
  31. ↑ Lederman & Hill, 2004 , str. 71
  32. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , pp. 11–12.
  33. ↑ Dick, 1981 , str. 18–24.
  34. ↑ Podzim 1974 , str. 143.
  35. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , s. čtrnáct.
  36. ↑ 12 Dick , 1981 , str. 32.
  37. ↑ 1 2 3 podzim, 1974 , str. 144–45.
  38. ↑ Dick, 1981 , str. 24–26.
  39. ↑ Lederman & Hill, 2004 , str. 72
  40. ↑ Lederman & Hill, 2004 , str. 73
  41. ↑ Dick, 1981 , str. 188.
  42. ↑ Kimberling, 1981 , str. 14–18.
  43. ↑ Podzim 1974 , str. 145.
  44. ↑ Dick, 1981 , str. 33–34.
  45. ↑ Noether, 1983 .
  46. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , s. osmnáct.
  47. ↑ Dick, 1981 , str. 44–45.
  48. ↑ Podzim, 1974 , pp. 145–46.
  49. ↑ van der Waerden, 1985 , str. 100.
  50. ↑ Dick, 1981 , str. 57–58.
  51. ↑ Kimberling, 1981 , str. 19.
  52. ↑ Lederman & Hill, 2004 , str. 74
  53. ↑ Podzim 1974 , str. 148.
  54. ↑ Kimberling, 1981 , pp. 24–25.
  55. ↑ Dick, 1981 , str. 61–63.
  56. ↑ 1 2 3 4 Alexandrov, 1936 .
  57. ↑ Dick, 1981 , str. 53–57.
  58. ↑ Dick, 1981 , str. 37–49.
  59. ↑ van der Waerden, 1985 , str. 98.
  60. ↑ Dick, 1981 , str. 46–48.
  61. ↑ Taussky, 1981 , str. 80.
  62. ↑ Scharlau, W. "Příspěvky Emmy Noetherové k teorii algeber" in Teicher, 1999 , s. 49.
  63. ↑ Mac Lane, 1981 , str. 77.
  64. ↑ Dick, 1981 , str. 37.
  65. ↑ Mac Lane, 1981 , str. 71.
  66. ↑ Dick, 1981 , str. 76.
  67. ↑ Dick, 1981 , str. 63–64.
  68. ↑ Kimberling, 1981 , str. 26.
  69. ↑ Podzim 1974 , str. 150.
  70. ↑ Dick, 1981 , str. 82–83.
  71. ↑ Emmy Amalie Noether . UK: St And.. Získáno 4. září 2008. Archivováno z originálu 11. května 2019.
  72. ↑ 12 Dick , 1981 , str. 72–73.
  73. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , pp. 26–27.
  74. ↑ Hasse, Helmut (1933), Die Struktur der R. Brauerschen Algebrenklassengruppe über einem algebraischen Zahlkörper , Mathematische Annalen T. 107: 731–760, doi : 10.1007/BF16degodztting , < BF16degodz . /index.php?id=11&PPN=GDZPPN002276062&L=1 > . Získáno 16. listopadu 2015. Archivováno 5. března 2016 na Wayback Machine . 
  75. ↑ Kimberling, 1981 , pp. 26–27.
  76. ↑ Dick, 1981 , str. 74–75.
  77. ↑ Kimberling, 1981 , str. 29
  78. ↑ Dick, 1981 , str. 75–76.
  79. ↑ 1 2 Kimberling, 1981 , pp. 28–29.
  80. ↑ Dick, 1981 , str. 75–76.
  81. ↑ Dick, 1981 , str. 78–79.
  82. ↑ Kimberling, 1981 , pp. 30–31.
  83. ↑ Dick, 1981 , str. 80–81.
  84. ↑ Dick, 1981 , str. 81–82.
  85. ↑ Dick, 1981 , str. 81.
  86. ↑ Dick, 1981 , str. 82.
  87. ↑ Kimberling, 1981 , str. 34.
  88. ↑ Kimberling, 1981 , pp. 37–38.
  89. ↑ Kimberling, 1981 , str. 39.
  90. ↑ Alexandrov P. S. Na památku Emmy Noetherové, „Pokroky v matematických vědách“, 1936, č. II.
  91. ↑ Einstein, A. In memory of Emmy Noether // Sborník vědeckých prací ve čtyřech svazcích. - M .: Nauka, 1967. - T. IV. - S. 198-199. — 600 s. - (Klasika vědy).
  92. ↑ Podzim, 1974 , pp. 148–49.
  93. ↑ Weyl, 1935 : "Původní text  (anglicky)[ zobrazitskrýt] Vědecká produkce Emmy Noetherové spadala do tří jasně odlišných epoch:

    (1) období relativní závislosti, 1907–1919;
    (2) výzkumy seskupené kolem obecné teorie ideálů 1920–1926;

    (3) studium nekomutativních algeber, jejich reprezentace lineárními transformacemi a jejich aplikace na studium komutativních číselných polí a jejich aritmetiky. ".
  94. ↑ Gilmer, 1981 , str. 131.
  95. ↑ Kimberling, 1981 , pp. 10–23.
  96. ↑ C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. soc. Reg. sci. Göttingen 7 (1832) 1-34; přetištěno ve Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, str. 93-148.
  97. ↑ Noether, 1987 , str. 168.
  98. ↑ Dick, 1981 , str. 101.
  99. ↑ Noether, 1908 .
  100. ↑ Noether, 1914 , str. jedenáct.
  101. ↑ Weyl, Hermann (1944), David Hilbert a jeho matematická práce , Bulletin of the American Mathematical Society vol. 50 (9): 612–654 , DOI 10.1090/S0002-9904-1944-08178-0 
  102. ↑ 1 2 Hilbert, David (prosinec 1890), Ueber die Theorie der algebraischen Formen , Mathematische Annalen vol. 36 (4): 473–534, doi : 10.1007/BF01208503 , < http://uneng-gdzetting de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0036&DMDID=DMDLOG_0045&L=1 > . Získáno 16. listopadu 2015. Archivováno 3. září 2014 na Wayback Machine 
  103. ↑ Noether, 1918 .
  104. ↑ Noether, 1913 .
  105. ↑ Swan, Richard G (1969), Invariantní racionální funkce a Steenrodův problém , Inventiones Mathematicae vol . 7 (2): 148–158 , DOI 10.1007/BF01389798 
  106. ↑ Malle, Gunter & Matzat, Bernd Heinrich (1999), Inverse Galois theory , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62890-3 
  107. ↑ Noether, 1918b
  108. ↑ Od Hypatie k Emmy Noetherové .
  109. ↑ Lederman & Hill, 2004 , pp. 97–116.
  110. ↑ Noether, 1921 .
  111. ↑ 12 Gilmer , 1981 , s. 133.
  112. ↑ Noether, 1927 .
  113. ↑ Noether, 1915 .
  114. ↑ Fleischmann, 2000 , s. 24.
  115. ↑ Fleischmann, 2000 , s. 25.
  116. ↑ Fogarty, 2001 , str. 5.
  117. ↑ Noether, 1926 .
  118. ↑ Haboush, WJ (1975), Reduktivní skupiny jsou geometricky reduktivní , Annals of Mathematics vol. 102(1): 67–83 , DOI 10.2307/1970974 
  119. ↑ Hilton, Peter (1988), Stručné, subjektivní dějiny homologie a teorie homotopie v tomto století, Mathematics Magazine vol. 60 (5): 282–91 
  120. ↑ Dick, 1981 , str. 173.
  121. ↑ 12 Dick , 1981 , str. 174.
  122. ↑ Hopf, Heinz (1928), Eine Verallgemeinerung der Euler-Poincaréschen Formel , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch - Physikalische Klasse vol . 2 : 127–36 
  123. ↑ Dick, 1981 , str. 174–75.
  124. ↑ Noether, 1929 .
  125. ↑ van der Waerden, 1985 , str. 244.
  126. ↑ Lam, 1981 , pp. 152–53.
  127. ↑ Brauer, Hasse & Noether, 1932 .
  128. ↑ Dick, 1981 , str. 100.
  129. ↑ Podzim 1974 , str. 152.
  130. ↑ Dick, 1981 , str. 154.
  131. ↑ Dick, 1981 , str. 152.
  132. ↑ 12 Noether , 1987 , s. 167.
  133. ↑ Kimberling, 1981 , pp. 35.
  134. ↑ Duchin, Moon (prosinec 2004), The Sexual Politics of Genius , University of Chicago , < http://www.math.lsa.umich.edu/~mduchin/UCD/111/readings/genius.pdf > . Získáno 23. března 2011. Archivováno 18. července 2011 na Wayback Machine (Noetherovy narozeniny). 
  135. ↑ Úvod , Profily žen v matematice , Přednášky Emmy Noether, Asociace pro ženy v matematice , 2005 Archivováno 23. května 2011 na Wayback Machine . 
  136. ↑ Emmy-Noether-Campus , DE : Universität Siegen , < http://www.uni-siegen.de/uni/campus/wegweiser/emmy.html > . Získáno 13. dubna 2008. Archivováno 8. října 2009 na Wayback Machine . 
  137. ↑ "Program Emmy Noether: Ve zkratce"  (odkaz není k dispozici) . Financování výzkumu . Deutsche Forschungsgemeinschaft . Staženo dne 5. září 2008.
  138. ↑ 1 2 Emmy Noether Visiting Fellowships http://www.perimeterinstitute.ca/emmy-noether-visiting-fellowships Archivováno 29. října 2017 na Wayback Machine

Literatura

Odkazy

  Přejděte na položku Wikidata  Tematické stránky
Slovníky a encyklopedie
Genealogie a nekropole