Redukční skupina

Reduktivní grupa je algebraická grupa , pro kterou je jednomocný radikál její jednotkové složky triviální. Přes neuzavřené pole je reduktivita algebraické grupy definována jako její reduktivita přes uzavření základního pole. $G$ $G^{0}$

Lineárně reduktivní grupa je grupa, jejíž každé racionální vyjádření je zcela redukovatelné. Jakákoli lineárně redukční skupina je redukční. Přes pole charakteristiky 0 platí i obráceně, to znamená, že tyto vlastnosti jsou ekvivalentní.

Mezi redukční grupy patří nejdůležitější grupy, jako je plná lineární grupa GL ( n ) invertibilních matic , speciální ortogonální grupa SO ( n ) a symplektická grupa Sp ( 2n ). Jednoduché algebraické grupy a (obecněji) polojednoduché algebraické grupy jsou reduktivní.

Claude Chevalley ukázal, že klasifikace reduktivních grup je stejná přes jakékoli algebraicky uzavřené pole . Zvláště, jednoduché algebraické grupy jsou klasifikovány Dynkinovými diagramy , jak v teorii kompaktních Lieových grup nebo komplexních polojednoduchých Lieových grup . Reduktivní grupy nad libovolným polem se hůře klasifikují, ale pro mnoho polí, jako je reálné číselné pole R nebo číselné pole , je klasifikace zcela jasná. Klasifikace jednoduchých konečných grup uvádí, že většina konečných jednoduchých grup vzniká jako grupa G ( k ) k - racionální body jednoduché algebraické grupy G nad konečným tělesem k , nebo jako mírně deviantní varianta takové konstrukce.

Reduktivní grupy mají bohatou teorii reprezentace v různých kontextech. Nejprve je možné studovat reprezentace pomocí reduktivní grupy G nad polem k jako algebraické grupy, které jsou akcemi grupy G na k -vektorovém prostoru. Lze také studovat komplexní reprezentace grupy G ( k ), když k je konečné pole, nekonečně-dimenzionální unitární reprezentace reálné reduktivní grupy nebo automorfní reprezentace algebraické adele grupy . Ve všech těchto oblastech se využívá strukturální teorie redukčních grup.

Definice

Lineární algebraická grupa nad polem k je definována jako hladké schéma uzavřené podgrupy grupy GL ( n ) nad polem k pro nějaké kladné celé číslo n . Ekvivalentně, lineární algebraická grupa přes k je hladké afinní grupové schéma nad polem k .

Souvislá lineární algebraická grupa G přes algebraicky uzavřené pole je považována za poloprostou , pokud je nějaká hladce spojená rozpustná normální podgrupa G triviální. Více obecně, spojená lineární algebraická grupa G přes algebraicky uzavřené pole je řekl, aby byl reduktivní jestliže nějaká hladce spojená unipotentní normální podgrupa G je triviální [1] . (Někteří autoři nevyžadují konektivitu pro reduktivní grupy.) O grupě G nad libovolným polem k se říká, že je semijednoduchá nebo reduktivní, pokud je schéma získané rozšířením báze [2] semijednoduché nebo reduktivní, kde je algebraické uzavření pole. k . (Toto je ekvivalentní definici redukčních grup za předpokladu, že pole k je dokonalé [3] .) Jakýkoli torus nad polem k , jako je multiplikativní grupa Gm , je redukční. $G_{\overline {k))$ ${\overline {k))$

Základním příkladem nereduktivní lineární algebraické grupy je aditivní grupa G a nad polem.

Lineární algebraická grupa G nad polem k se nazývá jednoduchá (nebo k - jednoduchá ), pokud je polojednoduchá, netriviální a jakákoli hladce spojená normální podgrupa G nad polem k je triviální nebo se rovná G [4] . (Někteří autoři nazývají tuto vlastnost „téměř jednoduchá“.) To se mírně liší od terminologie abstraktních grup v tom, že jednoduchá algebraická grupa může mít netriviální střed (ačkoli střed musí být konečný). Například pro libovolné celé číslo n ne menší než 2 a libovolné pole k je grupa SL ( n ) nad k jednoduchá a jejím středem je grupové schéma μ n n -tých kořenů jednoty.

Centrální izogeneze reduktivních grup je surjektivní homomorfismus s jádrem ve formě konečného centrálního schématu podgrup. Jakákoli redukční skupina nad polem připouští centrální isogenezi z produktu torusu a některých jednoduchých skupin. Například přes libovolné pole k ,

GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}.

Při definování reduktivní grupy nad polem to vypadá poněkud neohrabaně, což je odkaz na algebraický uzávěr. Pro dokonalé pole k to lze vynechat — lineární algebraická grupa G nad polem k je reduktivní právě tehdy, když je nějaká hladce spojená unipotentní normální k -podgrupa G triviální. Pro libovolné pole definuje poslední vlastnost pseudo-reduktivní grupu , která je poněkud obecnější.

Redukční grupa G nad polem k se nazývá rozdělení , pokud obsahuje rozdělený maximální torus T nad k (tj. rozdělený torus v G , jehož změna báze na dává maximální torus v ). Podle Alexandra Grothendiecka je to ekvivalentní tvrzení, že T je rozdělený torus v G , kde T je maximální mezi všemi k -tori v G [5] . ${\overline {k))$ $G_{\overline {k))$

Příklady

Základním příkladem redukční grupy je plná lineární grupa GL ( n ) invertibilních n × n matic na poli k pro přirozené číslo n . Konkrétně multiplikativní grupa G m je GL (1) grupa, a pak její grupa G m ( k ) k -racionálních bodů je grupou k * nenulových prvků grupy k násobením. Další reduktivní grupou je speciální lineární grupa SL ( n ) nad polem k , podgrupa matic s determinantem 1. Ve skutečnosti je SL ( n ) jednoduchá algebraická grupa pro n ne menší než 2.

Důležitou jednoduchou grupou je symplektická grupa Sp (2 n ) nad polem k , podgrupa grupy GL (2 n ), která zachovává nedegenerovanou střídající se bilineární formu na vektorovém prostoru k 2 n . Také ortogonální grupa O ( q ) je podgrupou obecné lineární grupy zachovávající nedegenerovanou kvadratickou formu q na vektorovém prostoru nad polem k . Algebraická grupa O ( q ) má dvě spojené složky a její identitní složka SO ( q ) je reduktivní a ve skutečnosti je jednoduchá pro q s rozměrem n alespoň 3. (Pro pole k charakteristiky 2 a liché n , grupové schéma O ( q ) je ve skutečnosti souvislé, ale ne hladké přes k Jednoduchou grupu SO ( q ) lze vždy definovat jako maximální hladce souvislou podgrupu O ( q ) nad polem k .) Je-li pole k algebraicky uzavřené, jsou libovolné dvě (nedegenerované) kvadratické formy téže dimenze izomorfní, a proto je vhodné tuto grupu nazývat SO ( n ). Pro obecné pole k mohou různé kvadratické formy dimenze n dávat neizomorfní jednoduché grupy SO ( q ) přes k , ačkoli všechny mají základní změnu na algebraické uzavření . ${\overline {k))$

Další popisy redukčních skupin

Každá kompaktní spojená Lieova grupa má komplexizaci , což je komplexní reduktivní algebraická grupa. Ve skutečnosti tato konstrukce dává vzájemnou korespondenci mezi kompaktními spojenými Lieovými grupami a komplexními reduktivními grupami (až do izomorfismu). Pro kompaktní Lieovu grupu K s komplexizací G je inkluze z K do komplexní reduktivní grupy G ( C ) homotopickou ekvivalencí vzhledem ke klasické topologii na G ( C ). Například inkluze z unitární skupiny U ( n ) do GL ( n , C ) je homotopická ekvivalence.

Pro reduktivní grupu G nad polem s charakteristickou nulou jsou všechna zobrazení grupy G (jako algebraická grupa) zcela redukovatelná, to znamená, že jde o přímé součty neredukovatelných (redukovatelných) zobrazení [6] . Tato skutečnost je původem názvu „reduktivní“. Všimněte si však, že úplná redukovatelnost neplatí pro reduktivní skupiny s pozitivní charakteristikou (jiné než tori). Podrobněji, afinní grupové schéma G konečného typu nad polem k se nazývá lineárně reduktivní , pokud jsou jeho reprezentace zcela reduktivní. Pro pole k charakteristické nuly je grupa G lineárně reduktivní právě tehdy, když je složka identity G o grupy G reduktivní [7] . Pro pole k s charakteristikou p >0 však Masayoshi Nagata ukázal, že grupa G je lineárně reduktivní právě tehdy, když grupa Go je multiplikativního typu a G / G o má řád coprime k p [ 8]. .

Kořeny

Klasifikace reduktivních algebraických grup se provádí v podmínkách sdruženého kořenového systému , jako v teoriích komplexních polojednoduchých Lieových algeber nebo kompaktních Lieových grup.

Nechť G je dělená reduktivní grupa nad polem k a nechť T je dělený maximální torus v G . Pak T je izomorfní pro nějaké n a n se nazývá hodnost G . Jakákoli reprezentace torusu T (jako algebraická grupa) je přímým součtem 1-rozměrných reprezentací [9] . Váha pro skupinu G znamená třídu izomorfismu jednorozměrných reprezentací torusu T nebo ekvivalentně homomorfismus . Váhy tvoří grupu X ( T ) tenzorovým součinem reprezentací, kde X ( T ) je izomorfní se součinem n kopií grupy celých čísel Zn . $(G_{m})^{n}$ ${\displaystyle T\to G_{m))$

Adjungovaná reprezentace je akce grupy G konjugací na její Lieově algebře . Kořen skupiny G znamená nenulovou váhu, která se objevuje při působení torusu na . Podprostor prostoru odpovídající každému kořenu je jednorozměrný a podprostor prostoru fixovaný torusem T je přesně Lieovou algebrou torusu T [10] . Lieova algebra grup G se tedy rozkládá na jednorozměrné podprostory indexované množinou Φ kořenů: $\mathfrak g$ $T\subset G$ $\mathfrak g$ $\mathfrak g$ $\mathfrak g$ ${\mathfrak {t))$ ${\mathfrak {t))$

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {t}}\oplus \oplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }.

Například, jestliže G je GL grupa ( n ), její Lieova algebra je vektorový prostor všech matic nad polem k . Nechť T je podgrupa diagonálních matic v G . Pak rozklad na kořenové prostory vyjadřuje jako přímý součet diagonálních matic a 1-rozměrných podprostorů indexovaných mimodiagonálními pozicemi ( i , j ). Označíme-li L 1 ,..., L n standardní základ hmotnostní mřížky , kořeny budou prvky pro všechny od 1 do n . ${{\mathfrak {g}}l}(n)$ $n\krát n$ ${{\mathfrak {g}}l}(n)$ ${\displaystyle X(T)\cong \mathbf {Z} ^{n))$ ${\displaystyle L_{i}-L_{j))$ $já \ne j$

Kořeny polojednoduché skupiny tvoří kořenový systém . Jedná se o kombinatorickou strukturu, kterou lze zcela klasifikovat. Obecněji, kořeny reduktivní skupiny tvoří mírně odlišnou verzi kořenových dat [11] . Weilova grupa redukční grupy G znamená kvocientovou grupu normalizátoru maximálního torusu torusem . Weilova grupa je ve skutečnosti konečná grupa generovaná odrazy. Například pro skupinu GL ( n ) (nebo SL ( n )) je Weylová skupina symetrická skupina Sn . $W=N_{G}(T)/T$

Existuje konečný počet borelských podskupin obsahujících daný maximální torus a ty jsou jednoduše transitivně permutovány Weilovou skupinou (působící jako konjugace ) [12] . Volba borelské podgrupy definuje množinu kladných kořenů s vlastností, že Φ je disjunktní spojení Φ + a −Φ + . Je zřejmé, že Lieova algebra Borelovy podgrupy B je přímým součtem Lieovy algebry grupy T a prostorů kladných kořenů: $\Phi ^{+}\subset \Phi$

{\mathfrak {b}}={\mathfrak {t}}\oplus \oplus _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }.

Například, jestliže B je borelská podskupina horních trojúhelníkových matic v GL ( n ), pak se zjevně jedná o podprostorový rozklad horních trojúhelníkových matic v . Pozitivní kořeny jsou pro . ${\mathfrak b}$ ${{\mathfrak {g}}l}(n)$ ${\displaystyle L_{i}-L_{j))$ $1\leqslant i<j\leqslant n$

Jednoduchý kořen znamená kladný kořen, který není součtem žádných dvou kladných kořenů. Označme množinou všech jednoduchých kořenů. Číslo r jednoduchých kořenů rovné hodnosti komutátorové podgrupy G se nazývá polojednoduchá hodnost G ( což je jednoduchá hodnost G , je -li G polojednoduché). Například jednoduché kořeny skupiny (nebo ) jsou pro . $\delta$ $GL(n)$ $SL(n)$ $L_{i}-L_{i+1}$ $1\leqslant i\leqslant n-1$

Kořenové systémy jsou klasifikovány odpovídajícími Dynkinovými diagramy , což jsou konečné grafy (ve kterých některé hrany mohou mít směr nebo být násobky). Množina vrcholů Dynkinova diagramu je množina jednoduchých kořenů. Stručně, Dynkinův diagram popisuje úhly mezi jednoduchými kořeny a jejich relativní délky, přičemž bere v úvahu (Weylova skupina invariantní) skalární součin na váhové mřížce. Propojené Dynkinovy diagramy (odpovídající jednoduchým skupinám) jsou uvedeny níže.

Pro rozdělenou reduktivní grupu G nad polem k je důležité, že kořen nedefinuje pouze 1-rozměrný podprostor Lieovovy algebry G , ale také kopii aditivní grupy G a v G s danou Lieovou algebrou. , která se nazývá kořenová podgrupa U α . Kořenová podgrupa je jedinou kopií aditivní grupy v G , která je normalizována torusem T a která má danou Lieovu algebru [10] . Celá skupina G je generována (jako algebraická grupa) torusem T a kořenovými podskupinami, zatímco borelská podskupina B je generována torusem T a pozitivními kořenovými podskupinami. Ve skutečnosti je rozdělená semijednoduchá skupina G generována jedinou kořenovou podskupinou.

Parabolické podskupiny

Pro rozdělenou reduktivní grupu G přes pole k , hladce spojené podgrupy G obsahující danou borelskou podgrupu B z G odpovídají jedna ku jedné podmnožině množiny Δ jednoduchých kořenů (nebo ekvivalentně podmnožině množiny vrcholů Dynkinova diagramu). Nechť r je řád množiny Δ, polojednoduchá hodnost grupy G . Jakákoli parabolická podskupina G je konjugována s podskupinou obsahující B nějakým prvkem G ( k ). V důsledku toho existují přesně 2 r třídy konjugace parabolických podskupin ve skupině G nad polem k [13] . Je jasné, že parabolická podgrupa odpovídající dané podmnožině S množiny Δ je grupa generovaná podgrupou B spolu s kořenovými podgrupami pro α z S . Například parabolické podskupiny skupiny GL ( n ) obsahující borelskou podskupinu B jsou invertibilní maticové skupiny s nulovými položkami pod danou sadou čtverců podél diagonály, jako například: ${\displaystyle U_{-\alpha ))$

\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*&*\\*&*&*&*\\0&0&*&*\\0&0&0&*\end{bmatrix}}\right\}

Podle definice je parabolická podgrupa P redukční grupy G nad polem k hladká k -podgrupa taková, že varieta kvocientu G / P je vlastní nad k , nebo ekvivalentně projektivní přes k . Pak je klasifikace parabolických podskupin ekvivalentní klasifikaci projektivních homogenních variet pro G (s hladkou stacionární podskupinou, tj. bez omezení na pole k s nulovou charakteristikou). Pro GL ( n ) je to příznaková varieta parametrizující sekvenci lineárních podprostorů daných rozměrů a 1 ,..., a i , obsažených v pevném vektorovém prostoru V dimenze n :

0\subset S_{a_{1}}\subset \cdots \subset S_{a_{i}}\subset V.

Pro ortogonální skupinu nebo symplektickou skupinu mají projektivní homogenní variety podobný popis jako izotropní flag variety dané kvadratické nebo symplektické formě. Pro jakoukoli reduktivní skupinu G s borelskou podskupinou B se G / B nazývá vlajková varieta nebo vlajková varieta skupiny G.

Klasifikace dělených redukčních skupin

Chevalley v roce 1958 ukázal, že reduktivní grupy v jakémkoli algebraicky uzavřeném poli jsou klasifikovány až do izomorfismu podle kořenů [14] [15] . Zejména polojednoduché podgrupy v algebraicky uzavřeném poli jsou klasifikovány až do centrální izogeneze svými Dynkinovými diagramy, zatímco jednoduché skupiny odpovídají souvislým diagramům. To znamená, že existují jednoduché skupiny typu An , Bn , Cn , Dn , E6 , E7 , E8 , F4 , G2 . Tento výsledek je v podstatě totožný s klasifikací kompaktních Lieových grup nebo komplexních polojednoduchých Lieových algeber Wilhelmem Killingem a Ely Josephem Cartanem v 80. a 90. letech 19. století. Zejména rozměry, středy a další vlastnosti jednoduchých algebraických grup lze získat ze seznamu jednoduchých Lieových grup . Je pozoruhodné, že tato klasifikace redukčních skupin nezávisí na charakteristikách . Pro srovnání, existuje mnohem více jednoduchých Lieových algeber s kladnou charakteristikou než s nulovou charakteristikou.

Výjimečné skupiny G typu G 2 a E 6 zkonstruoval již dříve, alespoň ve formě abstraktních skupin G ( k ), Leonard Dickson . Například grupa G 2 je grupa automorfismu algebry oktonionů nad polem k . Naproti tomu zcela nové byly Chevalley skupiny typů F 4 , E 7 , E 8 nad polem s pozitivní charakteristikou.

Obecněji platí, že klasifikace rozdělených redukčních skupin je stejná v jakémkoli oboru [16] . O polojednoduché grupě G nad polem k se říká , že je jednoduše spojena , jestliže jakákoli centrální izogeneze z polojednoduché grupy do grupy G je izomorfismus. (Pro polojednoduchou grupu G nad komplexními čísly je v tomto smyslu jednoduše souvislý prostor ekvivalentní k tomu, že grupa G ( C ) je v klasické topologii jednoduše souvislý prostor .) Chevalleyova klasifikace ukazuje, že nad jakýmkoli polem k existuje unikátní jednoduchá jednoduše spojená dělená semijednoduchá grupa G s daným Dynkinovým diagramem, přičemž jednoduché skupiny odpovídají spojeným diagramům. Naopak polojednoduchá skupina má konjugovaný typ , pokud je její střed triviální. Rozdělení jednoduchých grup přes pole k s daným Dynkinovým diagramem jsou přesně grupy G / A , kde G je jednoduše spojená grupa a A je schéma k -podgrupy středu G .

Například jednoduše spojené rozdělené jednoduché skupiny nad polem k , odpovídající "klasickým" Dynkinovým diagramům, jsou následující:

An : SL ( n + 1) přes k ;
B n : spinorová skupina Spin(2 n +1) spojená s kvadratickou formou dimenze 2 n +1 nad k s Wittovým indexem n , např.

q(x_{1},\ldots ,x_{2n+1})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{ 2n}+x_{2n+1}^{2};

C n : symplektická skupina Sp (2 n ) nad k ;
D n : dělená skupina Spin(2 n ) spojená s kvadratickou formou dimenze 2 n nad k s Wittovým indexem n , kterou lze zapsat jako:

q(x_{1},\ldots ,x_{2n})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n} .

Vnější skupina automorfismu rozdělené reduktivní grupy G nad polem k je izomorfní ke skupině automorfismu kořenových dat G . Navíc se skupina automorfismu G rozděluje jako polopřímý produkt :

\operatorname {Aut} (G)\cong \operatorname {Out} (G)\ltimes (G/Z)(k),

kde Z je střed grupy G [17] . Pro dělenou, polojednoduchou, jednoduše spojenou grupu G nad polem má grupa vnějších automorfismů grupy G jednodušší popis: je to grupa automorfismů Dynkinových diagramů grupy G .

Schémata redukčních grup

O skupinovém schématu G nad schématem S se říká , že je reduktivní , pokud je morfismus hladký a afinní a jakékoli geometrické vlákno je reduktivní. (Pro bod p z S znamená odpovídající geometrické vlákno nahrazení základny grupy G algebraickým uzavřením pole zbytků pro p .) Rozšíření práce Chevalleyho, Demazureho a Grothendiecka ukázalo, že rozdělená schémata reduktivní grupy přes jakékoli neprázdné schéma S je klasifikováno kořenovými daty [18] [19] . Toto tvrzení zahrnuje existenci Chevalleyových skupin jako skupinových schémat nad Z a tvrdí, že jakákoli rozdělená reduktivní grupa nad schématem S je izomorfní ke změně základu Chevalleyovy grupy ze Z na S. $G\to S$ $G_{\overline {k))$ ${\overline {k))$

Skutečné redukční skupiny

V kontextu Lieových grup , spíše než algebraických grup, je skutečná reduktivní grupa Lieovova grupa G taková, že existuje lineární algebraická grupa L nad R , jejíž složka identity (v Zariskiho topologii ) je reduktivní a homomorfismus, jehož jádro je konečné . a jehož obraz je otevřený v L ( R ) (v klasické topologii). Obvykle se předpokládá, že obraz přidružené reprezentace Ad( G ) je obsažen v (což se u spojené skupiny G děje automaticky ) [20] . $G\to L(\mathbf {R} )$ $\mathrm {Int} (g_{\mathbf {C} })=\mathrm {Ad} (L^{0}(\mathbf {C} ))$

Zejména jakákoli spojená polojednoduchá Lieova grupa (což znamená, že její Lieova algebra je polojednoduchá) je reduktivní. Také Lieova grupa R je v tomto smyslu reduktivní, protože ji lze považovat za identitní složku grupy GL (1, R ) ≅ R *. Problém klasifikace skutečných reduktivních grup je značně redukován pro klasifikaci jednoduchých Lieových grup. Jsou klasifikovány podle jejich Satake diagramů . Lze také odkázat na seznam jednoduchých Lieových grup (až po konečné kryty).

Užitečné teorie přípustných reprezentací a unitárních reprezentací byly vyvinuty obecně pro skutečné redukční grupy. Hlavní rozdíl mezi touto definicí a definicí reduktivní alegbraické grupy je v tom, že algebraickou grupu G přes R lze spojit jako algebraickou grupu, ale ne jako Lieovu grupu G ( R ), a podobně pro jednoduše spojené grupy.

Například projektivní grupa PGL (2) je spojena jako algebraická grupa přes libovolné pole, ale její reálná bodová grupa PGL (2, R ) má dvě spojené složky. Identitní složka PGL (2, R ) (někdy nazývaná PSL (2, R )) je skutečnou reduktivní grupou, kterou nelze považovat za algebraickou grupu. Podobně SL (2) je jednoduše spojena jako algebraická grupa přes libovolné pole, ale Lieova grupa SL (2, R ) má fundamentální grupu izomorfní ke grupě celých čísel Z , a tak SL (2, R ) nemá triviální pokrývající prostory . Podle definice jsou všechny konečné kryty grupy SL (2, R ) (jako je metaplektická grupa ) skutečnými reduktivními grupami. Na druhou stranu univerzální kryt grupy SL (2, R ) není reduktivní grupou, i když její algebra je reduktivní , tedy součin polojednoduché Lie algebry a Abelovské Lieovy algebry.

Pro spojenou reálnou reduktivní grupu G je varieta kvocientu G / K grupy G maximální kompaktní podgrupou K symetrickým prostorem nekompaktního typu. Ve skutečnosti je tímto způsobem získán jakýkoli symetrický prostor nekompaktního typu. Oni jsou centrální příklady v Riemannian geometrii manifolds s nonpositive sekční zakřivení . Například SL (2, R )/ SO (2) je hyperbolická rovina a SL (2, C )/ SU (2) je hyperbolický 3-rozměrný prostor.

Pro reduktivní grupu G nad polem k , které je kompletní s ohledem na diskrétní ohodnocení (jako jsou p-adická čísla Q p ), hraje afinní struktura X z G roli symetrického prostoru. Konkrétně X je simpliciální komplex s působením G ( k ) a G ( k ) zachovává metriku CAT(0) na X , analogii metriky s nepozitivním zakřivením. Dimenze afinních struktur je rovna k - ranku skupiny G . Například struktura skupiny SL (2, Q p ) je strom .

Reprezentace reduktivních skupin

Pro rozdělenou reduktivní grupu G přes pole k jsou ireducibilní reprezentace grupy G (jako algebraická grupa) parametrizovány hlavními váhami, které jsou definovány jako průsečík váhové mřížky s konvexním kuželem ( Weilova komora ) v R n . Zejména tato parametrizace nezávisí na charakteristice pole k . Podrobněji, pokud zafixujeme rozdělený maximální torus a borelskou podgrupu , pak B je polopřímý součin torusu T s hladce připojenou unipotentní podgrupou U . Vektor největších vah v reprezentaci V grupy G nad polem k definujeme jako nenulový vektor v tak, že B mapuje přímku generovanou vektorem v do sebe. Potom B působí na tuto přímku prostřednictvím své faktorové grupy T prostřednictvím některého prvku váhové mřížky X ( T ). Chevalley ukázal, že jakákoli neredukovatelná reprezentace skupiny G má jedinečný vektor největších vah až do skaláru. Odpovídající „největší váha“ je dominantní a jakákoli hlavní váha je největší váhou jedinečné neredukovatelné reprezentace skupiny G až do izomorfismu [21] . ${\displaystyle X(T)\cong \mathbf {Z} ^{n))$ $T\subset B\subset G$ $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ $L(\lambda )$

Problémem zůstává popsat neredukovatelné zobrazení s danou maximální hmotností. Pro pole k s charakteristickou nulou existují zcela úplné odpovědi. Pro hlavní váhu definujeme Schurův modul jako k -vektorový prostor sekcí G - ekvivarianního jednorozměrného svazku na příznakové varietě G / B spojené s . Modul je reprezentací skupiny G . Pro pole k s charakteristickou nulou Borel-Weilova věta říká, že ireducibilní zobrazení je izomorfní k Schurově modulu . Navíc Weylův vzorec pro znaky udává charakter (a zejména rozměr) této reprezentace. $\lambda$ $\nabla (\lambda )$ $\lambda$ $L(\lambda )$ $\nabla (\lambda )$

Pro rozdělenou reduktivní grupu G přes pole k s kladnou charakteristikou je situace mnohem jemnější, protože reprezentace G obvykle nejsou přímým součtem neredukovatelných. Pro hlavní váhu je neredukovatelná reprezentace jediným jednoduchým submodulem ( soclem ) Schurova modulu , ale nemusí se nutně rovnat Schurovu modulu. Podle George Kempfa je rozměr a charakter Schurova modulu dán Weylovým charakterem (stejně jako v případě charakteristiky nula) [22] . Dimenze a charaktery neredukovatelných reprezentací jsou obecně neznámé, ačkoli bylo učiněno velké množství teoretických vývojů k analýze těchto reprezentací. Důležitým výsledkem získaným Henningem Andersenem, Jensem Jentzenem a Wolfgangem Sorgelem (což dokazuje Lustigovu domněnku ) je, že rozměr a charakter jsou známy, pokud charakteristiky p pole k jsou mnohem větší než Coxeterovo číslo skupiny G. Jejich znakový vzorec pro velké p se opírá o Kazhdan-Lustigovy polynomy , které jsou kombinatoricky složité [23] . Simon Rich a Geordie Williamson předpokládali neredukovatelné znaky reduktivní grupy pro jakékoli prvočíslo p v termínech Kazhdan-Lustigových p - polynomů, které jsou ještě komplikovanější, ale přinejmenším vyčíslitelné [24] . $\lambda$ $L(\lambda )$ $\nabla (\lambda )$ $L(\lambda )$ $L(\lambda )$

Nerozdělené redukční skupiny

Jak je popsáno výše, klasifikace rozdělených redukčních skupin je stejná pro jakékoli pole. Naproti tomu klasifikace libovolných reduktivních skupin může mít různé potíže v závislosti na základním oboru. Některé příklady mezi klasickými skupinami

Libovolná nedegenerovaná kvadratická forma q nad polem k definuje reduktivní grupu G = SO ( q ). Zde je G jednoduché, jestliže q má rozměry n alespoň 3, protože je izomorfní k SO ( n ) přes algebraický uzávěr . K -hodnost grupy G je rovna Wittovu indexu tvaru q (maximální rozměr izotropního podprostoru nad k ) [25] . Jednoduchá skupina G je tedy rozdělena na k právě tehdy, když q má maximální možný Wittův index, . $G_{\overline {k))$ ${\overline {k))$ $\lfloor n/2\rfloor$
Jakákoli centrální jednoduchá algebra A nad k definuje reduktivní grupu G = SL (1, A ), jádro redukovaných norem na jednotkové grupě A * (jako algebraickou grupu nad k ). Stupeň algebry A znamená druhou odmocninu dimenze A jako k -vektorový prostor. Zde G je jednoduché, pokud A má stupeň n alespoň 2, protože je izomorfní k SL ( n ) přes . Má-li A index r (což znamená, že A je izomorfní k maticové algebře pro dělení D stupně r nad k ), pak k -hodnost G je ( n / r ) – 1 [26] . Jednoduchá grupa G je tedy rozdělena na k právě tehdy, když A je maticová algebra nad k . $G_{\overline {k))$ ${\overline {k))$ $M_{n/r}(D)$

V důsledku toho problém klasifikace redukčních grup přes pole k zahrnuje problémy klasifikace všech kvadratických forem nad k nebo všech centrálních jednoduchých algeber nad k . Tyto problémy jsou jednoduché pro algebraicky uzavřené pole k a pochopitelné pro některá další pole, jako jsou číselná pole, ale existuje mnoho otevřených otázek pro libovolná pole.

Reduktivní grupa nad polem k je považována za izotropní , pokud má k -rank větší než 0 (to znamená, pokud obsahuje netriviální rozdělený torus), jinak se říká, že je anizotropní . Pro polojednoduchou grupu G nad polem k jsou ekvivalentní následující podmínky:

G je izotropní (to znamená, že G obsahuje kopii multiplikativní skupiny Gm nad k ) ;
G obsahuje parabolickou podskupinu nad k , která není rovna G ;
G obsahuje kopii aditivní skupiny G a nad k .

Když je pole k dokonalé, je to ekvivalentní tvrzení, že G ( k ) obsahuje unipotentní prvek jiný než 1 [27] .

Pro souvislou lineární algebraickou grupu G nad lokálním tělesem k charakteristické nuly (jako jsou reálná čísla) je grupa G ( k ) kompaktní v klasické topologii (založené na topologii tělesa k ) právě tehdy, když G je reduktivní a anizotropní [28] . Příklad: ortogonální grupa SO ( p , q ) nad R má hodnost min ( p , q ), a pak je anizotropní právě tehdy, když se p nebo q rovna nule [25] .

Reduktivní grupa G nad polem k se nazývá kvazisplit , pokud obsahuje borelskou podgrupu přes k . Rozštěpená redukční skupina je kvazi-rozdělená. Jestliže G je kvazisplit přes k , pak jakékoliv dvě borelské podskupiny G jsou konjugovány nějakým prvkem G ( k ) [29] . Příklad: Ortogonální grupa SO ( p , q ) nad R je rozdělena právě tehdy, když , a kvazištěpená právě tehdy, když [25] . $|pq|\leqslant 1$ $|pq|\leqslant 2$

Struktura polojednoduchých skupin jako abstraktní skupiny

Pro jednoduše spojenou dělenou semiprostou grupu G přes pole k dal Robert Steinberg explicitní definici abstraktní grupy G ( k ) [30] . Grupa je generována kopií aditivní grupy pole k indexované kořeny grupy G (podskupina kořenů) s vazbami definovanými Dynkinovým diagramem grupy G .

Pro jednoduše spojenou dělenou semiprostou grupu G přes dokonalé pole k Steinberg také definuje grupu automorfismu abstraktní grupy G ( k ). Jakýkoli automorfismus je produktem vnitřního automorfismu , diagonálního automorfismu (což znamená konjugace pomocí vhodného bodu maximálního torusu), automorfismu grafu (odpovídajícího automorfismu Dynkinova diagramu) a automorfismu pole (odvozeného z automorfismu oboru k ) [31] . ${\overline {k))$

Pro k - jednoduchou algebraickou grupu G platí Titsova věta o jednoduchosti , že abstraktní grupa G ( k ) se za mírných podmínek blíží jednoduché grupě. Konkrétně předpokládejme, že grupa G je izotropní nad polem k a předpokládejme, že pole k má alespoň 4 prvky. Nechť je podgrupa abstraktní grupy G ( k ) generovaná k - bodovými kopiemi aditivní grupy G a nad k obsažené v G . (Za předpokladu, že grupa G je izotropní vůči k , je grupa netriviální a dokonce i Zariski hustá na G , je -li k nekonečné.) Potom je faktorová grupa grupy vzhledem k jejímu středu jednoduchá (jako abstraktní grupa) [32] [33] . Důkaz využívá uspořádání dvojic (B, N) od Jacquese Titse . ${\displaystyle G(k)^{+))$ ${\displaystyle G(k)^{+))$ ${\displaystyle G(k)^{+))$

Výjimky pro pole řádu 2 nebo 3 jsou dobře propracované. Pro k = F 2 platí Titsova věta o jednoduchosti kromě případů, kdy G je rozdělená skupina typu A 1 , B 2 nebo G 2 nebo nerozdělený (tj. unitární) typ A 2 . Pro k = F 3 platí věta s výjimkou případu, kdy G je typu A 1 [34] .

Pro k -jednoduchou grupu G , abychom pochopili celou grupu G ( k ), můžeme uvažovat Whiteheadovu grupu . Pro jednoduše spojenou a kvazi-rozdělenou grupu G je Whiteheadova grupa triviální a kompletní grupa G ( k ) je primárním modulem jejího středu [35] . Obecněji se Kneser-Titsova domněnka ptá, pro které izotropní k -jednoduché skupiny je Whiteheadova skupina triviální. Ve všech známých příkladech je W ( k , G ) abelovský. ${\displaystyle W(k,G)=G(k)/G(k)^{+))$

Pro anizotropní k - prostou grupu G nemusí být abstraktní grupa G ( k ) zdaleka jednoduchá. Nechť D je například dělení algebra se středem jako p -adické pole k . Předpokládejme, že rozměr D nad k je konečný a větší než 1. Pak G = SL (1, D ) je anizotropní k -jednoduchá grupa. Jak bylo uvedeno výše, G ( k ) je v klasické topologii kompaktní. Protože se také jedná o zcela nesouvislý prostor , G ( k ) je konečná grupa (ale ne konečná). V důsledku toho G ( k ) obsahuje nekonečně mnoho normálních podgrup s konečným indexem [36] .

Svazy a aritmetické grupy

Nechť G je lineární algebraická grupa nad racionálními čísly Q . Potom může být G rozšířeno na afinní grupové schéma G přes Z a to definuje abstraktní grupu G ( Z ). Aritmetická skupina znamená jakoukoli podskupinu skupiny G ( Q ), která je souměřitelná s G ( Z ). (Aritmetika podgrupy G ( Q ) je nezávislá na výběru struktury Z. ) Například SL ( n , Z ) je aritmetická podgrupa grupy SL ( n , Q ).

Pro Lieovu grupu G znamená mřížka v G diskrétní podgrupu Γ grupy G tak, že varieta G /Γ má konečný objem (vzhledem k G -invariantní míře). Například diskrétní podskupina Γ je mřížka, pokud je G /Γ kompaktní. Margulisův aritmetizační teorém zejména říká, že pro jednoduchou Lieovu grupu G reálné hodnoty alespoň rovné 2 je jakákoliv mříž v G aritmetickou grupou.

Galoisova akce na Dynkinových diagramech

Při hledání klasifikace reduktivních skupin, které nemusí být nutně rozděleny, je jedním krokem index Tits , který redukuje problém na případ anizotropních skupin. Tato redukce zobecňuje některé základní věty v algebře. Například Wittova věta o rozkladu říká, že nedegenerovaná kvadratická forma nad polem je definována až do izomorfismu svým Wittovým indexem spolu s anizotropním jádrem. Podobně Artin-Wedderburnův teorém redukuje klasifikaci centrálních jednoduchých algeber nad polem na případ algeber dělení. Zobecněním těchto výsledků Tits ukázal, že reduktivní grupa nad polem k je až do izomorfismu definována svým Titsovým indexem spolu s jeho anizotropním jádrem, přidruženou anizotropní polojednoduchou k - grupou.

Pro reduktivní grupu G nad polem k působí absolutní Galoisova grupa Gal( k s / k ) (spojitě) na "absolutní" Dynkinův diagram grupy G , tedy Dynkinův diagram grupy G nad separovatelným uzávěr k s (což je Dynkinův diagram grupy G přes algebraický uzávěr ). Tits index grupy G sestává z kořenových dat grupy G ks , Galoisových akcí na Dynkinově diagramu a podmnožiny Galoisových invariantů vrcholů Dynkinova diagramu. Tradičně je index Tits reprezentován kruhem kolem Galoisových drah v dané podmnožině. ${\overline {k))$

V těchto termínech existuje úplná klasifikace kvazi-rozdělených skupin. Totiž pro každý děj absolutní Galoisovy grupy pole k na Dynkinově diagramu existuje jedinečná jednoduše propojená polojednoduchá kvazi-rozdělená grupa H nad polem k s danou akcí. (U kvazi-rozdělené grupy je jakákoliv Galoisova orbita v Dynkinově diagramu zakroužkována.) Navíc jakákoli jiná jednoduše spojená semijednoduchá grupa G nad k s danou akcí je vnitřní formou kvazi-rozdělené grupy H , která znamená, že skupina G je spojena s prvkem Galoisovy kohomologické množiny H1 ( k , H / Z ) , kde Z je střed skupiny H. Jinými slovy, G je torze skupiny H spojené s nějakým H / Z -torzorem přes k , jak je popsáno v další části.

Příklad: Nechť q je nedegenerovaný kvadratický tvar sudého rozměru 2 n nad polem k s charakteristikou ne rovnou 2, kde (tato omezení lze vynechat). Nechť G je jednoduchá grupa SO ( q ) nad k . Absolutní Dynkinův diagram grupy G je grupa typu Dn taková, že grupa automorfismu má řád 2 a přepíná dvě "větve" diagramu Dn . Působení absolutní Galoisovy grupy pole k na Dynkinův diagram je triviální právě tehdy, když je (se znaménkem) diskriminant d tvaru q v poli k */( k *) 2 triviální. Je-li d netriviální, pak je zakódováno v Galoisově akci na Dynkinově diagramu: podskupina s indexem 2 skupiny Galois, která funguje jako identita, je skupina . Skupina G je rozdělena právě tehdy, když q má maximální možný Wittův index n , a G je kvazi-rozdělená právě tehdy, když má q Wittův index alespoň n − 1 [25] . $n\geqslant 5$ $\operatorname {Gal} (k_{s}/k({\sqrt {d))))\subset \operatorname {Gal} (k_{s}/k)$

Torzory a Hasseův princip

Torzor pro afinní grupové schémaGnad polemkznamená afinní schémaXnadkspůsobenímgrupyG, takové, kteréje izomorfní ke grupěslevým přenosem grupového působení na sebe. Torzor lze také považovat za hlavní G-svazek nadkvzhledem k topologii fppf naknebo etale topologii , pokud je skupinaGhladká nadk. Množina s vyznačeným bodemizomorfismu třídG-torzorů nad polemkv jazyce Galoisovy cohomologie nazýváH1(k,G $X_{\overline {k))$ $G_{\overline {k))$ $G_{\overline {k))$

Torzory vznikají, když se pokusíme klasifikovat formy daného algebraického objektu Y přes pole k , což znamená objekty X nad k , které se stanou izomorfními k Y přes algebraický uzávěr pole k . Takové tvary (až do izomorfismu) totiž korespondují jedna ku jedné s množinou H 1 ( k ,Aut( Y )). Například (nedegenerované) kvadratické formy dimenze n nad k jsou klasifikovány pomocí H 1 ( k , O ( n )) a centrální jednoduché algebry stupně n nad k jsou klasifikovány pomocí H 1 ( k , PGL ( n ) ). Také k -formy dané algebraické grupy G (někdy nazývané "torze" G ) jsou klasifikovány pomocí H 1 ( k ,Aut( G )). Tyto problémy podněcují systematické studium G -torzorů, zejména pro reduktivní skupiny G .

Kdykoli je to možné, pokusíme se klasifikovat G -torsory pomocí kohomologických invariantů , což jsou Galoisovy cohomologické invarianty s abelovskými skupinami koeficientů M , Ha ( k , M ). V tomto směru Steinberg dokázal domněnku Serra I : pro souvislou lineární algebraickou grupu G přes dokonalé pole kohomologické dimenze nepřesahující 1 platí H 1 ( k , G ) = 1 [37] (případ konečné pole bylo dříve známé jako teorém Lenga ). Z toho například vyplývá, že jakákoli reduktivní grupa nad konečným polem je kvazi-rozdělená.

Dohad Serra II předpovídá, že pro jednoduše spojenou semiprostou grupu G nad polem s cohomologickým rozměrem nejvýše 2 H 1 ( k , G ) = 1. Dohad je znám pro čistě imaginární číselné pole (které má cohomologický rozměr 2) . Obecněji řečeno, pro libovolné číselné pole k Martin Kneser, Günther Harder a Vladimir Chernousov (1989) dokázali Hasseův princip — pro jednoduše spojenou semiprostou grupu G nad polem k , zobrazení

H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)

bijektivně [38] . Zde v prochází všemi místy pole k a kv je odpovídající místní pole (možná R nebo C ) . Navíc je označená množina bodů triviální pro jakékoli nearchimedovské lokální pole k v , a proto jsou významná pouze skutečná místa pole k . Podobný výsledek globálního pole k pozitivní charakteristiky dokázal již dříve Harder (1975) — pro jakoukoli jednoduše spojenou semiprostou grupu G nad polem k je triviální (protože k nemá žádná skutečná místa) [39] [40] . $H^{1}(k_{v},G)$ $H^{1}(k,G)$

V trochu jiném případě adjungované reprezentace grupy G nad číselným polem k platí Hasseův princip ve slabší podobě: přirozené zobrazení

H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)

injekčně [39] . Pro G = PGL ( n ) je to ekvivalent Albert-Brauer-Hasse-Noetherovy věty , která říká, že centrální jednoduchá algebra nad číselným polem je definována lokálními invarianty.

Klasifikace polojednoduchých grup nad číselným polem na základě Hasseova principu je dobře rozvinutá. Například existují přesně tři Q -formy výjimečné skupiny E 8 odpovídající třem reálným formám skupiny E 8 .

Viz také

Grupy typu Lie jsou konečné jednoduché grupy získané z jednoduchých algebraických grup nad konečnými tělesy.
Generalized flag manifold , Bruhatův rozklad , Schubert manifold , Schubertův kalkul
Schur Algebra , Deligne-Lustig Theory
Reálná podoba (Lee theory)
Weilova domněnka pro čísla Tamagawa
Langlandsova klasifikace , Langlandsova duální skupina , Langlandsův program , Langlandsova geometrická korespondence
Special Group
Geometrická invariantní teorie , Haboushova věta

Poznámky

↑ SGA 3 v3, 2011 , str. Definice XIX.1.6.1.
↑ Informace o rozšíření (nebo nahrazení) základny naleznete v Hartshorneově algebraické geometrii, str. 124.
↑ Milne, 2017 , str. Propozice 21.60.
↑ Conrad, 2014 , str. po Návrhu 5.1.17.
↑ Borel, 1991 , s. 18.2(i).
↑ Milne, 2017 , str. Věta 22.42.
↑ Milne, 2017 , str. Důsledek 22.43.
↑ Demazure, Gabriel, 1970 , str. Věta IV.3.3.6.
↑ Milne, 2017 , str. Věta 12.12.
↑ 12 Milne , 2017 , str. Věta 21.11.
↑ Milne, 2017 , str. Závěr 21.12.
↑ Milne, 2017 , str. Propozice 17.53.
↑ Borel, 1991 , s. Nabídka 21.12.
↑ Chevalley, 2005 .
↑ Springer, 1998 , str. 9.6.2, 10.1.1.
↑ Milne, 2017 , str. Věty 23,25, 23,55.
↑ Milne, 2017 , str. Důsledek 23.47.
↑ SGA 3 v3, 2011 , str. Věta XXV.1.1.
↑ Conrad, 2014 , str. Věty 6.1.16, 6.1.17.
↑ Springer, 1979 , str. oddíl 5.1.
↑ Milne, 2017 , str. Věta 22.2.
↑ Jantzen, 2003 , str. Tvrzení II.4.5, důsledek II.5.11.
↑ Jantzen, 2003 , str. oddíl II.8.22.
↑ Riche, Williamson, 2018 , str. oddíl 1.8.
↑ 1 2 3 4 Borel, 1991 , str. část 23.4.
↑ Borel, 1991 , s. oddíl 23.2.
↑ Borel, sýkorky, 1971 , str. Corollaire 3.8.
↑ Platonov, Rapinchuk, 1991 , str. 127, věta 1.
↑ Borel, 1991 , s. Věta 20.9(i).
↑ Steinberg, 2016 , str. Věta 8.
↑ Steinberg, 2016 , str. Věta 30.
↑ Sýkory, 1964 , str. Hlavní věta.
↑ Gille, 2009 , str. úvod.
↑ Sýkory, 1964 , str. oddíl 1.2.
↑ Gille, 2009 , str. Věta 6.1.
↑ Platonov, Rapinchuk, 1991 , str. 552 §9.1.
↑ Steinberg, 1965 , str. Věta 1.9.
↑ Platonov, Rapinchuk, 1991 , str. 318, věta 6.
↑ 1 2 Platonov, Rapinchuk, 1991 , str. 316, věta 4.
↑ Platonov, Rapinchuk, 1991 , str. 404 §6.8.

Literatura

Hartshorne R. Algebraická geometrie. - Moskva: Mir, 1981.
Armand Borel. Lineární algebraické grupy. — 2. - New York: Springer Nature , 1991. - ISBN 0-387-97370-2 . - doi : 10.1007/978-1-4612-0941-6 .
- Borel A. Lineární algebraické grupy. - Moskva: Mir, 1972.
Armand Borel Prvky unipotents et sous-groupes paraboliques de groupes réductifs. I. // Inventiones Mathematicae . - 1971. - T. 12 . — S. 95–104 . - doi : 10.1007/BF01404653 . — .
Claude Chevalley. Klasifikace skupin algebriques polojednoduchých. - Springer Nature , 2005. - (Sebraná díla, sv. 3). — ISBN 3-540-23031-9 .
Brian Conrad. Reduktivní skupinová schémata // Autour des schémas en groups . - Paris: Société Mathématique de France , 2014. - Vol. 1. - S. 93–444. - ISBN 978-2-85629-794-0 .
Michel Demazure, Pierre Gabriel. Groupes algebriques. Svazek I: Géométrie algébrique, generalités, groupes commutatifs. - Paris: Masson, 1970. - ISBN 978-2225616662 .
Demazure M., Grothendieck A. Schémas en groupes (SGA 3), I: Propriétés générales des schémas en groupes / Gille P., Polo P.. - Société Mathématique de France , 2011. - ISBN 978-2-85629-323- 2 . Upravené a komentované vydání originálu z roku 1970.
Demazure M., Grothendieck A. Schémas en groupes (SGA 3), II: Groupes de type multiplicatif, et structure des schémas en groupes généraux. — Berlín; New York: Springer-Verlag , 1970. - ISBN 978-3540051800 . - doi : 10.1007/BFb0059005 .
Demazure M., Grothendieck A. Schémas en groupes (SGA 3), III: Structure des schémas en groupes réductifs / Gille P., Polo P.. - Société Mathématique de France , 2011. - ISBN 978-2-85629-324- 9 . Upravené a komentované vydání originálu z roku 1970.

Philip Gille. Le problème de Kneser-Tits // Séminaire Bourbaki. sv. 2007/2008 . - Société Mathématique de France , 2009. - T. 326. - S. 39–81. - (hvězdička). — ISBN 978-285629-269-3 .
Jens Carsten Jantzen. Reprezentace algebraických grup . — 2. - American Mathematical Society , 2003. - ISBN 978-0-8218-3527-2 .
Milne JS Algebraické grupy: Teorie grupových schémat konečného typu nad polem. - Cambridge University Press , 2017. - ISBN 978-1107167483 . - doi : 10.1017/9781316711736 .
Platonov V.P., Rapinchuk A.S. Algebraické grupy a teorie čísel. - M. : "Věda" Ch. vyd. Fyzikální matematika. Lit., 1991.
VL Popov (2001), R/r080440 , v Hazewinkel, Michiel, Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Simon Riche, Geordie Williamson. Naklápěcí moduly a p -kanonický základ . - Société Mathématique de France , 2018. - T. 397. - (Asterisque). - ISBN 978-2-85629-880-0 .
Tony A. Springer. Reduktivní skupiny // Automorfní formy, reprezentace a L -funkce . - American Mathematical Society , 1979. - V. 1. - S. 3-27. - ISBN 0-8218-3347-2 .
Tony A. Springer. Lineární algebraické grupy. — 2. - Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1998. - svazek 9. - (Pokrok v matematice). — ISBN 978-0-8176-4021-7 . - doi : 10.1007/978-0-8176-4840-4 .
- V knize Springer T.A. Lineární algebraické grupy // Algebraická geometrie - 4. - 1989. - V. 55. - (Itogi nauki i tekhniki VINITI. Sovr. Prob. Math. Fundam. Směr).

Robert Steinberg. Regulární prvky semijednoduchých algebraických grup // Publications Mathématiques de l'IHÉS . - 1965. - T. 25 . — s. 49–80 . - doi : 10.1007/bf02684397 .
Robert Steinberg. Přednášky o Chevalley Groups. - American Mathematical Society , 2016. - ISBN 978-1-4704-3105-1 . - doi : 10.1090/ulect/066 .
- Steinberg R. Přednáší o skupinách Chevalley. - Moskva: "Mir", 1975. - (Knihovna sbírky "Matematika").
Jacques Tits. Algebraické a abstraktní jednoduché grupy // Annals of Mathematics . - 1964. - T. 80 . — S. 313–329 . - doi : 10.2307/1970394 .

Teorie skupin
Základní pojmy	Podskupina Normální podskupina Faktorová skupina Práce Přímo polopřímý volný, uvolnit
Algebraické vlastnosti	komutativní skupina Cyklická skupina objednaná skupina Transformovat skupinu Řešitelná skupina Schreierovo lemma Lagrangeova věta Sylowovy věty Klasifikace jednoduchých konečných grup
konečné skupiny	Konečná cyklická grupa C n Symetrická grupa S n Dihedrální skupina D n Střídavá skupina A n Kleinová čtyřčlenná skupina Mathieu skupiny M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conwayovy skupiny Co 1 Co2 _ Co3 _ skupiny Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Rybářské skupiny F22 _ F 23 F24 _ monstrum (M)
Topologické skupiny	Skupiny lži Ortogonální skupina O(n) Speciální ortogonální grupa SO(n) Unitární skupina U(n) Speciální unitární skupina SU(n) Symplectic group Sp(n) Výjimečně jednoduché Lorentzova skupina Skupina Poincaré
Algoritmy na skupinách	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourierova transformace