Isogeneze

Izogeneze  je morfismus algebraických grup , který je surjektivní a má konečné jádro.

Jsou-li skupiny abelovské variety, pak jakýkoli morfismus základní algebraické variety , který je surjektivní s konečnými vlákny, je automaticky izogení, poskytující . Taková isogeneze f dává skupinový homomorfismus mezi skupinami bodů s hodnotou k [1] variet A a B pro jakékoli pole k , na kterém je f definováno.

Termíny „isogene“ a „isogenní“ jsou odvozeny z řeckého slova ισογενη-ς , což znamená „rovný v určitém smyslu“. Termín „isogeneze“ zavedl Andre Weil , předtím se místo termínu „isogeneze“ používal matoucí termín „izomorfismus“.

Případ odrůd abelian

Pro abelovské odrůdy , jako jsou eliptické křivky , lze tento koncept uvést následovně:

Nechť E 1 a E 2  jsou abelovské variety stejného rozměru na poli k . Izogeneze mezi E 1 a E 2  je hustý morfismus variet, který zachovává základní body (tj. f mapuje jeden k E 1 a jeden k E 2 ) [2] .

To je ekvivalentní výše uvedenému konceptu, protože jakýkoli hustý morfismus [3] mezi dvěma abelovskými varietami stejné dimenze je automaticky surjektivní a má konečná vlákna, a pokud zachovává jednotky, pak jde o homomorfismus skupiny.

Dvě abelovské odrůdy E 1 a E 2 se nazývají isogenní , pokud existuje isogeneze . Toto je vztah ekvivalence, který je symetrický díky existenci duální izogeneze . Jak je uvedeno výše, jakákoliv izogeneze indukuje homomorfismus skupin k -hodnotových bodů abelovských variet.

Poznámky

  1. ↑ Je-li X preschéma, pak morfismy od S do X , tedy prvky , budeme nazývat S-hodnotové body X nebo S-racionální body X ( Mumford, 1968 , s. 29).
  2. ↑ Kurnosov, 2016 , str. 69.
  3. ↑ Hustý morfismus je morfismus s hustým obrazem ( Nica, 2010 , s. 2).

Literatura