Abelovská varieta je projektivní algebraická varieta , což je algebraická grupa (to znamená, že kompoziční zákon je dán regulární funkcí ).
Abelovské variety jsou dobře studovanými objekty v algebraické geometrii. Tento koncept se používá v různých odvětvích algebraické geometrie a teorie čísel.
Abelovská varieta může být definována rovnicemi s koeficienty v libovolném poli k . Říká se, že odrůda je přes pole k . Historicky byly nejprve studovány abelovské odrůdy v oblasti komplexních čísel.
Zvláštním případem jsou abelovské variety nad algebraickými číselnými poli . Tento případ je důležitý v teorii čísel.
Lze dokázat [1] , že abelovská varieta je jako grupa komutativní, tedy jde o abelovskou grupu .
Pro abelovské odrůdy X, Y v oblasti komplexních čísel je izomorfismus odrůd, podle kterého se 1 X stává 1 Y , skupinovým izomorfismem.
Kritérium pro daný komplexní torus musí být abelovská odrůda, tj. zda lze vložit projektivní prostor. Nechť V je vektorový prostor dimenze a L je mřížka ve V . Torus X = V / L je abelovská varieta pouze v případě, že na V existuje pozitivně definitní hermitovská forma , jejíž imaginární část nabývá celočíselné hodnoty na mřížce L × L.
Chevalleyův teorém o algebraických grupách : Jakákoli algebraická grupa G obsahuje normální podgrupu N , která je afinní varieta , takže kvocientová grupa G / N je abelovská varieta. (Podskupina N s touto vlastností je jedinečná.)
V případě dimenze 1 je pojem abelian variety ekvivalentní pojmu eliptická křivka .
Pro n > 1 je abelovská varieta nad polem komplexních čísel jako topologický prostor homeomorfní k n-rozměrnému komplexnímu torusu (zacházeno jako projektivní varieta).
Na počátku devatenáctého století poskytla teorie eliptických funkcí základ pro teorii eliptických integrálů . Eliptické integrály mají odmocniny z polynomů 3. a 4. stupně. Co se stane v případě vyšších stupňů? Práce Abela a Jacobiho zvažovaly funkce dvou komplexních proměnných. Toto byl první příklad abelovské variety dimenze 2 (abelovský povrch).