Hermitovská forma

Hermitovská forma je přirozenou analogií konceptu symetrické bilineární formy pro složité vektorové prostory. Pro hermitovské formy platí analogie mnoha vlastností symetrických forem: redukce na kanonickou formu, koncept pozitivní určitosti a Sylvesterovo kritérium [1] .

Definice

Hermitovská forma je seskvilineární forma ve dvou vektorech vektorového prostoru nad polem s hodnotami v tomto poli, které má vlastnost symetrie [1] : $f(x,y)$ $PROTI$ $\mathbb {C}$

f(x,y)={\overline {f(y,x)}}\ \ \forall x,y\in V.

Kompletní sada podmínek, které definují hermitovskou formu, je tedy následující:

$f(x_{1}+x_{2},y)=f(x_{1},y)+f(x_{2},y)\ \ \forall x_{i},y\in V ,$
$f(\alpha x,y)=\alpha f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} .$
$f(x,y_{1}+y_{2})=f(x,y_{1})+f(x,y_{2})\ \ \forall x,y_{i}\in V ,$
$f(x,\alpha y)={\overline {\alpha }}f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} ,$
$f(x,y)={\overline {f(y,x)}}\ \ \forall x,y\in V.$

Vlastnosti

Z podmínky hermitovské symetrie bezprostředně vyplývá, že veličina je skutečná . V tomto případě je funkce (reálné hodnoty) na komplexním vektorovém prostoru V považována za kvadraticko-hermitovskou . Existuje také inverzní skutečnost, kterou lze formulovat jako kritérium pro to, aby sesquilineární forma byla hermitovská: $f(x,x)$ $\phi (x)=f(x,x)$

Věta [1] . Seskvilineární forma je hermitovská právě tehdy, když přidružená funkce nabývá pouze skutečných hodnot. $f(x,y)$ $\phi(x)$

Pokud je splněna dodatečná podmínka

f(x,x)>0\ \ \ \forall x\neq 0

hermitovský tvar f(x,y) a kvadraticko-hermitovská funkce se nazývají pozitivně definitní . $\phi(x)$

Literatura

Gelfand I. M. Přednášky o lineární algebře, Moskva: Nauka, 1971.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie, Fizmatlit, Moskva, 2009.

Poznámky

↑ 1 2 3 Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie. - ch. VI, § 6.3. — M.: Fizmatlit, 2009.