Skupinový homomorfismus

V matematice jsou dané dvě grupy ( G , ∗) a ( H , •) grupový homomorfismus z ( G , ∗) do ( H , •) funkce h  : G → H taková, že pro všechna u a v z G _

kde skupinová operace nalevo od znaménka "=" se vztahuje na skupinu G a operace napravo na skupinu H.

Z toho můžeme odvodit, že h mapuje neutrální prvek e G skupiny G na neutrální prvek e H skupiny H a také zobrazuje inverze na inverze v tom smyslu, že

Lze tedy říci , že h „zachovává strukturu skupiny“.

V dřívějších pracích mohlo být h ( x ) označeno jako x h , ačkoli to může vést k záměně s indexy. V poslední době se objevuje tendence při psaní homomorfismu vynechávat závorky, takže z h ( x ) se stane právě xh . Tento trend je zvláště patrný v oblastech teorie grup, kde se používá automatizace , protože to je v lepší shodě s čtením slov zleva doprava konvenčním v automatech.

V oblastech matematiky, kde jsou skupiny obdařeny dalšími strukturami, je homomorfismus někdy chápán jako zobrazení, které zachovává nejen strukturu skupiny (jak je uvedeno výše), ale také další strukturu. Například homomorfismus topologických grup je často považován za spojitý.

Koncept

Cílem definice grupového homomorfismu je vytvořit funkce, které zachovávají algebraickou strukturu. Ekvivalentní definice grupového homomorfismu: Funkce h  : G → H je grupový homomorfismus, jestliže a ∗ b = c implikuje h ( a ) ⋅ h ( b ) = h ( c ). Jinými slovy, grupa H je v určitém smyslu podobná algebraické struktuře G a homomorfismus h ji zachovává.

Obrázek a jádro

Jádro h definujeme jako množinu prvků z G , které se mapují na neutrální prvek v H

a obrázek h jako

Jádro h je normální podskupina G a obraz h je podskupina H :

Homomorfismus h je injektivní (a nazývá se grupový monomorfismus ) právě tehdy, když ker( h ) = { e G }.

Jádro a obraz homomorfismu lze chápat jako měření toho, jak blízko je homomorfismus k izomorfismu. První věta o izomorfismu říká, že obraz homomorfismu grupy h ( G ) je izomorfní ke grupě podílu G /ker h .

Příklady

Pro libovolné komplexní číslo u je funkce f u  : G → C definována jako: je homomorfismus. je homomorfismus.

Kategorie skupin

Jestliže h  : G → H a k  : H → K jsou skupinové homomorfismy, pak k o h  : G → K je také homomorfismus. To ukazuje, že třída všech grup spolu se skupinovými homomorfismy jako morfismy tvoří kategorii .

Typy homomorfních zobrazení

Jestliže homomorfismus h je bijekce , pak lze ukázat, že inverzní zobrazení je také grupový homomorfismus, a pak h se nazývá izomorfismus . V tomto případě se skupiny G a H nazývají izomorfní - liší se pouze v označení prvků a operací a pro praktické použití jsou totožné.

Jestliže h : G → G je grupový homomorfismus, nazýváme jej endomorfismus G . Pokud je také bijektivní, a tedy jde o izomorfismus, nazývá se automorfismus . Množina všech automorfismů grupy G se složením funkcí jako operace sama tvoří grupu, grupu automorfismu G . Tato skupina je označena jako Aut( G ). Například grupový automorfismus ( Z , +) obsahuje pouze dva prvky (transformaci identity a násobení −1) a je izomorfní k Z /2 Z .

Epimorfismus je surjektivní homomorfismus, tedy homomorfismus na . Monomorfismus je injektivní homomorfismus, tedy homomorfismus jedna ku jedné .

Homomorfismy abelovských grup

Jestliže G a H jsou abelovské (tj. komutativní) grupy, pak množina Hom( G , H ) všech homomorfismů od G do H je sama o sobě abelovská grupa – součet h + k dvou homomorfismů je definován jako

( h + k ) ( u ) = h ( u ) + k ( u ) pro všechna u z G .

Komutativnost H je potřeba k důkazu, že h + k je opět grupový homomorfismus.

Také homomorfismy jsou kompatibilní se složením homomorfismů v následujícím smyslu: pokud f patří do Hom( K , G ), h , k jsou prvky Hom( G , H ) a g patří do Hom( H , L ), pak

( h + k ) o f = ( h o f ) + ( k o f ) a    g o ( h + k ) = ( g o h ) + ( g o k ).

To ukazuje, že množina End( G ) všech endomorfismů abelovské grupy tvoří kruh , endomorfismus kruh grupy G . Například kruh endomorfismu abelovské skupiny, sestávající z přímého součtu m kopií Z / nZ , je izomorfní ke kruhu m × m matic s prvky ze Z / nZ . Výše zmíněná kompatibilita také ukazuje, že kategorie všech abelovských grup s homomorfismy tvoří předaditivní kategorii . Existence přímých součtů a jader s dobře podmíněným chováním činí z této kategorie příklad abelovské kategorie .

Viz také

Odkazy