Eulerův vzorec

Eulerův vzorec vztahuje komplexní exponent k goniometrickým funkcím . Pojmenována po Leonhardu Eulerovi , který ji představil.

Eulerův vzorec říká, že pro jakékoli reálné číslo platí následující rovnost: $X$

e^{ix}=\cos x+i\sin x

kde je jedna z nejdůležitějších matematických konstant definovaná následujícím vzorcem: , $E$ $e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$

i

je pomyslná jednotka .

Historie

Eulerův vzorec byl poprvé citován v článku anglického matematika Rogera Cotese ( Newtonův asistent ) „Logometria“ ( lat. Logometria ), publikovaném v časopise „ Filosophical Transactions of the Royal Society “ v roce 1714 [1] a přetištěný v knize „ Harmony of Measures“ ( lat. Harmonia mensurarum ), která vyšla v roce 1722, po smrti autora [2] . Kots to citoval jako malou větu mezi mnoha geometrickými konstrukcemi, která po překladu do moderního matematického jazyka a opravě chyby ve znaménku má tvar [3] :

\ln(\cos x+i\sin x)=ix

Euler publikoval vzorec v jeho obvyklé podobě v článku z roku 1740 a v knize "Úvod do analýzy infinitesimál" ( lat. Introductio in analysin infinitorum ) ( 1748 ) [4] , stavějíc důkaz na rovnosti nekonečných mocninných řad. rozšíření pravé a levé části. Ani Euler, ani Kots si nepředstavovali geometrickou interpretaci vzorce: koncept komplexních čísel jako bodů na komplexní rovině se objevil asi o 50 let později s K. Wesselem .

Odvozovací vzorce

Pomocí Eulerova vzorce můžete definovat funkce a to následovně: $\hřích$ $\cos$

\sin x={\frac {e^{{ix}}-e^{{-ix}}}{2i}}

{\textstyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}

Dále můžeme zavést pojem goniometrické funkce komplexní proměnné. Nechte tedy: $x=iy$

\sin iy={\frac {e^{{-y}}-e^{y}}{2i}}=i{\mathop {{\mathrm {sh}}}}\,y

\cos iy={\frac {e^{{-y}}+e^{y}}{2}}={\mathop ({\mathrm {ch}}}}\,y

Dobře známá Eulerova identita , která dává do souvislosti pět základních matematických konstant:

e^{{i\pi }}+1=0

je speciální případ Eulerova vzorce pro . $x=\pi$

Aplikace v teorii čísel

V analytické teorii čísel jsou často zvažovány speciální součty tvaru , kde je určitý soubor zvažovaných objektů a je to funkce, která odráží studované vlastnosti objektů. $\sum \limits _{x\in X}{e^{2\pi if(x)))$ $X$ $f:\ X\to {\mathbb {R} }$

Pro teorii čísel, která studuje celá čísla , mají primární význam identity indikátorů odvozené z Eulerova vzorce týkajícího se libovolného celého čísla . $n$

\sum \limits _{k=1}^{p}{e^{2\pi {\frac {nk}{p}}i}}=p[p|n]=\left\{{ \begin{matrix}p,&n\equiv 0{\pmod {p}}\\0,&n\ne \equiv 0{\pmod {p}}\end{matrix}}\right.

\int \limits _{0}^{1}{e^{2\pi n\alpha i}}=[n=0]=\left\{{\begin{matrix}1,&n=0 \\0,&n\not =0\end{matrix}}\vpravo.

Aplikace v komplexní analýze

Díky Eulerově vzorci se objevil tzv. trigonometrický a exponenciální záznam komplexního čísla :. $x=a+ib=|x|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=|x|e^{{i\varphi }}$

Za významný důsledek lze považovat i vzorce pro umocnění komplexního čísla na libovolnou mocninu: , . Geometrický význam tohoto vzorce je následující: když je číslo zvýšeno na mocninu , jeho vzdálenost ke středu se zvětší na mocninu a úhel rotace vzhledem k ose se zvětší faktorem. $x=|x|e^{{i\varphi }}$ $x^{n}=|x|^{n}e^{{ni\varphi }}$ $X$ $n$ $n$ $VŮL$ $n$

Vzorec umocňování platí nejen pro celá čísla , ale i pro skutečná. Zejména exponenciální zápis čísla umožňuje najít kořeny libovolného stupně z libovolného komplexního čísla. $n$

Vztah s trigonometrií

Eulerův vzorec poskytuje spojení mezi kalkulem a trigonometrií a také umožňuje interpretovat funkce sinus a kosinus jako vážené součty exponenciální funkce :

{\displaystyle \cos x=\mathrm {Re} \left(e^{ix}\right)={e^{ix}+e^{-ix} \over 2))

{\textstyle \sin x=\mathrm {Im} \left(e^{ix}\right)={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}.}

Výše uvedené rovnice lze získat sečtením nebo odečtením Eulerových vzorců :

e^{{ix}}=\cos x+i\sin x\;

{\textstyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos xi\sin x\;}

následuje sinusový nebo kosinusový roztok.

Také tyto vzorce mohou sloužit jako definice goniometrických funkcí komplexní proměnné. Například dosazením x = iy dostaneme :

\cos(iy)={e^{{-y}}+e^{{y}} \over 2}=\cosh(y)

\sin(iy)={e^{{-y}}-e^{{y}} \over 2i}=-{1 \over i}{e^{{y}}-e^{{-y }} \over 2}=i\sinh(y).

Složité exponenciály zjednodušují trigonometrické výpočty, protože se s nimi snadněji manipuluje než se sinusovými komponenty. Jeden přístup zahrnuje převod sinusoid na odpovídající exponenciální výrazy. Po zjednodušení zůstává výsledek výrazu reálný. Například :

{\begin{aligned}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{{ix}}+e^{{-ix}})}{2}}\cdot {\frac {(e ^{{iy}}+e^{{-iy}})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{{i(x+y )}}+e^{{i(xy)}}+e^{{i(-x+y)}}+e^{{i(-xy)}}}{2}}\\&={ \frac {1}{2}}\left[\underbrace {{\frac {e^{{i(x+y)}}+e^{{-i(x+y)}}}{2}} }_{{\cos(x+y)}}+\underbrace {{\frac {e^{{i(xy)}}+e^{{-i(xy)}}}{2}}}_ {{\cos(xy)}}\right].\end{aligned}}

Podstatou jiného přístupu je reprezentovat sinusoidy jako reálné části komplexního výrazu a přímo manipulovat s komplexním výrazem. Například :

{\begin{aligned}\cos(nx)&={\mathrm {Re}}\{\ e^{{inx}}\ \}={\mathrm {Re}}\{\ e^{{i( n-1)x}}\cdot e^{{ix}}\ \}\\&={\mathrm {Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot (e ^{{ix}}+e^{{-ix}}-e^{{-ix}})\ \}\\&={\mathrm {Re}}\{\ e^{{i(n- 1)x}}\cdot \underbrace {(e^{{ix}}+e^{{-ix}})}_{{2\cos(x)}}-e^{{i(n-2 )x}}\ \}\\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}

Tento vzorec se používá k rekurzivnímu výpočtu hodnot cos ( nx ) pro celočíselné hodnoty n a libovolné hodnoty x (v radiánech).

Důkaz

Důkaz Eulerova vzorce lze provést pomocí řady Maclaurin . Rozšiřme funkci v Taylorově řadě v okolí bodu a = 0 (v Maclaurinově řadě) v mocninách . Dostaneme: $e^{{ix}}$ $X$

$e^{{ix}}=1+{\frac {ix}{1!}}+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3 }}{3!}}+\ldots =\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\ frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)+i\left({\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!} }+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \right)$

Ale

$1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+ \ldots=\cos x$

${\frac {x}{1!)}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!)}}-{\frac { x^ {7}}{7!}}+\ldots =\sin x$

Proto , které bylo třeba dokázat . $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Vizuální ukázka

Je známo , že . Následující obrázky ilustrují, že limita se rovná bodu umístěnému na jednotkové kružnici a délka oblouku z tohoto bodu do bodu 1 je . To je způsobeno zejména tím, že . $e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$ $e^{i\varphi }=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {i\varphi }{n}}\right)^{n}$ $\varphi$ $\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$

n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=8
n=16

Proces změny při změně lze také vizuálně demonstrovat pomocí derivace . Je dobře známo, že a Totéž platí pro komplexní hodnotu funkce. Vzhledem k funkci dostaneme . Protože v geometrické reprezentaci komplexních čísel je násobení pomocí podobné otočení o 90 stupňů, bude grafické znázornění funkce a její derivace podobné kresbě dostředivého silového působení , pro které je znám fyzikální význam. ${\displaystyle e^{\varphi i))$ $\varphi$ $\left({e^{x}}\right)'=e^{x}$ ${\displaystyle \left({e^{f(x)}}\right)'=f'(x)e^{f(x)))$ ${\displaystyle f(\varphi )=e^{\varphi i))$ $f'(\varphi )=if(\varphi )$ $i$ ${\displaystyle f(\varphi )=e^{\varphi i))$

Exponenciální tvar komplexního čísla

Exponenciální a trigonometrické formy komplexních čísel jsou spojeny Eulerovým vzorcem.

Nechť komplexní číslo v goniometrickém tvaru má tvar . Na základě Eulerova vzorce lze výraz v závorkách nahradit exponenciálním výrazem. V důsledku toho získáme: $z$ $z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$

z=re^{{i\varphi }}

Tento zápis se nazývá exponenciální forma komplexního čísla. Stejně jako v trigonometrickém tvaru zde , . $r=|z|$ $\varphi =\arg z$

Poznámky

↑ Cotes R. Logometria // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : journal. - 1714-1716. — Sv. 29 . — S. 32 . - doi : 10.1098/rstl.1714.0002 . Archivováno z originálu 6. července 2017.
↑ Cotes R. Harmonia mensurarum . - 1722. - s. 28. Archivní kopie ze 7. června 2020 na Wayback Machine
↑ González-Velasco Enrique A. Cesta matematikou: Kreativní epizody v její historii . - 2011. - S. 182. Archivní kopie ze dne 19. října 2014 na Wayback Machine
↑ Euler L. Cap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis // Introductio in analysin infinitorum (neopr.) . - 1748. - T. 1. - S. 104.

Literatura

Gutov A. Z. Analog Eulerova vzorce pro zobecněný sinus a kosinus // Moderní metody fyzikálních a matematických věd. Sborník příspěvků z mezinárodní konference. Eagle, 2006. S. 35-37. Archivováno 25. září 2020 na Wayback Machine
Korn G., Korn T. Příručka matematiky (pro výzkumníky a inženýry) . — M .: Nauka, 1973.
Stillwell D. Matematika a její historie . - Moskva-Iževsk: Institut počítačového výzkumu, 2004. - 530 s. Archivováno 7. června 2015 na Wayback Machine

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velký Rus Britannica (online)