Držák Iverson

Iversonova závorka je funkce, která vrací 1, pokud je příkaz pravdivý , a 0, pokud je argument nepravdivý:

[\,P\,]={\begin{cases}1,&{\text{if }}P{\text{ true}}\\0,&{\text{if }}P{\ text{ false}}\end{cases}}

Notaci zavedl Kenneth Iverson pro programovací jazyk APL a ukázalo se, že je to velmi pohodlná matematická notace, například s ní můžete stručně definovat:

symbol Kronecker : , $\delta_{ij} = [\,i=j\,]$
funkce indikátoru : , $\mathbf{1}_A(x) = [\,x \in A\,]$
Funkce Heaviside : , $\theta (x)=[\,x\geqslant 0\,]$
funkce číselného znaku : . $\sgn(x) = [\,x >0\,] - [\,x < 0\,]$

Zápis je také vhodný při manipulaci se součty , protože vám umožňuje vyjádřit je bez omezení sumačního indexu, například:

\sum _{i=1}^{n}a_{i}=\sum _{k}a_{k}[\,1\leqslant k\leqslant n\,]

to znamená, že index prochází celou množinou celých čísel a formálně se sčítá nekonečný počet termínů , ale pouze konečný počet z nich se liší od nuly. $k$ $\mathbb {Z}$

Příklad výpočtu pomocí Iversonova součtového zápisu pro posloupnost : ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}a_{j))$ ${\displaystyle \{a_{i}\))$

[\,i < j\,] + [\,i = j\,] + [\,i >j\,] = 1

\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i<j\,]+\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[ \,i=j\,]+\součet \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i>j\,]=\součet \limits _{i,j}a_{i }aj}

S + \sum\limits_{i} a_i^2 + S = \biggl(\sum\limits_{i} a_i \biggr)^2

a co se týče pravé strany:

{\displaystyle \sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}=\součet \limits _{i}\součet \limits _{j}a_{i}a_{j}=\součet \ limity _{i}a_{i}\součet \limits _{j}a_{j}={\biggl (}\sum \limits _{i}a_{i}{\biggr )}^{2))

pak:

S = \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_i a_j = \frac{1}{2} \biggl(\sum_{i=1}^n a_i \biggr)^2 - \frac{1} {2}\sum_{i=1}^n a_i^2

Literatura

Graham R., Knut D., Patashnik O. Concrete Mathematics. — M .: Mir, 1998. — 703 s. — ISBN 5-03-001793-3 .
Kenneth E. Iverson. Programovací jazyk. - Kalifornská univerzita: Wiley, 1962. - 286 s. — ISBN 0471430145 .