Ukazatel (matematika)

Indikátor nebo charakteristická funkce nebo funkce indikátoru nebo funkce příslušnosti k podmnožině je funkce definovaná na množině , která udává, zda prvek patří do podmnožiny . $A\subseteq X$ $X$ $x\in X$ $A$

Vzhledem k tomu, že pojem „ charakteristická funkce “ se již používá v teorii pravděpodobnosti , je v souvislosti s teorií pravděpodobnosti nejčastěji používán pojem „ indikátorová funkce “, pro ostatní oblasti se častěji používá pojem „ charakteristická funkce “.

Pro analytickou reprezentaci indikátorové funkce se často používá Heavisideova funkce .

Definice

Dovolit být vybraná podmnožina libovolné množiny . Funkce definovaná takto: $A\subseteq X$ $X$ ${\mathbf {1}}_{A}:X\to \{0,1\}$

{\mathbf {1}}_{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in A,\\0,&x\notin A,\end{matrix}}\vpravo.

se nazývá indikátor množiny . $A$

Alternativní zápisy indikátorů sady jsou: nebo , a někdy dokonce a Iversonova závorka . $A$ $\chi _{A}$ ${\mathbf {I}}_{A}$ $Sekera)$ $[x\in A]$

( Řecké písmeno pochází z počátečního písmena řeckého pravopisu slova charakteristika .) $\chi$

Upozornění . Zápis může znamenat funkci identity . $\mathbf {1} _{A}$

Základní vlastnosti

Mapování, které injektivně spojuje podmnožinu s jejím indikátorem . Jestliže a jsou dvě podmnožiny , pak $A\subseteq X$ $\mathbf {1} _{A}$ $A$ $B$ $X\$

{\mathbf {1}}_{{A\cap B}}=\min\{{\mathbf {1}}_{A},{\mathbf {1}}_{B}\}={\mathbf {1}}_{A}{\mathbf {1}}_{B},

{\mathbf {1}}_{{A\cup B}}=\max\{({\mathbf {1}}_{A},{\mathbf {1}}_{B}}\}={ \mathbf {1}}_{A}+{\mathbf {1}}_{B}-{\mathbf {1}}_{A}{\mathbf {1}}_{B},

{\mathbf {1}}_{{A\triangle B}}={\mathbf {1}}_{A}+{\mathbf {1}}_{B}-2({\mathbf {1}} _{{A\cap B}}),

{\mathbf {1}}_{{A^{c}}}=1-{\mathbf {1}}_{A}.

Obecněji předpokládejme, že jde o sadu podmnožin . Je jasné, že pro jakoukoli $A_{1},\ldots ,A_{n}$ $X$ $x\in X$

\prod _{{k\in I}}(1-{\mathbf {1}}_{{A_{k}}}(x))

je součin nul a jedniček. Tento produkt má hodnotu 1 přesně pro ty , které nepatří do žádné sady a 0 jinak. Proto $x\in X$ $A_k$

\prod _{{k\in I}}(1-{\mathbf {1}}_{{A_{k}}})={\mathbf {1}}_{{X-\bigcup _{{k }}A_{k}}}=1-{\mathbf {1}}_{{\bigcup _{{k}}A_{k}}}.

Rozšířením levé strany dostaneme

{\mathbf {1}}_{{\bigcup _{{k}}A_{k}}}=1-\součet _{{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}}( -1)^{{|F|}}{\mathbf {1}}_{{\bigcap _{F}A_{k}}}=\sum _{{\emptyset \neq F\subseteq \{1, 2,\ldots ,n\}}}(-1)^{{|F|+1}}{\mathbf {1}}_{{\bigcap _{F}A_{k}}},

kde je síla . Toto je jedna z forem principu inkluze-vyloučení . Tento příklad ukazuje, že indikátor je užitečný zápis v kombinatorice , který se také používá v jiných oblastech, například v teorii pravděpodobnosti : pokud je prostor pravděpodobnosti s mírou pravděpodobnosti a je měřitelná množina , pak se indikátor stane náhodným proměnná , jejíž matematické očekávání se rovná pravděpodobnosti $|F|$ $F$ $X$ ${\mathbf {P}}$ $A$ $\mathbf {1} _{A}$ $A:$

E({\mathbf {1}}_{A})=\int \limits _{{X}}{\mathbf {1}}_{A}(x)\,d{\mathbf {P}}= \int \limits _{{A}}d{\mathbf {P}}={\mathbf {P}}(A).\quad

Tato identita se používá v jednoduchých důkazech Markovovy nerovnosti .

Bibliografie

Folland, G.B.; Skutečná analýza: Moderní techniky a jejich aplikace , 2. vydání, John Wiley & Sons , Inc., 1999.
Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest a Clifford Stein. Úvod do algoritmů , druhé vydání. MIT Press a McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7 . Část 5.2: Indikátor náhodné veličiny, str. 94–99.

Ukazatel (matematika)

Definice

Základní vlastnosti

Bibliografie

Viz také