Charakteristická funkce náhodné veličiny

Charakteristická funkce náhodné veličiny je jedním ze způsobů, jak určit rozdělení . Charakteristické funkce mohou být výhodnější v případech, kdy má například hustotní nebo distribuční funkce velmi složitý tvar. Charakteristické funkce jsou také vhodným nástrojem pro studium problémů slabé konvergence (konvergence v distribuci) . Yu.V. _ Linnik , I.V. Ostrovský, K.R. Rao , B. Ramachandran.

Definice

Nechť existuje náhodná veličina s rozdělením . Pak je charakteristická funkce dána vzorcem: $X$ $\mathbb {P} ^{X}$

\phi _{X}(t)=\mathbb {E} \left[e^{itX}\right]

Pomocí vzorců pro výpočet matematického očekávání lze definici charakteristické funkce přepsat jako:

\phi _{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,\mathbb {P} ^{X} (dx)

to znamená, že charakteristická funkce je inverzní Fourierova transformace rozdělení náhodné veličiny.

Pokud náhodná proměnná nabývá hodnot v libovolném Hilbertově prostoru , pak má její charakteristická funkce tvar: $X$ ${\mathcal {H}}$

\phi _{X}(t)=\mathbb {E} \left[e^{i\langle t,X\rangle }\right],\;\forall t\in {\mathcal {H))

kde označuje tečkový součin v . $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\mathcal {H}}$

Diskrétní a absolutně spojité náhodné veličiny

Pokud je náhodná proměnná diskrétní , tedy $X$ $\mathbb {P} (X=x_{k})=p_{k},\;k=1,2,\ldots$

\phi _{X}(t)=\sum _{k=1}^{\infty }e^{itx_{k}}\,p_{k}

Příklad. Let má Bernoulliho rozdělení . Pak $X$

\phi _{X}(t)=e^{it\cdot 1}\cdot p+e^{it\cdot 0}\cdot q=pe^{it}+q

Pokud je náhodná veličina absolutně spojitá , to znamená, že má hustotu , pak $X$ $f_{X} (x)$

\phi _{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,f_{X}(x)\,dx

Příklad. Nechť má standardní spojité rovnoměrné rozdělení . Pak $X\simU[0,1]$

\phi _{X}(t)=\int \limits _{0}^{1}e^{itx}\cdot 1\,dx=\left.{\frac {e^{itx}}{it} }\right\vert _{0}^{1}={\frac {e^{it}-1}{it}}

Vlastnosti charakteristických funkcí

Charakteristická funkce jednoznačně určuje rozdělení. Nechť existují dvě náhodné proměnné a . Pak . Zejména, pokud jsou obě veličiny absolutně spojité, pak shoda charakteristických funkcí implikuje shodu hustot. Pokud jsou obě náhodné veličiny diskrétní, pak koincidence charakteristických funkcí znamená koincidenci pravděpodobnostních funkcí. $X,Y$ $\phi _{X}(t)=\phi _{Y}(t),\;\forall t$ $\mathbb {P} ^{X}=\mathbb {P} ^{Y}$
Charakteristická funkce je vždy omezená:

|\phi _{X}(t)|\leq 1,\ \forall t\in \mathbb {R}

Charakteristická funkce v nule je rovna jedné:

\phi _{X}(0)\ =1

Charakteristická funkce je vždy rovnoměrně spojitá : . $\phi _{X}\in C(\mathbb {R} )$
Charakteristická funkce jako funkce náhodné veličiny je homogenní:

\phi _{aX}(t)=\phi _{X}(zavináč),\;\forall a\in \mathbb {R}

Charakteristická funkce součtu nezávislých náhodných veličin je rovna součinu jejich charakteristických funkcí. Dovolit být nezávislé náhodné proměnné. Označme . Pak $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $S_{n}=\součet \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

\phi _{S_{n}}(t)=\prod \limits _{i=1}^{n}\phi _{X_{i}}(t)

Charakteristická funkce je hermitovská: pro všechny reálné hodnoty platí rovnost , kde znamená komplexní konjugovanou funkci [1] . $t$ $\phi _{X}(-t)={\overline {\phi }}_{X}(t)$ ${\overline {\phi ))_{X}(t)$ $\phi _{X} (t)$
Inverzní věta (Levi). Nechť je distribuční funkce a její charakteristická funkce. Pokud a jsou body spojitosti , pak $F$ $\phi$ $A$ $b$ $F$

F(b)-F(a)={\frac {1}{2\pi }}\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{+T}{\frac {e^ {-ita}-e^{-itb}}{it}}\,\phi (t)\,dt.

Charakteristická funkce je jednoznačně definována: pro každé celé číslo , pro jakákoli reálná čísla a všechna komplexní čísla platí nerovnost [2] . Zde se rozumí komplexní konjugát čísla. $m>0$ ${\displaystyle u_{1},u_{2},...,u_{m))$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{m))$ $\sum _{i,j=1}^{m}\varphi (u_{i}-u_{j})z_{i}{\bar {z_{j))}\geqslant 0$ ${\displaystyle {\bar {z_{j))))$ ${\displaystyle z_{j))$

Výpočet momentů

Pokud má náhodná veličina počáteční tý moment , pak charakteristická funkce má spojitou tou derivaci , tedy , a navíc: $X$ $n$ $n$ $\phi _{X}\in C^{n} (\mathbb {R} )$

i^{n}\left.\mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\phi _{X}( t)\vpravo\vert _{t=0}

Inverzní Fourierova transformace

Nechť je dána náhodná veličina, jejíž charakteristická funkce je rovna . Pak $X$ $\phi _{X} (t)\$

pokud je diskrétní a nabývá celočíselných hodnot, pak $X$

\mathbb {P} (X=k)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }e^{-itk}\,\phi _{ X}(t)\,dt,\;k\in \mathbb {Z}

;

jestliže je absolutně spojitý a je jeho hustota, pak $X$ $f_{X} (x)$

f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-itx}\,\phi _{X}( t)\,dt,\;x\in \mathbb {R}

Dostatečné podmínky

Aby funkce byla charakteristickou funkcí nějaké náhodné veličiny, stačí , aby to byla nezáporná, sudá, spojitá, klesající konvexní funkce a pro ( Titchmarsh-Polyiho teorém ). $\varphi (t)$ $\varphi (t)$ $\varphi (0)=1$ $\varphi (t)\rightarrow 0$ $t\rightarrow\infty$

Nezbytné a postačující podmínky

Dovolit být spojitá funkce a . Aby byla funkce charakteristická, je nutné a postačující, aby byla kladně definitní funkcí, tedy pro každé celé číslo , pro jakákoli reálná čísla a všechna komplexní čísla je splněna nerovnost ( Bochner-Khinchinova věta ). Zde znamená komplexní konjugát [ 2 ] . $\varphi (u)$ $u\in R^{n}$ $\varphi (0)=1$ $\varphi (u)$ $m>0$ ${\displaystyle u_{1},u_{2},...,u_{m))$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{m))$ $\sum _{i,j=1}^{m}\varphi (u_{i}-u_{j})z_{i}{\bar {z_{j))}\geqslant 0$ ${\displaystyle {\bar {z_{j))))$ ${\displaystyle z_{j))$

Viz také

Leviho věta o kontinuitě (metoda charakteristických funkcí).
Přímá a inverzní limitní věta
Titchmarsh-Poyiho teorém
Bochnerova-Khinchinova věta

Poznámky

↑ B. Ramachandran Teorie charakteristických funkcí, M., Nauka, 1975
↑ 1 2 Koroljuk V. S. , Portenko N. I., Skorokhod A. V. , Turbin A. F. Příručka teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky. - M., Nauka, 1985. - str. 65

Literatura

Linnik Yu.V. , Ostrovský I.V. Dekompozice náhodných veličin a vektorů, Nauka, M., 1972.
Lukacs E. Charakteristické funkce. - M., Nauka, 1979. - 424 s.