Distribuční konvergence

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 12. ledna 2020; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Distribuční konvergence v teorii pravděpodobnosti je druh konvergence náhodných proměnných .

Definice

Nechť je dán pravděpodobnostní prostor a na něm definované náhodné proměnné . Každá náhodná proměnná vyvolává pravděpodobnostní míru na , nazývanou její rozdělení . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X,X_{n}:\Omega \to {\mathbb {R}}^{m},\,n=1,2,\ldots$ $\mathbb {R} ^{m}$

Náhodné veličiny konvergují v rozdělení k náhodné veličině , pokud rozdělení konvergují k rozdělení slabě , tzn . $X_n$ $X$ ${\mathbb {P}}^{{X_{n}}}$ $\mathbb {P} ^{X}$

\lim \limits _{{n\to \infty }}\int \limits _{{{\mathbb {R}}^{m}}}f(x)\,{\mathbb {P}}^{{ X_{n}}}(dx)=\int \limits _{({\mathbb {R}}^{m}}}f(x)\,{\mathbb {P}}^{{X}}( dx)

pro libovolnou spojitou omezenou [1] [2] funkci . $f:{\mathbb {R}}^{m}\to {\mathbb {R}}$

Poznámky

Pomocí Lebesgueovy věty o změně integrální míry lze poslední rovnost přepsat takto:

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\mathbb {E}}f(X_{n})={\mathbb {E}}f(X)

Distribuční limit není jedinečný. Pokud jsou rozdělení dvou náhodných proměnných totožná, pak buď jsou nebo nejsou limitem rozdělení posloupnosti náhodných proměnných.

Vlastnosti konvergence v distribuci

Náhodné proměnné konvergují v distribuci, pokud jejich distribuční funkce konvergují k limitní distribuční funkci ve všech bodech kontinuity posledně jmenované: $X_n$ $X$ $F_{{X_{n}}}$ $F_{X}$

F_{X}\in C(x)\Rightarrow \lim \limits _{{n\to \infty }}F_{{X_{n}}}(x)=F_{X}(x)

Pokud jsou všechny náhodné proměnné v definici absolutně spojité a jejich hustoty se sbíhají:

\lim \limits _{{n\to \infty }}f_{{X_{n}}}(x)\to f_{X}(x)

skoro všude , pak . Opak obecně neplatí!

X_{n}\to ^{{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D))))X

Konvergence v pravděpodobnosti (a tedy konvergence téměř jistě v ) implikuje konvergenci v distribuci : $L^{p}$

X_{n}\to ^{{\!\!\!\!\!\!\!{\mathbb {P}}}}X\Rightarrow X_{n}\to ^{{\!\!\! \!\!\!\!{\mathcal {D}}}}X

. Opak obecně neplatí.

Viz také

Slutského teorém

Poznámky

↑ cs:Convergence_of_random_variables#Convergence_in_distribution
↑ cs:Convergence_of_measures#Weak_convergence_of_measures