Okamžiky náhodné veličiny

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. února 2020; kontroly vyžadují 19 úprav .

Okamžik náhodné veličiny je číselnou charakteristikou rozdělení dané náhodné veličiny .

Původ konceptu

Moment v matematice je přímou analogií s konceptem momentu ve fyzice a mechanice. V matematice jsou momenty funkce kvantitativní měření související s tvarem grafu funkce. Je-li například funkcí rozdělení pravděpodobnosti , pak prvním momentem je očekávaná hodnota , druhým centrálním momentem je rozptyl , třetím standardizovaným momentem je šikmost a čtvrtým standardizovaným momentem je špičatost . Pokud funkce popisuje hustotu hmoty, pak nulový moment je celková hmotnost, první moment (normalizovaný na celkovou hmotnost) je těžiště a druhý moment je moment setrvačnosti .

Definice

Pokud je dána náhodná proměnná definovaná na nějakém pravděpodobnostním prostoru , pak: $\displaystyleX,$

$\displaystyle k$ -tý počáteční moment náhodné veličiny kde je proměnná $\displaystyleX,$ $k\in {\mathbb {N}),$

\nu _{k}=\mathbb {M} \left[X^{k}\right],

pokud je definováno matematické očekávání na pravé straně této rovnosti;

\mathbb {M} [*]

$\displaystyle k$ -tý centrální moment náhodné veličiny se nazývá hodnota $\displaystyle X$

\mu _{k}=\mathbb {M} \left[(X-\mathbb {M} X)^{k}\right],

$\displaystyle k$ -tý absolutní a -tý centrální absolutní moment náhodné veličiny se nazývají veličiny $\displaystyle k$ $\displaystyle X$

\nu _{k}=\mathbb {M} \left[|X|^{k}\right]

\mu _{k}=\mathbb {M} \left[|X-\mathbb {M} X|^{k}\right],

$\displaystyle k$ -tý faktoriální moment náhodné veličiny je veličina $\displaystyle X$

\mu _{k}=\mathbb {M} \left[X(X-1)...(X-k+1)\right],

pokud je definováno matematické očekávání na pravé straně této rovnosti. [jeden]

Absolutní momenty lze definovat nejen pro celá čísla, ale i pro libovolná kladná reálná čísla , pokud příslušné integrály konvergují. $k$

Poznámky

Pokud jsou definovány momenty t. řádu, pak jsou definovány i všechny momenty nižších řádů $\displaystyle k$ $1\leqslant k'<k.$
Díky linearitě matematického očekávání lze centrální momenty vyjádřit jako počáteční: $\mu _{k}=\sum \limits _{s=0}^{k}{(-1)^{s}C_{k}^{s}\nu _{ks}\nu _ {1}^{s}}$ .

Geometrický význam některých momentů

$\displaystyle \mu _{2}$ rovná se rozptylu rozdělení a ukazuje rozptyl rozdělení kolem průměru. $\displaystyle (\mu _{2}=\sigma ^{2})$
$\displaystyle \mu _{3}$ , která je vhodně normalizována, je numerickou charakteristikou symetrie rozdělení. Přesněji řečeno výraz

{\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}

se nazývá faktor šikmosti .

$\displaystyle \mu _{4}$ ukazuje, jak těžké má distribuce ocasy. Hodnota

\gamma _{2}={\frac {\mu _{4)){\sigma ^{4))}-3

se nazývá koeficient špičatosti rozdělení

\displaystyle X.

Výpočet momentů

Momenty lze vypočítat přímo pomocí definice integrací příslušných mocnin náhodné veličiny. Konkrétně pro absolutně spojitou distribuci s hustotou máme: $\displaystyle f(x)$

\nu _{k}=\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}x^{k}\,f(x)\,dx,

-li $\nu _{k}=\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}|x|^{k}\,f(x)\,dx<{+\infty },$

a pro diskrétní rozdělení s funkcí pravděpodobnosti

\displaystyle p(x):

\nu _{k}=\součet \limits _{{x}}x^{k}\,p(x),

-li $\nu _{k}=\sum \limits _{{x}}|x|^{k}\,p(x)<{+\infty }.$

Momenty náhodné veličiny lze také vypočítat pomocí její charakteristické funkce : $\displaystyle \phi (t)$

\nu _{k}=\left.i^{-k}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\phi (t)\right\vert _{t= 0}.

Pokud je rozdělení takové, že je pro něj definována generující funkce momentů v nějakém okolí nuly, pak lze momenty vypočítat pomocí následujícího vzorce: $\displaystyle M(t),$

\nu _{k}=\vlevo.{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}M(t)\vpravo\vert _{{t=0}}.

Zobecnění

Můžete také vzít v úvahu neceločíselné hodnoty . Moment považovaný za funkci argumentu se nazývá Mellinova transformace . $k$ $k$

Můžeme uvažovat momenty vícerozměrné náhodné veličiny. Pak první moment bude vektor stejné dimenze, druhý - tenzor druhé řady (viz kovarianční matice ) nad prostorem stejné dimenze (i když lze uvažovat i stopu této matice, která dává skalár zobecnění rozptylu). Atd.

Viz také

obrazový moment

Poznámky

↑ G. Kramer. Matematické metody statistiky. - 2. vyd. - M .: Mir, 1975. - S. 196-197, 284. - 648 s.