Mellinova transformace

Mellinova transformace je transformace , kterou lze považovat za multiplikativní verzi oboustranné Laplaceovy transformace . Tato integrální transformace úzce souvisí s teorií Dirichletových řad a často se používá v teorii čísel a v teorii asymptotických expanzí . Mellinova transformace úzce souvisí s Laplaceovou transformací a Fourierovou transformací , stejně jako s teorií gama funkcí a teorií přilehlých speciálních funkcí .

Transformace je pojmenována po finském matematikovi Hjalmarovi Mellinovi, který ji studoval .

Definice

Přímá Mellinova transformace je dána vztahem:

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s-1}f (x)dx

Inverzní transformace - podle vzorce:

\left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int \ limity _{ci\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds

Předpokládá se, že integrace probíhá v komplexní rovině . Podmínky, za kterých lze transformaci provést, jsou stejné jako podmínky Mellinovy věty o inverzní transformaci.

Vztah s jinými transformacemi

Dvoustranný Laplaceův integrál lze vyjádřit pomocí Mellinovy transformace:

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)

A naopak: Mellinova transformace je vyjádřena pomocí Laplaceovy transformace vzorcem:

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s) .

Fourierova transformace může být vyjádřena pomocí Mellinovy transformace vzorcem:

\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(-is)=\left\{{ \mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)

Zadní:

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s) =\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(je)

Mellinova transformace také dává do souvislosti Newtonovy interpolační vzorce nebo binomické transformace s funkcí generující sekvenci pomocí Poissonova–Mellin–Newtonova cyklu .

Příklady

Cahen-Mellinov integrál

Pokud:

$c>0,$
$\Re(y)>0,$
${\displaystyle y^{-s))$ na hlavní větvi,

pak [1]

e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{ci\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)y^{- s}\;ds

, kde

\Gamma (s)

je funkce gama .

Pojmenováno po Hjalmaru Mellinovi a francouzském matematikovi Eugène Cahenovi ( francouzsky Eugène Cahen ).

Mellinova transformace pro Lebesgueův prostor

V Hilbertově prostoru je Mellinova transformace dána poněkud jinak. Pro Lebesgueův prostor každý základní pruh zahrnuje . V tomto ohledu je možné definovat lineární operátor jako: $L^{2}(0,\infty )$ ${\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M))))$

{\tilde {\mathcal {M))}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),\{{\tilde {\ mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+is}f(x)\,dx

to je:

\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f \}({\tfrac {1}{2}}-is)

Tento operátor se obvykle označuje a nazývá Mellinova transformace, ale zde a dále budeme používat zápis . ${\mathcal {M}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M))))$

inverzní Mellinovy věty o transformaciukázat to

{\tilde {\mathcal {M))}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty),\{ {\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty } ^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds.

Tento operátor je také izometrický , tzn

\|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|_{L^{2}(0 ,\infty )}

pro .

\forall f\in L^{2}(0,\infty )

To vysvětluje poměr ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi ))))$

Souvislost s teorií pravděpodobnosti

V teorii pravděpodobnosti je Mellinova transformace důležitým nástrojem pro studium rozdělení náhodných veličin [2] .

Pokud:

$D=\{s:a\leqslant \Re (s)\leqslant b\},$
$a\leqslant 0\leqslant b,$
$X$ - náhodná hodnota,
$X^{+}=\max\{X,0\},$
$X^{-}=\max\{-X,0\},$

pak je Mellinova transformace definována jako:

{\mathcal {M}}_{X}(s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{+}}(x)+i\ int \limits _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{-}}(x),

kde je pomyslná jednotka .

i

Mellinova transformace náhodné veličiny jednoznačně určuje její distribuční funkci . ${\mathcal {M}}_{X}(it)$ $X$ $F_{x}$

Aplikace

Mellinova transformace je zvláště důležitá pro informační technologie, zejména pro rozpoznávání vzorů .

Poznámky

↑ Hardy, G.H.; Littlewood, JE Příspěvky k teorii Riemannovy zeta-funkce a teorii distribuce prvočísel // Acta Mathematica : journal . - 1916. - Sv. 41 , č. 1 . - str. 119-196 . - doi : 10.1007/BF02422942 . (Viz poznámky v nich pro další odkazy na Cahenovu a Mellinovu práci, včetně Cahenovy teze.)
↑ Galambos, Simonelli, 2004, s. 15

Literatura

Galambos, Jánoš; Simonelli, Itálie. Součin náhodných veličin: aplikace na problémy fyziky a na aritmetické funkce . — Marcel Dekker, Inc., 2004. - ISBN 0-8247-5402-6 .
Paris, R. B.; Kaminski, D. Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals (neopr.) . — Cambridge University Press , 2001.
Polyanin, AD; Manzhirov, A. V. Handbook of Integral Equations (neopr.) . - Boca Raton: CRC Press , 1998. - ISBN 0-8493-2876-4 .
Flajolet, P.; Gourdon, X.; Dumas, P. Mellin transformace a asymptotika: Harmonické součty // Teoretická informatika. - 1995. - Sv. 144 , č. 1-2 . - str. 3-58 .
Tabulky integrálních transformací archivovány 30. června 2007 na Wayback Machine na EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Mellin transform , Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W. Mellin Transform (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Odkazy

Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonické součty. Archivováno 24. května 2006 na Wayback Machine
Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico Archivováno 3. listopadu 2012 na Wayback Machine , diskusní skupina es.ciencia.matematicas
Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas Archivováno 29. ledna 2007 na Wayback Machine (ve španělštině).
Metody Mellinovy transformace Archivovány 11. dubna 2013 na Wayback Machine , Digitální knihovna matematických funkcí , 29. 8. 2011, Národní institut pro standardy a technologie
Antonio De Sena a Davide Rocchesso, Rychlá Mellinova transformace s aplikacemi v DAFX Archivováno 14. září 2014 na Wayback Machine

Integrální transformace
Abelova transformace Bessel transformuje Bushman transformace Gegenbauerova transformace Hilbertova transformace Kontorovič-Lebeděvova transformace Laplaceova transformace Meyerova transformace Mehler-Fockova transformace Mellinova transformace Nerainova transformace Radonová transformace Stieltjes transformovat Fourierova transformace Hankelova transformace Hartleyho transformace