Stieltjes transformovat

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 11. listopadu 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Stieltjesova transformace je integrální transformace , která má pro funkci tvar: $f(x)$

F(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{x+\tau }}dx,

kde se integrace provádí podél skutečné poloosy a změny v komplexní rovině s řezem podél negativní skutečné poloosy. $\tau$

Tato transformace je konvoluční transformací , k ní dochází při opakování Laplaceovy transformace . Stieltjesova transformace také souvisí s momentovým problémem pro polonekonečné rozpětí a v důsledku toho s některými spojitými zlomky .

Pokud je spojitý a omezený na , pak platí vzorec inverze: $f(x)x^{\frac {1}{2))$ $(0,\infty )$

f(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {(-1)^{n}}{2\pi }}\left({\frac {e}{n}} \right)^{2n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{2n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}} }F(x)\vpravo),\quad x>0.

Poprvé o této přeměně uvažoval T. I. Stiltjes .

Iterace Laplaceovy transformace

Přímou Laplaceovu transformaci funkce (proměnné ) označíme jako funkci nové proměnné as $f(x)$ $X$ $s$

{\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}(s)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-sx}f(x)\ ,dx.

Poté opakovaná (iterovaná) Laplaceova transformace

{\mathcal {L}}\left\{{\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}(s)\right\}(\tau )=\int _{0 }^{\infty }{\frac {f(x)}{x+\tau }}dx

je Stieltjesova transformace (po převzetí integrálu přes ). $s$

Proto lze mnoho vlastností Stieltjesovy transformace získat přímo z vlastností Laplaceovy transformace .

Základní vlastnosti a věty

Stieltjesovu transformaci funkce označte jako $f(x)$

{\mathcal {S}}\left\{f(x)\right\}=F(\tau).

Odpovídající inverzní transformace bude označena jako:

{\mathcal {S}}^{-1}\left\{F(\tau )\right\}=f(x).

Vynásobte originál proměnnou

V součtu, obraz originálu vynásobený proměnnou a součin proměnné a obrazu se rovná konstantě rovné integrálu podél kladné reálné poloosy originálu:

{\mathcal {S}}\left\{xf(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }f(x)dx-\tau F(\tau )

Diferenční derivace obrázků

{\mathcal {S}}^{-1}\left\{{\frac {F(\tau )-F(\alpha )}{\tau -\alpha }}\right\}=-{ \frac {f(x)}{x+\alpha }},\quad |\název operátora {arg} (\alpha )|<\pi

Rozdílová derivace originálů

{\mathcal {S}}\left\{{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}\right\}={\frac {{\frac {1}{2} }\left(F(ae^{i\pi })+F(ae^{i\pi })\right)-f(a)\ln \left({\frac {\tau }{a))\ vpravo)-F(\tau )}{\tau +a}},\quad a>0

Argument Stretch

Při změně měřítka původní proměnné faktorem se také změní velikost proměnné obrázku faktorem: $A$ $A$

{\mathcal {S}}\left\{f(ax)\right\}=F(a\tau),\quad a>0

Odlišení originálu

Součet obrazu derivace a derivace obrazu je roven konstantě dělené proměnnou obrazu a tato konstanta se rovná hodnotě originálu v nule, brané s opačným znaménkem:

{\mathcal {S}}\left\{f'(x)\right\}=-{\frac {f(0)}{\tau }}-F'(\tau )

Zobecnění

Generalizovaná Stieltjesova transformace

F(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{(x+\tau )^{\rho }}}dx.

Integrovaná Stieltjesova transformace

F(\tau )=\int _{+0}^{\infty }K(\tau ,x)f(x)dx,

kde

K(\tau ,x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {\ln {\frac {\tau }{x))}{\tau -x)),&\tau \neq x\\{\frac {1}{\tau }},&\tau =x\\\end{matrix}}\right.

Literatura

Matematická encyklopedie Ed. collegium: I. M. Vinogradov (vedoucí redaktora) [a další] M., "Sovětská encyklopedie", 1977-1985.
Bateman G., Erdeyi A. Tabulky integrálních transformací. 2. díl: Besselovy transformace, integrály speciálních funkcí . — M, věda, 1970

Integrální transformace
Abelova transformace Bessel transformuje Bushman transformace Gegenbauerova transformace Hilbertova transformace Kontorovič-Lebeděvova transformace Laplaceova transformace Meyerova transformace Mehler-Fockova transformace Mellinova transformace Nerainova transformace Radonová transformace Stieltjes transformovat Fourierova transformace Hankelova transformace Hartleyho transformace