Omezení

Ohraničenost v matematice je vlastnost množin , indikující konečnost velikosti v kontextu určeném kategorií prostoru.

Počáteční koncept je omezená číselná množina , taková je množina reálných čísel , pro která existují čísla taková, že pro kteroukoli z nich platí: , jinými slovy, leží zcela v segmentu . Čísla a se v tomto případě nazývají dolní a horní hranice množiny, resp. Pokud existuje pouze dolní nebo horní mez, pak se mluví o množině ohraničené pod nebo ohraničené nad , resp. $B\subset \mathbb {R}$ $m,M\in \mathbb {R}$ $X$ $B$ $m\leqslant x\leqslant M$ $B$ $[m,M]$ $m$ $M$ $X$

Číselná množina ohraničená výše má přesnou horní hranici , ohraničená zdola má přesnou dolní hranici (teorém o hraně). Konečná množina bodů, interval číselné osy (kde jsou konečná čísla), konečné sjednocení omezených množin - omezené množiny; množina celých čísel je neomezená; množina přirozených čísel z pohledu soustavy reálných čísel je zdola omezená a shora neohraničená. $[a,b]$ $a,b$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {N}$

Omezená numerická funkce je funkce, jejíž rozsah hodnot jeomezený, to znamená, že existuje taková, ženerovnost platí. Konkrétně, omezená číselná posloupnost je posloupnost, pro kterou existujetaková, že. $f\colon D\to \mathbb {R}$ $f(D)$ $m$ $X$ $|f(x)|\leqslant m$ $(a_{i})$ $m\in \mathbb {R}$ $i \v \N$ $|a_{i}|\leqslant m$

Zobecnění

Zobecnění numerické omezenosti na obecnější kategorie prostorů se mohou lišit. Na podmnožiny libovolných částečně uspořádaných množin se tedy numerická definice přenáší přirozeným způsobem (protože definice vyžaduje pouze relaci pořadí ).

V topologickém vektorovém prostoru nad polem je jakákoliv množina absorbovaná jakýmkoli okolím nuly považována za ohraničenou , tedy pokud existuje taková , že . Ohraničený operátor na topologických vektorových prostorech přebírá omezené množiny na omezené. $E$ $k$ $B$ $\alpha \in k$ ${\displaystyle B\subset \alpha U_{0))$

V případě libovolného metrického prostoru jsou množiny konečného průměru považovány za ohraničené , tedy za ohraničené, pokud samozřejmě. Zároveň je nemožné zavést pojmy horní a dolní ohraničenost v obecných metrických prostorech. $(M,d)$ $B\subseteq M$ ${\displaystyle \mathrm {sup} \{d(x,y)\mid {x,y\in B}\))$

Speciálnějším pojetím, které se vztahuje na libovolné metrické prostory, je úplná ohraničenost ; v případě číselných množin a v euklidovských prostorech se tento pojem shoduje s odpovídajícími pojmy ohraničené množiny. V metrických prostorech je topologická kompaktnost ekvivalentní k tomu, že je zcela ohraničená a zároveň úplná , a ačkoli pojem ohraničenosti nezasahuje do libovolných topologických prostorů , kompaktnost v obecném případě lze považovat za nějakou analogii ohraničenosti.

Literatura

Ohraničená množina - článek Encyklopedie matematiky . M. I. Voitsekhovský