Omezený operátor

Operátor se nazývá ohraničený , pokud mapuje každou ohraničenou množinu původního topologického vektorového prostoru na ohraničenou množinu topologického vektorového prostoru . [jeden] $A:X\to Y$ $X$ $Y$

Výše uvedená definice platí pro lineární i nelineární operátory .

Lineární ohraničený operátor

Definice

Pro lineární operátor se často uvádějí další definice: [1]

Lineární operátor budeme nazývat ohraničený , pokud existuje okolí nuly , které je ohraničenou množinou v . $A:X\to Y$ $U$ $A(U)$ $Y$
Budeme volat lineární operátor v normovaném prostoru ohraničeném , pokud existuje kladné číslo takové, že . Nejmenší z těchto čísel se označuje a nazývá se norma operátora . Jinými slovy, $A:X\to Y$ $C$ $\|Sekera\| \le C\|x\|$ $C$ $\|A\|$ $A$

\|A\|=\up _{\|x\|=1}{\|Axe\|}

Vlastnosti v F-prostorech

Poznámka: Banachův prostor je speciální případ F-prostoru .

Platí věta, že lineární omezený operátor působící z jednoho F-prostoru do druhého je spojitý . [2]
Naopak ( Banachova věta ) je každý spojitý operátor omezený. [1] [2]

Proto další vlastnosti takových operátorů naleznete v článku Spojitý lineární operátor .

Literatura

↑ 1 2 3 Matematická encyklopedie / Vinogradov I.M. . - M . : Sov. encyklopedie , 1977 . - T. 3.
↑ 1 2 Dunford N., Schwartz J. Lineární operátory. — M .: IL , 1962 . — T. 1. Obecná theorie. - S. 66-67.