Gegenbauerova transformace

Gegenbauerova transformace je integrální transformací funkce : $T\left\{F(t)\right\}$ $F(t)$

T\left\{F(t)\right\}=\int \limits _{{-1}}^{{+1}}(1-t^{2})^{{\rho -1/2 }}C_{n}^{\rho }(t)F(t)dt=f_{n}^{\rho },

\rho >-1/2,~n=0,~1,~2,~\ldots ,

kde jsou Gegenbauerovy polynomy . Pokud je funkce rozšířena do zobecněné Fourierovy řady v Gegenbauerových polynomech, platí inverzní vzorec $C_{n}^{\rho }(t)$

F(t)=\sum _{{n=0}}^{{\mathcal {1}}}{{n!(n+\rho )\Gamma ^{2}(\rho )2^{{2\ rho -1}}} \over {\pi \Gamma (n+2\rho )))C_{n}^{\rho }(t)f_{n}^{\rho }(t),~-1 <t<1

Gegenbauerova transformace snižuje diferenciální provoz

R\left[F(t)\right]=(1-t^{2})F^{{\prime \prime }}-(2\rho +1)tF^{{\prime }}

T\left\{R\left[F(t)\right]\right\}=-n(n+2\rho )f_{n}^{\rho }

Pojmenován po rakouském matematikovi Leopoldu Gegenbauerovi (1849-1903).

Literatura

Ditkin V. A., Prudnikov A. P. , ve sborníku: Výsledek vědy. Ser. Matematika. Matematická analýza. 1966, M., 1967, str. 7-82.

Integrální transformace
Abelova transformace Bessel transformuje Bushman transformace Gegenbauerova transformace Hilbertova transformace Kontorovič-Lebeděvova transformace Laplaceova transformace Meyerova transformace Mehler-Fockova transformace Mellinova transformace Nerainova transformace Radonová transformace Stieltjes transformovat Fourierova transformace Hankelova transformace Hartleyho transformace