Symetrický prostor

Symetrický prostor je Riemannovská varieta , jejíž izometrická skupina obsahuje centrální symetrie vycentrované v libovolném bodě.

Historie

Studium symetrických prostorů bylo zahájeno Eli Cartanem . Zejména získal klasifikaci v roce 1926.

Příklady

euklidovský prostor ,
koule ,
Různé projektivní prostory s přirozenou metrikou.
Lobačevského prostoru
Kompaktní semiprosté Lieovy grupy s biinvariantní Riemannovou metrikou.
Jakýkoli kompaktní povrch rodu 2 a výše (s metrikou konstantního zakřivení ) je lokálně symetrický prostor, ale ne symetrický prostor. $-jeden$

Definice

Dovolit být připojen Riemannian různý a být bod v . $M$ $p$ $M$

Mapování se nazývá geodetická symetrie se středem v bodě if $s_{p}\dvojtečka M\to M$ $p$

s_{p}\circ \exp _{p}=-\exp _{p}.

Mapování definované v sousedství bodu se nazývá lokální geodetická symetrie se středem v bodě , pokud $s_{p}\dvojtečka U\to U$ $\varepsilon$ $U$ $p$ $p$

s_{p}\circ \exp _{p}(v)=-\exp _{p}(v)

v . $|v|<\varepsilon$

Riemannian různý je řekl, aby byl symetrický jestliže centrální symetrie je definována pro každý bod a je také izometrie . $M$ $M$

Pokud stejná podmínka platí pro lokální geodetickou symetrii, pak se nazývá lokálně symetrický prostor . $M$

Související definice

Jednoduše připojený symetrický prostor je považován za neredukovatelný , pokud není izometrický s produktem dvou nebo více Riemannových symetrických prostorů.
- O neredukovatelném symetrickém prostoru se říká , že je kompaktního typu , pokud má nezápornou (ale ne shodně nulovou) průřezovou křivost .
- Neredukovatelný symetrický prostor se nazývá prostor nekompaktního typu , pokud má nekladné (ale ne shodně nulové) průřezové zakřivení .
Hodnost symetrického prostoru je maximální rozměr podprostoru tečného prostoru v nějakém (a tedy v jakémkoli) bodě, ve kterém je zakřivení shodně nulové.

Vlastnosti

Riemannovská varieta je místně symetrická právě tehdy, když je její tenzor zakřivení rovnoběžný .

Jakýkoli jednoduše připojený , úplný , lokálně symetrický prostor je symetrický.
- Zejména univerzální pokrytí lokálně symetrického prostoru je symetrické.

Izometrická grupa symetrického prostoru na něj působí tranzitivně.
- Zejména jakýkoli symetrický prostor je homogenní prostor , kde je Lieova grupa a je její podgrupa. $G/K$ $G$ $K$

Jakýkoli jednoduše spojený symetrický prostor je izometrický k součinu ireducibilních látek.

Hodnost symetrického prostoru je vždy alespoň 1.
- Pokud je pořadí 1, pak je zakřivení průřezu kladné nebo záporné ve všech směrech průřezu a prostor je neredukovatelný.
- Prostory euklidovského typu mají hodnost rovnou jejich dimenzi a jsou izometrické k euklidovskému prostoru této dimenze.

Klasifikace

Jakýkoli symetrický prostor je homogenní , níže je klasifikace přes a , označení prostorů jsou stejná jako v Cartanu. $G/K$ $G$ $K$

Označení	G	K	Dimenze	Hodnost	Geometrický popis
AI	${\mathrm {SU}} (n)$	${\mathrm {SO}} (n)$	$(n-1)(n+2)/2$	n - 1	Prostor všech reálných struktur na zachování komplexního determinantu $\mathbb{C}^n$
AI	$\mathrm {SU} (2n)$	$\mathrm {Sp} (n)$	$(n-1)(2n+1)$	n - 1	Prostor kvaternionových struktur s pevnou hermitovskou metrikou ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n))$
III	$\mathrm {SU} (p+q)$	$\mathrm {S} (\mathrm {U} (p)\times \mathrm {U} (q))$	$2pq$	min ( p , q )	Grassmannian komplexních p - rozměrných podprostorů v $\mathbb {C} ^{p+q}$
BDI	$\mathrm {SO} (p+q)$	$\mathrm {SO} (p)\times \mathrm {SO} (q)$	$pq$	min ( p , q )	Grassmannův orientovaný p -rozměrný ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q))$
III	$\mathrm {SO} (2n)$	$\mathrm {U} (n)$	$n(n-1)$	[ n /2]	Prostor ortogonálních komplexních struktur na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n))$
CI	$\mathrm {Sp} (n)$	$\mathrm {U} (n)$	$n(n+1)$	n	Prostor složitých struktur na skalárně zachovávajících strukturách ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$
II	$\mathrm {Sp} (p+q)$	$\mathrm {Sp} (p)\times \mathrm {Sp} (q)$	$4pq$	min ( p , q )	Grassmannian kvaternionových p - rozměrných podprostorů v ${\displaystyle \mathbb {H} ^{p+q))$
EI	$E_{6}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} (4)/\{\pm I\))$	42	6
EII	$E_{6}$	$\mathrm {SU} (6)\cdot \mathrm {SU} (2)$	40	čtyři	Prostor symetrických podprostorů v izometrii $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {H} )P^{2}$
III	$E_{6}$	$\mathrm {SO} (10)\cdot \mathrm {SO} (2)$	32	2	Komplexní projektivní Kellyho letadlo $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$
EIV	$E_{6}$	$F_{4}$	26	2	Prostor symetrických podprostorů v izometrii $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ $\mathbb {OP} ^{2}$
EV	$E_7$	${\displaystyle \mathrm {SU} (8)/\{\pm I\))$	70	7
EVI	$E_7$	$\mathrm {SO} (12)\cdot \mathrm {SU} (2)$	64	čtyři
EVII	$E_7$	$E_{6}\cdot \mathrm {SO} (2)$	54	3	Prostor symetrických podprostorů v izomorfě $(\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$
EVIII	$E_8$	${\displaystyle \mathrm {Spin} (16)/\{\pm vol\))$	128	osm
EIX	$E_8$	$E_{7}\cdot \mathrm {SU} (2)$	112	čtyři	Prostor symetrických podprostorů v izomorfě $(\mathbb {O} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ $(\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$
FI	$F_{4}$	$\mathrm {Sp} (3)\cdot \mathrm {SU} (2)$	28	čtyři	Prostor symetrických podprostorů v izomorfě ${\mathbb {O}}P^{2}$ ${\mathbb {H}}P^{2}$
FII	$F_{4}$	$\mathrm {Spin} (9)$	16	jeden	Letadlo Cayley ${\mathbb {O}}P^{2}$
G	$G_{2}$	$\mathrm {SO} (4)$	osm	2	Prostor subalgeber Cayleyovy algebry izomorfní s Quaternionovou algebrou ${\mathbb {O}}$ ${\mathbb {H}}$

Variace a zobecnění

Definice z hlediska Lieových grup

Obecnější definice je dána v jazyce Lieových grup . Zobecněný symetrický prostor je pravidelné pokrytí homogenního prostoru , kde Lieova grupa a $G/K$ $G$

{\displaystyle K=\{g\in G:\sigma (g)=g\))

pro nějakou involuci . $\sigma \colon G\to G$

Jakýkoli symetrický prostor je zobecněný symetrický prostor. V tomto případě je involuce izometrické skupiny prostoru definována jako $\sigma \colon G\to G$ $G$ ${\displaystyle \sigma \colon h\mapsto s_{p}\circ h\circ s_{p))$
- Opak je pravdou, pokud je kompaktní. $K$

Tyto zobecněné symetrické prostory zahrnují pseudo-Riemannovské symetrické prostory , ve kterých je Riemannovská metrika nahrazena pseudoRiemannovou metrikou . Zejména

Slabě symetrické prostory

V padesátých letech dal Atle Selberg definici slabě symetrického prostoru . Jsou definovány jako Riemannovy variety s tranzitivní izometrickou grupou tak, že pro každý bod v a tečný vektor v existuje izometrie v závislosti na v tak, že $p$ $M$ $proti$ $p$ $i$ $proti$ $p$

$i$ opravuje ; $p$
$di(v)=-v$ .

Pokud si člověk může vybrat nezávisle na , pak je prostor symetrický. $i$ $proti$

Klasifikace slabě symetrických prostorů je uvedena Akhiezerem a Vinbergem a je založena na klasifikaci periodických automorfismů komplexních polojednoduchých Lieových algeber [1] .

Kulové prostory

O kompaktním homogenním prostoru se říká, že je sférický, pokud má jakákoli ireducibilní reprezentace grupy nejvýše jeden invariantní vektor. Symetrické prostory jsou kulové. [2] [3] [4] [5] $G/K$ $G$ $K-$

Hermitovské symetrické prostory

Symetrický prostor, který je navíc opatřen paralelní komplexní strukturou v souladu s Riemannovou metrikou, se nazývá hermitovský symetrický prostor.

Poznámky

↑ Akhiezer, D.N. & Vinberg, E.B. (1999), Slabě symetrické prostory a sférické variety , Transf. Skupiny T. 4: 3-24 , DOI 10.1007/BF01236659
↑ M. Krämer, Sphärische Untergruppen in kompakten zusammenhängenden Liegruppen, Compositio Math. 38(1979), No. 2, 129-153.
↑ I. V. Mikityuk, O integrabilitě invariantních hamiltonovských systémů s homogenními konfiguračními prostory, Mat. So. 129(171) (1986), No. 4, 514-534. Angličtina přel.: IV Mikityuk, O integrovatelnosti invariantních hamiltonovských systémů s homogenními konfiguračními prostory, Mat. SSSR Sborník 57(1987), no. 2, 527–546.
↑ M. Brion, Classification des espaces homogenes sphériques, Compositio Math. 63(1987), No. 2, 189–208
↑ F. Knop, B. Krötz, T. Pecher, H. Schlichtkrull. Klasifikace redukčních reálných kulových dvojic II. Archivováno 16. prosince 2019 na Wayback Machine The semisimple case. Transformační skupiny 24, 467–510 (2019)

Literatura

Cartan E. Geometrie Lieových grup a symetrických prostorů. - IL, 1949.
Helgason S. Diferenciální geometrie a symetrické prostory. - Mir, 1964.
Loos O. Symetrické prostory. - Věda, 1985.