Krytina

Krytí je kontinuální surjektivní mapování prostoru spojeného s cestou na prostor spojený s cestou tak, že každý bod má okolí, jehož úplný inverzní obraz je spojením párově disjunktních oblastí : $p:X\to Y$ $X$ $Y$ $y\v Y$ $U\podmnožina Y$ $p^{{-1}}(U)$ $V_{k}\podmnožina X$

p^{{-1}}(U)=V_{1}\pohár V_{2}\pohár \tečky

navíc v každé doméně je zobrazení homeomorfismem mezi a . $V_{k}$ $p:\,V_{k}\to U$ $V_{k}$ $U$

Formální definice

Mapování prostoru spojeného s cestou na prostor spojený s cestou se nazývá pokrytí , pokud má nějaký bod okolí, pro které existuje homeomorfismus , kde je diskrétní prostor takový, že pokud označuje přirozenou projekci, pak $p:X\to Y$ $X$ $Y$ $y\v Y$ $U\podmnožina Y$ $h:p^{-1}(U)\to U\times \Gamma$ $\Gamma$ $\pi:U\times \Gamma\to U$

p|_{p^{-1}(U)}=\pi\circ h

Související definice

Prostor se nazývá základna krytiny a prostor krytiny (nebo krycí prostor ). $Y$ $X$
Inverzní obraz bodu se nazývá vrstva nad bodem . $p^{{-1}}(y)$ $y\v Y$ $y$
Počet oblastí v úplném předobrazu se nazývá počet listů . $V_{k}$ $p^{{-1}}(U)$
- Pokud je toto číslo konečné a rovno , pak se krytina nazývá
-sheeted . $n$ $n$

Kryt se nazývá univerzální , pokud pro jakýkoli jiný kryt existuje kryt takový, že .

p\colon {\tilda {Y}}\to Y

q\dvojtečka X\to Y

s\colon {\tilda {Y}}\to X

p=q\circ s

Příklady

Označme jednotkovou kružnici komplexní roviny . $S^{1}$ $S^{1}=\{z\in {{\mathbb C}||z|=1}\}$
- $p:{{\mathbb R}}\to S^{1}$ , . $p:x\mapsto e^{{2\pi ix}}$
- $p:S^{1}\to S^{1}$ , , kde , . $p:z\mapsto z^{k}$ $k\neq 0$ $k\in {{\mathbb Z}}$

Vlastnosti

Kryty jsou místní homeomorfismy
Zvláštním případem lokálně triviálních svazků jsou obaly . Lze je považovat za lokálně triviální fibrace s diskrétním vláknem.
Všechny dvojité krytiny jsou pravidelné.
Univerzální krytina je pravidelná.

Spojení se základní skupinou

Krytina se obvykle uvažuje za předpokladu, že u je spojeno a také lokálně jednoduše spojeno . Za těchto předpokladů je vytvořeno spojení mezi základními grupami a : jestliže , pak se indukovaný homomorfismus , izomorfně mapuje na podgrupu v a změnou bodu v , lze získat přesně všechny podgrupy z nějaké třídy konjugovaných podgrup. $X$ $Y$ $Y$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$ $p(x_{0})=y_{0}$ $p:\pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,y_{0})$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$ $x_{0}$ $p^{{-1}}(y_{0})$

Pokud se tato třída skládá z jedné podskupiny (tj . normálního dělitele ), pak se krytí nazývá regular . V tomto případě vzniká volné působení skupiny na , a ukazuje se, že jde o faktor mapující do prostoru drah . Obecně platí, že volné akce diskrétních skupin jsou obvyklým zdrojem pravidelných krytů (přes prostor oběžné dráhy, i když ne každá taková akce definuje kryt, může se ukázat, že prostor dráhy je neoddělitelný), ale to platí pro konečné skupiny. Tato akce je generována zvýšením smyček: pokud je smyčka , , spojena s jedinečnou cestou , pro kterou a , pak bude bod záviset pouze na třídě této smyčky v bodu a na bodu . Prvek z tedy odpovídá permutaci teček v . Tato permutace nemá žádné pevné body a závisí nepřetržitě na bodu . Toto definuje homeomorfismus dojíždění s . $H$ $H$ $G=\pi _{1}(Y,y_{0})/H$ $X$ $p$ $Y$ $q:[0,1]\to Y$ $q(0)=q(1)=y_{0}$ ${\tilde q}:[0,1]\to X$ ${\tilde q}(0)=x_{0}$ $p{\tilde q}=q$ ${\tilde q} (1)$ $G$ $x_{0}$ $G$ $p^{{-1}}(y_{0})$ $y_0$ $X$ $p$

V obecném případě tato konstrukce definuje pouze permutaci v , to znamená, že existuje akce na , nazývaná monodromie krytiny . Speciálním případem běžného krytu je univerzální kryt , ke kterému se nebo ekvivalentně X jednoduše připojí. $p^{{-1}}(y_{0})$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$ $p^{{-1}}(y_{0})$ $G=\pi _{1}(Y,y_{0})$

Obecně platí, že pro každou skupinu je krytina jedinečně konstruována , pro kterou existuje obrázek . $H\subset \pi _{1}(Y,y_{0})$ $p:X\to Y$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $H$

Pro jakékoli mapování prostoru spojeného s cestou na zvedání na mapování existuje tehdy a pouze tehdy, když obrázek leží v . Mezi krytinami existuje vztah částečného pořadí (potah krytiny je krytina), který je dvojí se zahrnutím podskupin do . Zejména univerzální krytina je jediným maximálním prvkem. $F$ $(Z,z_{0})$ $(Y,y_{0})$ ${\tilde f}:(Z,z_{0})\to (X,x_{0})$ $f(\pi _{1}(Z,z_{0}))$ $H$ $Y$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$

Literatura

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderní geometrie. Metody a aplikace. — M.: Nauka, 1986.
Boltyansky VG , Efremovich VA Vizuální topologie . - M .: Nauka, 1982. - (Knihovna "Quantum", číslo 21).