Univerzální krytina

Univerzální zakrytí je v jistém smyslu největší zakrytí prostoru. Univerzální krytinou je v nepatologických případech zakrytí jednoduše propojeným prostorem.

Definice

Kryt se nazývá univerzální, pokud pro jakýkoli jiný kryt existuje kryt takový, že . $p\colon {\tilda {Y}}\to Y$ $q\dvojtečka X\to Y$ $s\colon {\tilda {Y}}\to X$ $p=q\circ s$

Příklady

Příkladem prostoru, který neumožňuje univerzální zakrytí, je tzv. havajská náušnice : spojení posloupnosti kružnic, párově tečných ve stejném bodě, jejichž poloměry mají tendenci k nule. [jeden]

Dvě kopie kornoutu přes havajskou náušnici, nalepené v jednom bodě, kde kruhy havajské náušnice mají společný bod, dávají příklad nejednoduše propojeného prostoru s triviálním (a tedy nejednoduše spojeným) univerzálním překrytím . Uzavřená dráha běžící kolem klesajících kružnic a probíhající od kužele ke kuželu není nulově homogenní. [2]

Skutečná linie je univerzální pokrytí kruhu . $\mathbb {R}$ $S^{1}$

$n$ -dimenzionální sféra je univerzálním krytím reálného projektivního prostoru pro . $S^{n}$ $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$ $n>1$

Vlastnosti

Univerzální krytina je pravidelná .

Všechny lokálně cestně propojené a pololokálně jednoduše propojené prostory umožňují univerzální zakrytí. Krycí prostor je navíc jednoduše připojen.
- Zejména jakýkoliv lokálně jednoduše připojený prostor má univerzální zakrytí.

Poznámky

↑ Kapitola 2, § 5, 17 in Spanier E. Algebraická topologie. — M .: Mir, 1971
↑ Kapitola 2, § 5, 18 in Spanier E. Algebraická topologie. — M .: Mir, 1971

Literatura

Allen Hatcher. Algebraická topologie / Per. V. V. Prásolová. - M. : MTSNMO, 2011. - 688 s. — ISBN 978-5-94057-748-5 .