Havajská náušnice

Havajská náušnice je topologický prostor odpovídající spojení kruhů na euklidovské rovině se středy v bodech a poloměrech (pro všechna kladná celá čísla ). Prostor je homeomorfní k jednobodové kompaktifikaci počitatelného sjednocení otevřených intervalů ( ). $H$ $\mathbb {R} ^{2}$ $(1/n,0)$ $1/n$ $n$ $H$ $\mathbb {R} ^{+}\setminus \mathbb {N}$

Havajské náušnice jsou kompaktní a lze je osadit plnou měrkou . Je to cesta připojená, ale ne semi- lokálně jednoduše připojená .

Havajská náušnice na první pohled vypadá jako kytice z počitatelného počtu kruhů, ale nejde o homeomorfní topologické prostory. Topologie havajské náušnice je slabší : jakékoli okolí průsečíku kruhů obsahuje všechny kruhy kromě konečného počtu, zatímco u kytice existují sousedství, která žádné kruhy neobsahují. Navíc kytice z počitatelného počtu kruhů není kompaktní.

Základní skupina

Havajská náušnice není jednoduše spojena , protože smyčka parametrizující některý z jejích kruhů není homotopická s triviální. Proto má netriviální základní skupinu . $G$

Dochází k kontinuálnímu mapování z kytice spočetně mnoha kruhů do , indukuje vnoření základní skupiny kytice ( volná skupina s početně mnoha generátory) do . Skupina obsahuje i další prvky - homotopické třídy smyček, které nejsou obsaženy v žádné konečné podmnožině kruhů havajské náušnice; příkladem je smyčka, která „namotává“ segment kolem tého kruhu. $H$ $G$ $G$ $[2^{-n},2^{-(n-1)}]$ $n$

Kromě toho je začleněn do projektivního limitu volných skupin (připojuje mapování od k převzetí posledního generátoru k identitě skupiny). Toto mapování však není surjektivní ; jeho obraz obsahuje přesně ty prvky inverzní limity, ve které se každý z generátorů vyskytuje v konečném počtu. Příkladem prvku, který na obrázku tohoto mapování neleží, je nekonečný komutátor . $G$ $F_{n}$ $F_{n}$ $F_{{n-1}}$ $[\gamma _{1},\gamma _{2}][\gamma _{1},\gamma _{3}]\ldots$

Skupina je nepočitatelná a není volná. Ačkoli jeho abelizace nemá jednoduchý popis, existuje normální podskupina v , taková, která je izomorfní ke skupině Baer-Specker . Nazývá se nekonečná abelizace nebo silná abelizace , protože se skládá přesně z těch prvků, jejichž každá souřadnice (pokud ji chápete jako podgrupu projektivní limity ) leží v podgrupě komutátoru odpovídající volné grupy . V jistém smyslu lze hovořit o uzavření komutátoru . $G$ $G$ $N$ $G/N$ $\prod _{i=0}^{\infty }\mathbb {Z}$ $G$ $N$ $G$ $N$ $G$

Související patologické prostory

Kužel nad havajskou náušnicí je příkladem jednoduše propojeného (zejména pololokálně jednoduše propojeného), ale ne lokálně jednoduše propojeného prostoru.
- Prostor slepený ze dvou kopií takového kužele v jednom bodě, na základě kterého se kroužky náušnice navzájem dotýkají, dává příklad prostoru s jednoduše napojeným univerzálním krytím, což je triviální.

Literatura

Hatcher, A. Algebraická topologie / Per. z angličtiny. V. V. Prásolová, ed. T. E. Panova. - M. : MTSNMO, 2011. - S. 69-70. — ISBN 978-5-94057-748-5 .
Dělo, JW; Conner, GR Velká základní skupina, velké havajské náušnice a velké volné skupiny // Topologie a její aplikace. - 2000. - Sv. 106. - Vydání. 3 . - S. 273-291. - doi : 10.1016/S0166-8641(99)00104-2 .
Conner, G.; Spencer, K. Anomální chování havajské skupiny náušnic // Journal of Group Theory. - 2005. - Sv. 8. - Vydání. 2 . - S. 223-227. - doi : 10.1515/jgth.2005.8.2.223 .
Eda, K. jednorozměrné divoké prostory a havajská náušnice] // Proceedings of the American Mathematical Society. — Sv. 130. - Vydání. 5 . - S. 1515-1522. - doi : 10.1090/S0002-9939-01-06431-0 .
Eda, K.; Kawamura, K. Singulární homologie havajské náušnice // Journal of the London Mathematical Society. — Sv. 62. - Vydání. 1 . - S. 305-310. - doi : 10.1112/S0024610700001071 .
Fabel, P. Topologická havajská skupina náušnic není vnořena do inverzního limitu volných grup // Algebraická a geometrická topologie. — Sv. 5. - S. 1585-1587. - doi : 10.2140/agt.2005.5.1585 .
Morgan, JW; Morrison, I. Van Kampenův teorém pro slabé spoje // Proceedings of the London Mathematical Society. — Sv. 53, č. 3 . - S. 562-576. - doi : 10.1112/plms/s3-53.3.562 .
Biss, Daniel K. Zobecněný přístup k základní skupině // American Mathematical Monthly. - MAA, 2000. - T. 107 , č. 8 . — S. 711–720 . - doi : 10.2307/2695468 .