Porovnání topologie

Porovnání topologií je koncept, který vám umožňuje „porovnávat“ různé topologické struktury na stejné množině . Množina všech topologií na pevné množině tvoří částečně uspořádanou množinu s ohledem na tento vztah .

Definice

Nechť a být dvě topologie na množině takové, která je obsažena v $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2$ $X,$ $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2:$

\mathcal T_1 \subseteq \mathcal T_2.

To znamená, že každá otevřená množina prvního topologického prostoru je otevřenou množinou druhého topologického prostoru. V tomto případě se topologie nazývá hrubší (někdy slabší nebo menší ) než. Podle toho se topologie nazývá jemnější ( silnější , větší ). Někteří autoři, zejména v učebnicích kalkulu, používají termíny „silná topologie“ a „slabá topologie“ s opačným významem. [jeden] $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2.$ $\mathcal T_2$

Binární relace definuje částečnou strukturu řádu na množině všech možných topologií množiny $\subseteq$ $X.$

Příklady

Nejlepší topologií je diskrétní topologie , ve které jsou všechny množiny otevřené. V souladu s tím je nejhrubší topologií triviální (nebo antidiskrétní) topologie. $X$

Nejhrubší topologie, na které splňuje separační axiom T1 , se nazývá topologie T1 . Taková topologie vždy existuje, lze ji explicitně popsat jako topologii, jejíž uzavřené množiny jsou konečné množiny a také všechny $X,$ $X$ $X.$

Vlastnosti

Nechť a být dvě topologie na množině Pak jsou následující příkazy ekvivalentní: $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2$ $X.$

$\mathcal T_1\subseteq \mathcal T_2$
Mapování identity je nepřetržité . $\text{id}_X: (X,\mathcal T_2)\to (X,\mathcal T_1)$
Mapování identity je otevřené mapování (nebo ekvivalentně uzavřené mapování ). $\text{id}_X: (X,\mathcal T_1)\to (X,\mathcal T_2)$

Také tato tvrzení bezprostředně vyplývají z definic:

Souvislá mapa zůstává spojitá, pokud je zapnutá topologie nahrazena hrubší (resp. zapnutá topologie je nahrazena jemnější). $f:X\to Y$ $Y$ $X$
Otevřené mapování zůstane otevřené, pokud je zapnutá topologie nahrazena jemnější (resp. zapnutá topologie je nahrazena hrubší). Podobné tvrzení platí pro uzavřená mapování. $f:X\to Y$ $Y$ $X$

Příhradové topologie

Množina topologií netvoří úplnou mřížku vzhledem k relaci , to znamená, že libovolná rodina topologií má nejlepší mez a nejlepší dolní mez. Přesné infimum je prostě průsečík topologií. Na druhé straně sjednocení topologií není nutně topologií a nejmenší horní hranicí rodiny topologií je topologie, pro kterou je jejich sjednocení předbází . $X$ $\subseteq.$

Jakákoli úplná mřížka je také ohraničena , v případě topologií to odpovídá konceptům diskrétní a antidiskrétní topologie.

Poznámky

↑ Munkres, James R. (2000). Topologie (2. vyd.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. str. 77-78. ISBN 0-13-181629-2 .