Základ topologie

Základ topologie ( základ topologického prostoru, základ topologie, otevřený základ ) je rodina otevřených podmnožin topologického prostoru , takže každá otevřená množina je reprezentovatelná jako spojení prvků této rodiny. $X$ $X$

Často je uveden základ topologie, aby byla představena topologie. Například v metrickém prostoru je topologie definována v podmínkách báze tvořené všemi otevřenými kuličkami.

Definice

Rodina otevřených množin topologického prostoru se nazývá základ topologie (nebo topologického prostoru), pokud nějaká otevřená množina z může být reprezentována jako spojení prvků rodiny . ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$ ${\mathfrak {B}}$

Rodina otevřených množin v topologickém prostoru je základem právě tehdy, když pro každý bod v prostoru a jeho okolí existuje množina z takového, že . ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$ $X$ $U$ $PROTI$ ${\mathfrak {B}}$ $x\in V\podmnožina U$

Váha topologického prostoru

Minimální mohutnost všech základen prostoru se nazývá váha topologického prostoru . Prostorová hmotnost je obvykle označena . $X$ $X$ $X$ $w(X)$

Vlastnosti

Pro každou základnu existuje podmnožina , která je základem a má mohutnost rovnou váze prostoru. ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}_{0}$
Jestliže váha prostoru není větší než spočetná (to znamená, že má spočetnou základnu), pak se nazývá prostor s druhým axiomem počitatelnosti . $X$ $X$ $X$
V prostoru váhy je všude hustá síla . $\tau$ $\leqslant \tau$

Variace a zobecnění

Lokální základna prostoru v bodě (základna bodu ) je rodina sousedství bodu s následující vlastností: pro jakékoli okolí bodu existuje prvek takový, že . $X$ $x\in X$ $X$ $\mathfrak{B}(x)$ $X$ $Vůl$ $X$ $V \in \mathfrak{B}(x)$ $x \in V \podmnožina O_x$
- Minimální mohutnost všech lokálních základen prostoru v bodě se nazývá charakter prostoru v bodě a značí se . $X$ $x\in X$ $X$ $X$ $\chi (x,X)$
- Supremum znaků prostoru ve všech bodech se nazývá charakter prostoru a značí se . $X$ $x\in X$ $X$ $\chi (X)$
- Prostory, které mají v každém bodě spočetný místní základ, se nazývají prostory s prvním axiomem spočetnosti .
- Rodina otevřených množin v X je základem právě tehdy, když pro každý bod je podrodina všech prvků obsahujících bod lokální základnou bodu . ${\mathfrak {B}}$ $x\in X$ $\mathfrak{B}(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$
Systém sousedství je taková rodina , která je místní základnou prostoru v určitém bodě pro každého . $\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}$ $\mathfrak{B}(x)$ $X$ $X$ $x\in X$
Předbáze je rodina otevřených podmnožin topologického prostoru tak, že množina všech souborů, které jsou průsečíkem konečného počtu prvků , tvoří základ prostoru . $Y$ $X$ $Y$ $X$
Uzavřená základna je rodina všech doplňků k prvkům nějaké základny.
$\pi$ -base ( mřížková základna ) je rodina neprázdných otevřených podmnožin prostoru , takže každá neprázdná množina otevřená pro obsahuje množinu , tj. Hausdorffova hustota v prostoru . Každý základ je základ. Opačně to neplatí, například v Stone-Cechově kompaktifikaci množiny přirozených čísel je rodina jednobodových podmnožin množiny -základ , ale není základem. ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$ $X$ $\pi$ $\beta \mathbb{N}$ $\mathbb {N}$ $\pi$
Pseudobáze je rodina otevřených podmnožin takových, že průsečík všech jejích prvků obsahujících pevný bod se shoduje s tímto bodem. Existuje pouze v T 1 - prostorech . Příkladem prostoru s počitatelnou pseudobází, která nemá spočetnou bázi, je prostor posloupností nul a jedniček s diskrétní topologií (pseudobáze je množina skládající se ze všech posloupností s pevnou hodnotou na nějaké pozici).

Definování topologie pomocí základního, předzákladního a sousedského systému

Rodina podmnožin libovolné množiny je základem nějaké topologie tehdy a jen tehdy, pokud splňuje následující podmínky: ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$ ${\mathfrak {B}}$

Každý bod patří do nějaké sady z rodiny . $x\in X$ $U$ ${\mathfrak {B}}$
Pro všechny množiny a jakýkoli bod existuje množina taková, že . $U,V\in {\mathfrak {B}}$ $x\in U\cap V$ $W\in {\mathfrak {B}}$ $x\in W\subset U\cap V$

V tomto případě je základem topologie, na které jsou množiny otevřené právě tehdy, když je lze reprezentovat jako spojení některých podmnožin . Taková topologie se nazývá topologie generovaná základnou .

{\mathfrak {B}}

X

{\mathfrak {B}}

{\mathfrak {B}}

K tomu, aby rodina podmnožin libovolné množiny byla předbází nějaké topologie na , je nutné a postačující, aby byla splněna výše uvedená podmínka 1. Navíc v této topologii jsou otevřené pouze ty množiny, které lze reprezentovat jako spojení konečných průniků některých podmnožin z . Taková topologie se nazývá topologie vygenerovaná předbází . Toto je nejmenší topologie obsahující rodinu . ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$

Množina rodin podmnožin libovolné množiny je systémem sousedství nějaké topologie tehdy a jen tehdy, když splňuje následující podmínky: $\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}$ $X$ $X$

Pro každého je rodina neprázdná a pro všechny . $x\in X$ $\mathfrak{B}(x)$ $x\v U$ $U\in {\mathfrak {B}} (x)$
Pro každého existuje taková, že . $y\in U\in {\mathfrak {B}} (x)$ $V\in {\mathfrak {B}} (y)$ $V\podmnožina U$
Pro jakoukoli množinu existuje takové, že . $V,W\in {\mathfrak {B}} (x)$ $U\in {\mathfrak {B}} (x)$ $U\podmnožina V\cap W$

V tomto případě je sousedský systém topologie na , skládající se ze všech podmnožin reprezentovatelných jako spojení podrodin rodiny . Taková topologie se nazývá topologie generovaná systémem sousedství .

\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}

X

\bigcup _{{x\in X}}{\mathfrak {B}}(x)

\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}

Příklady

Základem každého topologického prostoru je rodina všech jeho otevřených množin.
Diskrétní topologie má jako základ rodinu všech svých jednobodových podmnožin.
Jestliže a jsou topologické prostory se základy topologií a , pak je topologie na kartézském součinu dána základem $X$ $Y$ $\mathfrak{B}_X$ $\mathfrak{B}_Y$ $X\krát Y$

\mathfrak{B}_{X\krát Y} = \{U\krát V\,: U\in\mathfrak{B}_X,\,V\in\mathfrak{B}_Y\}

V tomto případě nebude topologie záviset na tom, které báze prostorů X a Y jsou použity k její definici. Taková topologie se nazývá (standardní) topologie kartézského součinu topologických prostorů .

X\krát Y

Topologie prostoru reálných čísel je dána soustavou všech intervalů , která tvoří základ této topologie. Podobně je topologie prostoru dána základem otevřených čar a tato topologie se zjevně shoduje se standardní topologií přímého součinu prostorů. $\mathbb {R}$ $(a,b)$ ${\R}^n$ $(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times\tečky\times(a_n,b_n)$
Uspořádaná topologie je obvykle definována jako topologie generovaná sadou sad s otevřeným intervalem.
Metrická topologie je obvykle definována jako topologie generovaná sadou otevřených koulí daných konkrétní metrikou .

Viz také

Yesenin-Volpinův teorém
Bondingový axiom
Spodní část základny

Literatura

Alexandrov PS, Kolmogorov AN Úvod do obecné teorie množin a funkcí. - M.-L., 1948.
Uryson PS Sborník o topologii a dalších oblastech matematiky. - V. 1-2. - M.-L., 1951.
Alexandrov P. S., Pasynkov B. A. Úvod do teorie dimenze. Úvod do teorie topologických prostorů a obecné teorie dimenze. - M., 1973.
Arkhangelsky A. V., Ponomarev V. I. Základy obecné topologie v problémech a cvičeních. - M., 1974.
Bourbaki N. Obecná topologie. Základní struktury / Per. z francouzštiny - M., 1968.
Engelking, R. Obecná topologie. — M .: Mir , 1986. — 752 s.
Kelly, J. L. Obecná topologie. — M .: Nauka, 1968.

Odkazy

Základ topologie - článek z Encyklopedie matematiky . A. A. Malcev