Základ topologie
Základ topologie ( základ topologického prostoru, základ topologie, otevřený základ ) je rodina otevřených podmnožin topologického prostoru , takže každá otevřená množina je reprezentovatelná jako spojení prvků této rodiny.
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
Často je uveden základ topologie, aby byla představena topologie. Například v metrickém prostoru je topologie definována v podmínkách báze tvořené všemi otevřenými kuličkami.
Definice
Rodina otevřených množin topologického prostoru se nazývá základ topologie (nebo topologického prostoru), pokud nějaká otevřená množina z může být reprezentována jako spojení prvků rodiny .
![{\mathfrak {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f939c87a07b7af23e09792e9edb2c7caebb18864)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![{\mathfrak {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f939c87a07b7af23e09792e9edb2c7caebb18864)
Rodina otevřených množin v topologickém prostoru je základem právě tehdy, když pro každý bod v prostoru a jeho okolí existuje množina z takového, že .
![{\mathfrak {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f939c87a07b7af23e09792e9edb2c7caebb18864)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![U](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025)
![PROTI](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845)
![{\mathfrak {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f939c87a07b7af23e09792e9edb2c7caebb18864)
![x\in V\podmnožina U](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc95e6a04d22e7d4f40a4ea11796d449b3c8179)
Váha topologického prostoru
Minimální mohutnost všech základen prostoru se nazývá váha topologického prostoru . Prostorová hmotnost je obvykle označena .
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![w(X)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e287e5bd3295db7cfad211b956e2847d2af95fcf)
Vlastnosti
- Pro každou základnu existuje podmnožina , která je základem a má mohutnost rovnou váze prostoru.
![{\mathfrak {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f939c87a07b7af23e09792e9edb2c7caebb18864)
![{\mathfrak {B}}_{0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e25662fa2a0d0d4d5e9919b55212ab76de548c6)
- Jestliže váha prostoru není větší než spočetná (to znamená, že má spočetnou základnu), pak se nazývá prostor s druhým axiomem počitatelnosti .
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- V prostoru váhy je všude hustá síla .
![\tau](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c)
![\leqslant \tau](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d851fc2f6c8212d0c70fd4b06e1a534863a5206)
Variace a zobecnění
- Lokální základna prostoru v bodě (základna bodu ) je rodina sousedství bodu s následující vlastností: pro jakékoli okolí bodu existuje prvek takový, že .
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![x\in X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
![\mathfrak{B}(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e838fb668a571a111495174769a129c710ad99)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
![Vůl](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/defd9c97517146a7703c263c6fb139162d88517c)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
![V \in \mathfrak{B}(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcbbaa3d2911077b7ee016194fd5891b4109336a)
![x \in V \podmnožina O_x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efce1e078c1cec4a6d369d20f1893aec2e32beee)
- Minimální mohutnost všech lokálních základen prostoru v bodě se nazývá charakter prostoru v bodě a značí se .
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![x\in X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
![\chi (x,X)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78150e822458ee12233bd7b372d099046f06f373)
- Supremum znaků prostoru ve všech bodech se nazývá charakter prostoru a značí se .
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![x\in X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![\chi (X)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e6585c52ed72d79ee468486b1d14714b3b667d0)
- Prostory, které mají v každém bodě spočetný místní základ, se nazývají prostory s prvním axiomem spočetnosti .
- Rodina otevřených množin v X je základem právě tehdy, když pro každý bod je podrodina všech prvků obsahujících bod lokální základnou bodu .
![{\mathfrak {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f939c87a07b7af23e09792e9edb2c7caebb18864)
![x\in X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d)
![\mathfrak{B}(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e838fb668a571a111495174769a129c710ad99)
![{\mathfrak {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f939c87a07b7af23e09792e9edb2c7caebb18864)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
- Systém sousedství je taková rodina , která je místní základnou prostoru v určitém bodě pro každého .
![\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6d157a8d58daceec2785655b44ff0fbec422a0f)
![\mathfrak{B}(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e838fb668a571a111495174769a129c710ad99)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
![x\in X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d)
- Předbáze je rodina otevřených podmnožin topologického prostoru tak, že množina všech souborů, které jsou průsečíkem konečného počtu prvků , tvoří základ prostoru .
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![Y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- Uzavřená základna je rodina všech doplňků k prvkům nějaké základny.
-base ( mřížková základna ) je rodina neprázdných otevřených podmnožin prostoru , takže každá neprázdná množina otevřená pro obsahuje množinu , tj. Hausdorffova hustota v prostoru . Každý základ je základ. Opačně to neplatí, například v Stone-Cechově kompaktifikaci množiny přirozených čísel je rodina jednobodových podmnožin množiny -základ , ale není základem.![{\mathfrak {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f939c87a07b7af23e09792e9edb2c7caebb18864)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![{\mathfrak {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f939c87a07b7af23e09792e9edb2c7caebb18864)
![{\mathfrak {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f939c87a07b7af23e09792e9edb2c7caebb18864)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![\beta \mathbb{N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f1d4ea940562cacea4910babd7883b7868da32)
![\mathbb {N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed)
![\pi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a)
- Pseudobáze je rodina otevřených podmnožin takových, že průsečík všech jejích prvků obsahujících pevný bod se shoduje s tímto bodem. Existuje pouze v T 1 - prostorech . Příkladem prostoru s počitatelnou pseudobází, která nemá spočetnou bázi, je prostor posloupností nul a jedniček s diskrétní topologií (pseudobáze je množina skládající se ze všech posloupností s pevnou hodnotou na nějaké pozici).
Definování topologie pomocí základního, předzákladního a sousedského systému
- Rodina podmnožin libovolné množiny je základem nějaké topologie tehdy a jen tehdy, pokud splňuje následující podmínky:
![{\mathfrak {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f939c87a07b7af23e09792e9edb2c7caebb18864)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![{\mathfrak {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f939c87a07b7af23e09792e9edb2c7caebb18864)
- Každý bod patří do nějaké sady z rodiny .
![x\in X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d)
![U](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025)
![{\mathfrak {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f939c87a07b7af23e09792e9edb2c7caebb18864)
- Pro všechny množiny a jakýkoli bod existuje množina taková, že .
![U,V\in {\mathfrak {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/532674f7087ff6df55963e19ae6c5b4ae78925f7)
![x\in U\cap V](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67a8975a5a8fcddac43926974c01ded8573aa845)
![W\in {\mathfrak {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f305d2aa49f025a42eea8181d396001c6155f03)
![x\in W\subset U\cap V](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c66dc9df232574fefdafa4aae91c97a0c551ba)
V tomto případě je základem topologie, na které jsou množiny otevřené právě tehdy, když je lze reprezentovat jako spojení některých podmnožin . Taková topologie se nazývá topologie generovaná základnou .
![{\mathfrak {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f939c87a07b7af23e09792e9edb2c7caebb18864)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![{\mathfrak {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f939c87a07b7af23e09792e9edb2c7caebb18864)
- K tomu, aby rodina podmnožin libovolné množiny byla předbází nějaké topologie na , je nutné a postačující, aby byla splněna výše uvedená podmínka 1. Navíc v této topologii jsou otevřené pouze ty množiny, které lze reprezentovat jako spojení konečných průniků některých podmnožin z . Taková topologie se nazývá topologie vygenerovaná předbází . Toto je nejmenší topologie obsahující rodinu .
![{\mathfrak {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f939c87a07b7af23e09792e9edb2c7caebb18864)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![{\mathfrak {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f939c87a07b7af23e09792e9edb2c7caebb18864)
![{\mathfrak {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f939c87a07b7af23e09792e9edb2c7caebb18864)
![{\mathfrak {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f939c87a07b7af23e09792e9edb2c7caebb18864)
- Množina rodin podmnožin libovolné množiny je systémem sousedství nějaké topologie tehdy a jen tehdy, když splňuje následující podmínky:
![\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6d157a8d58daceec2785655b44ff0fbec422a0f)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- Pro každého je rodina neprázdná a pro všechny .
![x\in X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d)
![\mathfrak{B}(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e838fb668a571a111495174769a129c710ad99)
![x\v U](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c32ddcb2941216f2980b950ce969dc15cba26906)
![U\in {\mathfrak {B}} (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae7e283092e006f1e58f97e3b5a01e2ec1d4936)
- Pro každého existuje taková, že .
![y\in U\in {\mathfrak {B}} (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16fc3fb1a780f68b7aaa6285125676ebc413b57)
![V\in {\mathfrak {B}} (y)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7bb3f4b2f45f1496bd1153d98b3ef904f4b846d)
![V\podmnožina U](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae37b0495b78ebcc4b8df66949ebd5659a4fafb6)
- Pro jakoukoli množinu existuje takové, že .
![V,W\in {\mathfrak {B}} (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e50f4d8dd5bb389733894b1f6f8ba564738d38ed)
![U\in {\mathfrak {B}} (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae7e283092e006f1e58f97e3b5a01e2ec1d4936)
![U\podmnožina V\cap W](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b206bb646b43f8228b90b7d22a2d513ee183f9e)
V tomto případě je sousedský systém topologie na , skládající se ze všech podmnožin reprezentovatelných jako spojení podrodin rodiny . Taková topologie se nazývá topologie generovaná systémem sousedství .
![\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6d157a8d58daceec2785655b44ff0fbec422a0f)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![\bigcup _{{x\in X}}{\mathfrak {B}}(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd192365c01ce4d06f834dbed1742ae8698ab6c)
Příklady
- Základem každého topologického prostoru je rodina všech jeho otevřených množin.
- Diskrétní topologie má jako základ rodinu všech svých jednobodových podmnožin.
- Jestliže a jsou topologické prostory se základy topologií a , pak je topologie na kartézském součinu dána základem
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![Y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
![\mathfrak{B}_X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4657dc975449bef841b36c0af0b3b55506e5c9)
![X\krát Y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1613c1ff4b6fbfb6c80a8da83e90ad28f0ab3483)
V tomto případě nebude topologie záviset na tom, které báze prostorů X a Y jsou použity k její definici. Taková topologie se nazývá (standardní)
topologie kartézského součinu topologických prostorů .
- Topologie prostoru reálných čísel je dána soustavou všech intervalů , která tvoří základ této topologie. Podobně je topologie prostoru dána základem otevřených čar a tato topologie se zjevně shoduje se standardní topologií přímého součinu prostorů.
![\mathbb {R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc)
![(a,b)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e5710198f33b00695903460983021e75860e2c)
![{\R}^n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a87a5c82f1e50d41db5327231c2224ae8a607a5)
![(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times\tečky\times(a_n,b_n)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca4817fbaca2ba0f157a3b6f6b24a2f5ac51bd9a)
- Uspořádaná topologie je obvykle definována jako topologie generovaná sadou sad s otevřeným intervalem.
- Metrická topologie je obvykle definována jako topologie generovaná sadou otevřených koulí daných konkrétní metrikou .
Viz také
- Yesenin-Volpinův teorém
- Bondingový axiom
- Spodní část základny
Literatura
- Alexandrov PS, Kolmogorov AN Úvod do obecné teorie množin a funkcí. - M.-L., 1948.
- Uryson PS Sborník o topologii a dalších oblastech matematiky. - V. 1-2. - M.-L., 1951.
- Alexandrov P. S., Pasynkov B. A. Úvod do teorie dimenze. Úvod do teorie topologických prostorů a obecné teorie dimenze. - M., 1973.
- Arkhangelsky A. V., Ponomarev V. I. Základy obecné topologie v problémech a cvičeních. - M., 1974.
- Bourbaki N. Obecná topologie. Základní struktury / Per. z francouzštiny - M., 1968.
- Engelking, R. Obecná topologie. — M .: Mir , 1986. — 752 s.
- Kelly, J. L. Obecná topologie. — M .: Nauka, 1968.
Odkazy