Stone-Cech Compactification

Stone-Cech compactification (také Stone-Cech nebo Cech- Stone compactification ) je maximální zhutnění zcela pravidelného topologického prostoru .

Stone-Cechovo zhutnění prostoru se obvykle označuje jako . $X$ $\beta X$

Historie

O zhutňovací konstrukci Stone-Cech poprvé uvažoval Tichonov [1] v roce 1930. Explicitněji ji popsali v roce 1937 Stone [2] a Eduard Čech [3] .

Obecná vlastnost

$\beta X$ je kompaktní Hausdorffův prostor spolu se spojitým zobrazením splňujícím následující univerzální vlastnost : jakékoli spojité zobrazení na kompaktní Hausdorffův prostor lze jednoznačně rozšířit na spojité zobrazení tak, že následující diagram je komutativní : $X,$ $f:X\to K$ $K$ $\beta f:\beta X\to K,$

V případě, že původní prostor byl zcela pravidelný, je mapování homeomorfismem do obrazu tohoto mapování (tedy vložením ). $X$ $X\to \beta X$ $X$

Poznámka

I když univerzální vlastnost jednoznačně definuje zhutnění až do izomorfismu , k prokázání existence zhutnění je třeba popsat explicitní konstrukci.

Konstrukce

Označme množinou všech spojitých funkcí . Lze ověřit, že zobrazení ( Tichonovova kostka ) je definováno rovností $A$ $\alpha \colon X\to [0,1]$ $F:X\to [0,1]^{A}$

{\displaystyle x\mapsto (\alpha (x))_{\alpha \in A))

je homeomorfismus na svůj obraz . Uzavření a bude požadovaným zhutněním. $X$ $F(X)\subset [0,1]^{A}$ $F(X)$ $[0,1]^{A}$

Vlastnosti

Je-li diskrétní prostor , je jeho kompaktifikace množinou ultrafiltrů na mřížce podmnožin vybavených kamennou topologií . Jako základ otevřených sad topologie Stone na sadě ultrafiltrů můžeme vzít sady pro všechny možné $X$ $X,$ $G$ $D_{a}=\{U\in G|a\in U\}$ $a\in P(X).$

Poznámky

↑ Tychonoff, A. (1930), Über die topologische Erweiterung von Räumen, - Mathematische Annalen (Springer Berlin / Heidelberg) 102: 544-561
↑ Stone, MH (1937), Aplikace teorie booleovských kruhů na obecnou topologii, - Trans. amer. soc. (Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 41, No. 3) 41 (3): 375-481
↑ Čech, E. (1937), O bikompaktních prostorech, - Ann. Matematika. (The Annals of Mathematics, Vol. 38, No. 4) 38 (4): 823-844

Literatura

Stone-Cech bicompact extension - článek Encyklopedie matematiky . Koževniková I.G.
Dror Bar-Natan , Ultrafiltry, Kompaktnost a zhutňování Stone-Čech