Diskrétní prostor

Diskrétní prostor v obecné topologii a příbuzných oblastech matematiky je prostor, ve kterém jsou všechny body v určitém smyslu od sebe navzájem izolované.

Definice

Dovolit být nějaká množina a být rodinou všech jejích podmnožin . Pak je na této množině topologie , nazývaná diskrétní topologie, a dvojice se nazývá diskrétní topologický prostor . $X$ $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$ $(X,{\mathcal {T))$
Dovolit být metrický prostor , kde je metrika definována takto: $(X,\rho )$ $\rho$

\rho (x,y)={\begin{cases}1,&x\neq y,\\0,&x=y,\end{cases}}\quad x,y\in X.

Potom se nazývá diskrétní metrika a celý prostor se nazývá diskrétní metrický prostor . $\rho$

Poznámka

Topologie indukovaná diskrétní metrikou je diskrétní. Opak je nepravdivý. Metrika, která není diskrétní, může generovat diskrétní topologii.

Příklady

Nechat kde , a být diskrétní metrikou na . Pak je diskrétní metrika a následně topologický prostor. $X=\{1,\ldots ,n\},$ $n\in \mathbb {N}$ $\rho$ $X$ $(X,\rho)$
Nechť je tato metrika nediskrétní, ale generuje diskrétní topologii . $X=\left\{{\frac {1}{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ $\rho (x,y)=|xy|.$

Vlastnosti

Topologický prostor je diskrétní právě tehdy, když je otevřena každá jeho jednobodová podmnožina .
Všechny jednobodové podmnožiny diskrétního topologického prostoru tvoří základ diskrétní topologie.
Diskrétní topologický prostor je kompaktní právě tehdy, když je konečný .
Diskrétní metrický prostor je ohraničený .
Jakékoli dva jednotlivé topologické prostory, které mají stejnou mohutnost , jsou homeomorfní .
Jakákoli funkce definovaná na diskrétním topologickém prostoru je spojitá .
Jednotlivá podmnožina euklidovského prostoru je nanejvýš spočetná . Opak obecně neplatí.

Viz také

Triviální topologie .