Triviální topologie
Triviální topologie v obecné topologii je topologie skládající se pouze z celého prostoru a prázdné množiny . Je však logičtější nazývat tuto topologii antidiskrétní, protože jak diskrétní , tak antidiskrétní topologie jsou v obecném jazykovém smyslu slova poněkud triviální.
Definice
Nechť je libovolná množina . Rodina podmnožin kde označuje prázdnou množinu je topologie . Tato topologie se nazývá triviální, antidiskrétní nebo lepkavá topologie bodů . Dvojice se nazývá triviální (jinak: antidiskrétní) topologický prostor .
![{\mathcal {T}}=\{X,\varnothing \},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b28230c9b48b2f1d6d74ec6beb212f48ed8ecc8d)
![\varno nic](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00595c5e33692e724937fdcc8870496acce1ac74)
![(X, {\mathcal {T}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9c13b1b3f77e42aa49a7717f370f5130ede25e)
Poznámka
Pokud množina obsahuje více než jeden bod, pak jsou všechny topologicky nerozlišitelné, protože jsou obsaženy v jediném sousedství .
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
Vlastnosti
- Jediné uzavřené množiny v antidiskrétním topologickém prostoru jsou a
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![{\displaystyle \varnothing .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a03ccd230ba31b26d48893930e4da31eaefeb05)
- Antidiskrétní topologie má jedinečný základ :
![{\mathcal {B}}=\{X\}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac4b74a158e3c32dd4f7c2d775311fca5cdb5caf)
- Antidiskrétní topologický prostor nevyhovuje většině separačních axiomů . Zejména to není Hausdorff , a proto není měřitelný . Antidiskrétní topologický prostor však splňuje axiomy T 3 , T 31 , T 4 díky absenci těch objektů, u kterých je nutné kontrolovat podmínky axiomů. Proto jsou definice regulárních, zcela regulárních a normálních topologických prostorů podřízeny požadavku splnit ještě jeden axiom separability: axiom T 1 .
- Antidiskrétní topologický prostor je kompaktní a parakompaktní .
- Libovolná posloupnost bodů z konverguje k libovolnému bodu ze stejného prostoru. Zejména antidiskrétní topologický prostor je postupně kompaktní .
- Vnitřek libovolné vlastní podmnožiny je prázdný.
![A\subsetneq X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96af9c53e14b29836580bf5b582f6222cc6f90c8)
- Uzavření libovolné neprázdné podmnožiny se shoduje s . Zejména jakákoli podmnožina antidiskrétního topologického prostoru je všude hustá
![A\podmnožina X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/826569be03f873b81cdc6f12637ef5520c369d21)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![X.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba76c5a460c4a0bb1639a193bc1830f0a773e03)
- Dva antidiskrétní topologické prostory jsou homeomorfní právě tehdy, když mají stejnou mohutnost .
Viz také