Triviální topologie

Triviální topologie v obecné topologii je topologie skládající se pouze z celého prostoru a prázdné množiny . Je však logičtější nazývat tuto topologii antidiskrétní, protože jak diskrétní , tak antidiskrétní topologie jsou v obecném jazykovém smyslu slova poněkud triviální.

Definice

Nechť je libovolná množina . Rodina podmnožin kde označuje prázdnou množinu je topologie . Tato topologie se nazývá triviální, antidiskrétní nebo lepkavá topologie bodů . Dvojice se nazývá triviální (jinak: antidiskrétní) topologický prostor . $X$ ${\mathcal {T}}=\{X,\varnothing \},$ $\varno nic$ $(X, {\mathcal {T}})$

Poznámka

Pokud množina obsahuje více než jeden bod, pak jsou všechny topologicky nerozlišitelné, protože jsou obsaženy v jediném sousedství . $X$

Vlastnosti

Jediné uzavřené množiny v antidiskrétním topologickém prostoru jsou a $X$ $\varnothing .$
Antidiskrétní topologie má jedinečný základ : ${\mathcal {B}}=\{X\}.$
Antidiskrétní topologický prostor nevyhovuje většině separačních axiomů . Zejména to není Hausdorff , a proto není měřitelný . Antidiskrétní topologický prostor však splňuje axiomy T 3 , T 31 , T 4 díky absenci těch objektů, u kterých je nutné kontrolovat podmínky axiomů. Proto jsou definice regulárních, zcela regulárních a normálních topologických prostorů podřízeny požadavku splnit ještě jeden axiom separability: axiom T 1 .
Antidiskrétní topologický prostor je kompaktní a parakompaktní .
Libovolná posloupnost bodů z konverguje k libovolnému bodu ze stejného prostoru. Zejména antidiskrétní topologický prostor je postupně kompaktní . $X$
Vnitřek libovolné vlastní podmnožiny je prázdný. $A\subsetneq X$
Uzavření libovolné neprázdné podmnožiny se shoduje s . Zejména jakákoli podmnožina antidiskrétního topologického prostoru je všude hustá $A\podmnožina X$ $X$ $X.$
Dva antidiskrétní topologické prostory jsou homeomorfní právě tehdy, když mají stejnou mohutnost .

Viz také

Diskrétní topologie .