Glosář obecné topologie

Tento glosář poskytuje definice hlavních termínů používaných v obecné topologii . Odkazy ve slovníku jsou uvedeny kurzívou .

# A B C D E F F G I K L M N O P R S T U V W Y Z _ _ _ _ _ _

A

Antidiskrétní topologie Topologie na prostoru, ve které jsou otevřené pouze dvě množiny: samotný prostora prázdná množina.

X

X

B

Základ topologie Množina otevřených množin taková, že každá otevřená množina je sjednocením množin v základu.

V

Topologická prostorová váha Minimální kapacita všech základen v prostoru . Opravdu kompletní prostor Prostor homeomorfní k uzavřenému podprostoru nějaké síly reálné čáry. Interiér Sada všech vnitřních bodů soupravy . Největší zahrnutím otevřená podmnožina dané množiny. Vnitřní bod sady Bod, který je součástí dané množiny spolu s některým jejím okolím . Napsané pokrytí Obálka je vepsána do obalu , pokud je každá sada obsažena v jakékoli sadě

A

B

A

B

Úplně odpojený prostor Prostor, ke kterému není připojena žádná podmnožina obsahující více než jeden bod . Všude hustá sada Sestava, jejíž uzávěr se kryje s celým prostorem. vydlabaná čtvrť Okolí daného bodu, ze kterého byl samotný tento bod odstraněn.

G

Homeomorfismus Bijekce taková, že a jsou spojité .

F

F

f^{-1}

Homeomorfní prostory Prostory mezi kterými existuje homeomorfismus . Homotopie Pro spojité mapování , spojité mapování , takové, že pro jakékoli . Často se používá zejména notace .

f\dvojtečka X\to Y

F\colon[0,\;1]\krát X\to Y

F(0,\;x)=f(x)

x\in X

f_t(x)=F(t,\;x)

f_0=f

Homotopická zobrazení Zobrazení se nazývají homotopická nebo pokud existuje homotopie taková, že a .

f,\;g\dvojtečka X\až Y

g\sim f

f_t

f_0=f

f_1=g

Homotopická ekvivalence topologických prostorů Topologické prostory a jsou homotopicky ekvivalentní, pokud existuje dvojice spojitých zobrazení a taková, že a , zde označuje homotopickou ekvivalenci zobrazení , tedy ekvivalenci až homotopii . Také se říká, že a mají stejný typ homotopie .

X

Y

f\dvojtečka X\to Y

g\dvojtečka Y\to X

f\circ g\sim \mathrm{id}_Y

g\circ f\sim \mathrm{id}_X

\sim

X

Y

Homotopický invariant Charakteristika prostoru, který je zachován při homotopické ekvivalenci topologických prostorů . To znamená, že pokud jsou dva prostory homotopicky ekvivalentní, pak mají stejnou charakteristiku. Například spojení , základní grupa , Eulerova charakteristika jsou homotopické invarianty. Homotopický typ Třída homotopické ekvivalence topologických prostorů , tj. homotopické ekvivalentní prostory, se nazývají prostory stejného typu homotopie. Hranice 1. Relativní hranice . 2. Stejné jako okraj rozdělovače .

D

prostor dveří Prostor, ve kterém je každá podmnožina buď otevřená, nebo uzavřená. Dvojtečka Topologický prostor sestávající ze dvou bodů; Existují tři možnosti pro určení topologie - diskrétní topologie tvoří jednoduchou dvojtečku , antidiskrétní tvoří lepkavou dvojtečku a topologie s otevřenou sadou jednoho bodu tvoří spojenou dvojtečku . Zatažení deformace Podmnožina topologického prostoru , která má tu vlastnost, že existuje homotopie identitního mapování prostoru do nějakého mapování , pod kterým zůstávají všechny body množiny fixní .

A

X

\mathrm{id}_X

X\do A

A

Diskrétní topologie Topologie , ve které je otevřená každá množina. diskrétní sada Sada, jejíž každý bod je izolovaný .

W

uzavřená sada Sada, která je doplňkem otevřené . Uzavřený displej Mapování, pod kterým je uzavřen obraz libovolné uzavřené množiny . uzavření Nejmenší uzavřená množina obsahující dané.

A

Indukovaná topologie Topologie na podmnožině topologického prostoru, ve které jsou otevřené množiny považovány za průniky otevřených množin okolního prostoru s .

A

A

Izolovaná nastavená hodnota Bod se nazývá izolovaný pro množinu topologického prostoru , pokud existuje okolí takové, že .

A

A

X

O(a)

A\cap O(a) = a

K

Kardinální invariant Topologický invariant , vyjádřený jako kardinální číslo . kategorie Baer Charakteristika topologického prostoru, která nabývá jedné ze dvou hodnot; první kategorie Baire zahrnuje prostory, které připouštějí spočetné pokrytí nikde hustými podmnožinami, ostatní prostory patří do druhé kategorie Baire. Zhutňování Kompaktifikace prostoru je dvojice , kde je kompaktní prostor, je homeomorfním vnořením prostoru do prostoru a je všude hustý. Také prostor samotný se nazývá kompaktifikace .

X

(Y,f)

Y

F

X

Y

f(X)

Y

Y

Kompaktní displej Mapování topologických prostorů tak, že inverzní obraz každého bodu je kompaktní . kompaktní prostor Topologický prostor, ve kterém jakýkoli kryt otevřenými množinami obsahuje konečný dílčí kryt . Komponenta bodové konektivity Maximální připojená sada obsahující tento bod. Kontinuum Propojený kompaktní Hausdorffův topologický prostor. Kužel nad topologickým prostorem Pro prostor (nazývaný základna kužele ), prostor získaný ze součinu stažením podprostoru do jediného bodu, nazývaného vrchol kužele .

X

\mathrm{C}X

X\times[0,\;1]

X\times\{0\}

L

Lindelof prostoru Topologický prostor, ve kterém jakýkoli kryt otevřenými množinami obsahuje počitatelné podpokrytí. prostor spojený s cestou Prostor, ve kterém může být libovolná dvojice bodů spojena křivkou. Lokálně kompaktní prostor Prostor, ve kterém má každý bod kompaktní sousedství . Lokálně konečná rodina podmnožin Rodina podmnožin topologického prostoru tak, že každý bod v tomto prostoru má okolí, které protíná pouze konečný počet prvků této rodiny. Lokálně propojený prostor Prostor, ve kterém má jakýkoli bod propojené okolí . Lokálně stahovatelný prostor Prostor, ve kterém má každý bod kontrahovatelné okolí . Lokální homeomorfismus Mapování topologických prostorů, takže pro každý bod existuje okolí , které je namapováno homeomorfním způsobem. Někdy je požadavek automaticky zahrnut do definice lokálního homeomorfismu a navíc se předpokládá, že mapování je otevřené.

f\dvojtečka X\to Y

x\in X

U_x

F

Y

f(X)=Y

F

M

masivní sada Podmnožina topologického prostoru , který je průsečíkem spočetného počtu otevřených hustých podmnožin . Pokud je každá masivní množina hustá , pak je to Baireův prostor .

S

X

X

X

X

Prostor měřitelný plnou metrikou Prostor homeomorfní ke kompletnímu metrickému prostoru . Metrifikovatelný prostor Prostor homeomorfní k metrickému prostoru . Rozdělovač Hausdorffův topologický prostor lokálně homeomorfní k euklidovskému prostoru . Vícenásobně propojená oblast Oblast prostoru propojeného cestou, jejíž základní skupina není triviální. Sada druhé kategorie Baer Jakýkoli soubor, který není souborem první kategorie Baer . Soubor první kategorie Baer Množina, kterou lze reprezentovat jako počitatelné spojení nikde hustých množin. Sada typu

F_\sigma

Množina reprezentovatelná jako počitatelné sjednocení uzavřených množin. Sada typu

G_\delta

Množina reprezentovatelná jako spočetný průnik otevřených množin.

H

krytina Mapování prostorů spojených s cestou , pod kterými má jakýkoli bod okolí , pro které existuje homeomorfismus , kde je diskrétní prostor , pro který za podmínky , označuje přirozenou projekci, pak .

p:X\to Y

y\v Y

U\podmnožina Y

h:p^{-1}(U)\to U\times \Gamma

\Gamma

\pi:U\times \Gamma\to U

p|_{p^{-1}(U)}=\pi\circ h

dědičný majetek Vlastnost topologického prostoru taková, že pokud má prostor tuto vlastnost, pak má tuto vlastnost jakýkoli z jeho podprostorů. Například: metrizovatelnost a Hausdorffness . Jestliže nějaký podprostor prostoru má vlastnost , pak se říká, že má vlastnost dědičně . Například o topologickém prostoru se říká, že je dědičně normální, dědičně Lindelöfův, dědičně oddělitelný.

X

P

X

P

nepřetržité zobrazení Mapování, pod kterým je otevřený inverzní obraz libovolné otevřené množiny. Nikde hustá sada Sada, jejíž uzávěr neobsahuje otevřené sady (uzávěr má prázdný vnitřek). normální prostor Topologický prostor, ve kterém jsou jednobodové množiny uzavřené a kterékoli dvě uzavřené disjunktní množiny mají disjunktní sousedství .

Oh

Kraj Otevřená spojená podmnožina topologického prostoru . Jednoduše propojený prostor Souvislý prostor , jakékoli zobrazení kruhu, do kterého je homotopické až konstantní zobrazení. Sousedství Otevřené sousedství nebo soubor obsahující otevřené sousedství . otevřené sousedství Pro bod nebo množinu, otevřená množina obsahující daný bod nebo danou množinu. otevřená sada Množina, jejíž každý prvek je v ní zahrnut spolu s nějakým okolím, pojem používaný při definici topologického prostoru . otevřený displej Mapování , pod kterým je otevřený obrázek libovolné otevřené sady . Otevřená-zavřená sada Sada, která je otevřená i uzavřená . Otevřené-uzavřené mapování Mapování, které je otevřené i uzavřené . Relativní hranice Průnik uzavření podmnožiny topologického prostoru s uzavřením jeho doplňku. Hranice množiny se obvykle značí .

E

\částečné E

Relativní topologie Stejné jako indukovaná topologie . Relativně kompaktní sada Podmnožina topologického prostoru, jehož uzávěr je kompaktní. Takový soubor se také nazývá prekompaktní .

P

Dvojice prostorů Uspořádaný pár kde je topologický prostor a je podprostor (s topologií podprostoru ).

(X,A)

X

A

Parakompaktní prostor Topologický prostor, ve kterém lze libovolnému otevřenému krytu vepsat lokálně konečný otevřený kryt (tj. takový, že pro jakýkoli bod lze najít okolí , které se protíná s konečným počtem prvků tohoto krytu). Topologická hustota prostoru Minimální mohutnost všude hustých podmnožin prostoru. hustá sada Množina v topologickém prostoru , která má neprázdný průsečík s libovolným okolím libovolného bodu .

X

x\in X

V utajení Pro obálku je vedlejší obálka , kde if je sama obálka.

\{V_\alpha\}

\alpha\in A

\{V_\beta\}

\beta\v B\podmnožině A

\{V_\beta\}

podprostor Podmnožina topologického prostoru vybavená indukovanou topologií . Povlak Pro podmnožinu nebo prostor se jedná o její reprezentaci jako sjednocení množin , přesněji jde o množinu množin , takové, že . Nejčastěji se zvažují otevřené kryty, to znamená, že předpokládají, že všechny jsou otevřené sady.

X

\{V_\alpha\}

\alpha\in A

\{V_\alpha\}

\alpha\in A

X\subset\bigcup_{\alpha\in A}V_\alpha

\{V_\alpha\}

Český úplný prostor Prostor se nazývá Čech kompletní, pokud existuje kompaktifikace prostoru , takže jde o množinu typů v prostoru .

X

(Y,f)

X

f(X)

G_\delta

Y

Topologie objednávky Topologie na libovolné uspořádané množině , zavedená předbází množin tvaru a kde prochází všemi prvky .

\langle X, \sqsubseteq \rangle

\{x\in X\mid x \sqsubseteq a, x\neq a\}

\{x\in X\mid a \sqsubseteq x, x\neq a\}

A

X

předzákladna Rodina otevřených podmnožin topologického prostoru tak, že množina všech množin, které jsou průsečíkem konečného počtu prvků, tvoří základ .

Y

X

Y

X

limitní bod Pro podmnožinu topologického prostoru bod takový, že v kterémkoli jeho proraženém okolí c je alespoň jeden bod z .

A

X

a\in X

A

A

Odvozená sada Množina všech limitních bodů . Jednoduché dvojtečka Topologický prostor dvou bodů, ve kterém jsou obě jednobodové množiny otevřené. Přímá Aleksandrova Topologický prostor nad kartézským součinem dobře uspořádané množiny a skutečný půlinterval s topologií řádu v lexikografickém uspořádání je normální Hausdorffův nemetrizovatelný prostor, důležitý protipříklad v mnoha topologických úvahách.

A\times[0, 1)

Straight Suslin Hypotetická (její existence je nezávislá na ZFC ) úplná lineárně uspořádaná hustá množina, která má některé vlastnosti obyčejné čáry, ale není k ní izomorfní. Pseudoznak topologického prostoru Supremum pseudoznaků topologického prostoru ve všech bodech. Pseudoznak topologického prostoru v bodě Minimální mohutnost všech rodin sousedství bodu, které se protínají v jednom bodě.

R

pravidelný prostor Topologický prostor, ve kterém jsou jednobodové množiny uzavřené a pro jakoukoli uzavřenou množinu a bod v ní neobsažený existují jejich neprotínající se sousedství . Zatáhnout Zatažení topologického prostoru je podprostor tohoto prostoru, pro který existuje zatažení na .

X

A

X

A

odvolání Retrakce je souvislé mapování z topologického prostoru do podprostoru tohoto prostoru, identické s .

X

A

A

C

Připojené dvojtečka Topologický dvoubodový prostor, ve kterém je otevřena pouze jedna z jednobodových množin. propojený prostor Prostor, který nelze rozdělit na dvě neprázdné neprotínající se uzavřené množiny. oddělitelný prostor Topologický prostor, ve kterém je všude spočetná hustá množina . Síťová váha topologického prostoru Minimální kapacita všech sítí ve vesmíru. Síť Síť topologického prostoru je rodina podmnožin prostoru , takový to pro nějaký bod a některý jeho sousedství , tam existuje , takový to .

X

N

X

X

U

V\in N

x\in V\podmnožina U

Shlukovaný tlustý střevo Antidiskrétní topologický prostor dvou bodů. Topologický prostor šíření Supremum mohutností všech diskrétních podprostorů. smluvní prostor Prostor homotopicky ekvivalentní bodu. Součet topologických prostorů Součet rodiny topologických prostorů je disjunktní spojení těchto topologických prostorů jako souborů s topologií sestávající ze všech souborů formy , kde je každý otevřený v . Určeno .

\{A_s\}_{s\in S}

\coprod_{s\in S}A_s

\coprod_{s\in S}U_s

Nás

Tak jako

\bigoplus_{s\in S}A_s

T

Těsnost topologického prostoru Supremum těsnosti topologického prostoru ve všech bodech. Topologická prostorová těsnost v bodě Těsnost topologického prostoru v bodě je nejmenší kardinál , pro kterého jestliže , pak existuje nanejvýš mohutnost , taková, že .

X

X

\alpha

x\in \bar{A}

B\podmnožina A

\alpha

x\in\bar{B}

Tichonovův prostor Topologický prostor, ve kterém jsou jednobodové množiny uzavřené a pro jakýkoli bod a jakoukoli uzavřenou množinu , která neobsahuje bod , existuje spojitá reálná funkce, která je stejná na množině a v bodě .

X

F

X

0

F

jeden

X

Topologický invariant Charakteristika prostoru, který je zachován pod homeomorfismem . To znamená, že pokud jsou dva prostory homeomorfní, pak mají stejnou invariantní charakteristiku. Topologické invarianty jsou například: kompaktnost , propojenost , základní grupa , Eulerova charakteristika . Topologicky injektivní mapování Spojitá mapa realizující homeomorfismus mezi doménou definice a jejím úplným obrazem. Topologický prostor Množina s danou topologií , to znamená, že je určeno, které z jejích podmnožin jsou otevřené . Topologie Rodina podmnožin množiny , která obsahuje libovolné sjednocení a konečný průnik jejích prvků, stejně jako prázdnou množinu a sebe . Prvky rodiny se nazývají otevřené množiny . Topologii lze také zavést prostřednictvím základny jako rodiny sestávající ze všech libovolných sjednocení prvků základny.

X

X

Topologie kompaktní konvergence Topologie daná na množině spojitých reálných funkcí, definovaných rodinou prenorm , se nazývá topologie kompaktní konvergence.

p_n(x)=\sup_{-n\leqslant t\leqslant n}|x(t)|,\;n\in\N

Topologie bodové konvergence Topologie definovaná na množině spojitých funkcí z topologického prostoru do topologického prostoru , jehož základem jsou všechny množiny tvaru kde - body z - otevřené množiny z , se nazývá topologie bodové konvergence. Množina s takovou topologií je označena .

C(X,Y)

X

Y

\{f: f(x_1) \v U_1, f(x_2) \v U_2, \tečky, f(x_n) \v U_n\},

x_1 , x_2,\tečky x_n

X, U_1, U_2,\tečky U_n

Y

C(X,Y)

C_p(X,Y)

Topologie jednotné konvergence Nechť je definována norma na vektorovém prostoru spojitých funkcí na kompaktním topologickém prostoru . Topologie generovaná takovou metrikou se nazývá topologie jednotné konvergence.

L(K)

F

K

\|f\|=\sup_{x\in K}|f(x)|

Scottova topologie Topologie nad kompletní částečně uspořádanou množinou , ve které jsou horní množiny považovány za otevřené, které jsou nepřístupné přímým spojením. Bod akumulace Stejný jako limitní bod . Úplný akumulační bod Pro množinu bod v topologickém prostoru takový , že průsečík s jakýmkoli okolím má stejnou mohutnost jako celá množina .

M

x\v M

X

M

X

M

dotykový bod Pro množinu , bod, jehož každé okolí obsahuje alespoň jeden bod z . Sada všech dotykových bodů se shoduje s uzávěrem .

M

M

\overline{M}

Triviální topologie Stejné jako antidiskrétní topologie

Wu

Univerzální homeomorfismus Těsnění Spojitá bijekce .

F

Faktorový prostor Topologický prostor na množině tříd ekvivalence: Pro topologický prostor a relaci ekvivalence se topologie na kvocientové množině zavádí definicí otevřených množin jako rodiny všech množin, jejichž inverzní obraz je v kvocientovém zobrazení otevřený (asociuje prvek s jeho třída ekvivalence ).

X

\sim

X/\!\sim

X

x\in X

[x]_{\sim} = \{y\in X\mid x\sim y\}

Základní sousedský systém Základní systém sousedství bodu je rodina sousedství bodu , takový to pro nějaké sousedství bodu tam existuje , takový to .

X

B

X

U

X

V\in B

V\podmnožina U

X

Charakter topologického prostoru Supremum znaků topologického prostoru ve všech bodech. Charakter topologického prostoru v bodě Minimální mohutnost všech základních systémů sousedství tohoto bodu. Hausdorffův prostor Topologický prostor, ve kterém jakékoli dva odlišné body mají neprotínající se sousedství .

C

Válec nad topologickým prostorem Pro prostor , prostor konstruovaný jako produkt .

X

{\mathrm Z}X

X\times[0,\;1]

zobrazovací válec Pro mapování , kvocientový prostor vytvořený ze součtu a identifikací bodu s bodem pro všechny .

f:X\to Y

{\mathrm Z}_{f}

X\times[0,\;1]

Y

(x,1)\in X\krát [0,\;1]

f(x)\v Y

x\in X

H

Lindelöfovo číslo topologického prostoru Nejmenší kardinál je takový, že z libovolného otevřeného krytu lze extrahovat podkryt, s mohutností nejvýše .

\alpha

\alpha

Suslinovo číslo topologického prostoru Supremum mohutnosti rodin neprotínajících se neprázdných otevřených množin.

E

Rozsah topologického prostoru Supremum mohutností všech uzavřených diskrétních podmnožin.

Literatura

Bourbaki, N. Základy matematiky. Obecná topologie. Základní struktury. — M .: Nauka, 1968.
Aleksandrov, PS Úvod do teorie množin a obecné topologie. — M .: GIITL, 1948.
Kelly, J. L. Obecná topologie. — M .: Nauka, 1968.
Viro, O. Ya., Ivanov, O. A., Kharlamov, V. M., Netsvetaev, N. Yu. Problémová učebnice topologie .
Engelking, R. Obecná topologie. — M .: Mir , 1986. — 752 s.