Systém Zermelo-Frenkel

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 2. června 2021; kontroly vyžadují 5 úprav .

Systém axiomů Zermelo-Fraenkel ( ZF ) je nejrozšířenější verzí axiomatické teorie množin , která je de facto standardem pro základy matematiky . Formuloval Ernst Zermelo v roce 1908 jako prostředek k překonání paradoxů teorie množin a zdokonalil Abraham Frenkel v roce 1921 .

K tomuto systému axiomů se často přidává axiom výběru a nazývá se Zermelo-Fraenkelova teorie množin s axiomem volby ( ZFC , anglicky Zermelo-Fraenkelova teorie množin s axiomem volby ).

Tento systém axiomů je napsán v jazyce logiky prvního řádu . Existují i jiné systémy; například von Neumann-Bernays-Gödelův (NBG) systém axiomů zvažuje takzvané třídy objektů spolu s množinami a je ekvivalentní ZF v tom smyslu, že jakýkoli množinový teorém (tedy nemluvě o třídách), který je prokazatelný v jednom systému, je prokazatelný i v druhém.

ZFC axiomy

Axiomy ZFC jsou následující posloupnost tvrzení teorie množin :

$\forall A_{1}\forall A_{2}\ (\forall b\ (b\v A_{1}\Leftrightarrow b\in A_{2})\Rightarrow A_{1}=A_{2} )$ podmínka rovnosti množin ( axiom objemnosti ).
${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ \exists C\ \forall b\ {\bigl (}b\v C\Leftrightarrow (b=a_{1}\ \lor \ b=a_{ 2}){\bigr )))$ existence množiny sestávající ze dvou prvků. $C=\{a_{1},a_{2}\}$
${\displaystyle \forall A\ \exists D\ \forall c\ {\bigl (}c\in D\Leftrightarrow \exists a\ (a\in A\ \land \ c\in a){\bigr )))$ existence spojení prvků množiny. $D=\cup a_{i},A=\{a_{i}\}$
$\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ existence množiny podmnožin množiny. $d={\mathcal {P}}(a)$
${\displaystyle \forall A\ \exists C\ \forall b\ {\bigl (}b\in C\Leftrightarrow b\in A\ \land \ \Phi [b]{\bigr )))$ existence podmnožiny, jejíž prvky splňují danou vlastnost. $C=\{b:b\in A,\Phi [b]\}$
$\exists A\colon {\bigl (}\varnothing \in A\ \land \ \forall b\ (b\in A\Rightarrow b\cup \{b\}\in A){\bigr )}$ existence nekonečné množiny. ${\displaystyle A=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},...\))$
${\displaystyle \forall x\ \exists !y\ \phi [x,y]\Rightarrow \forall A\ \exists D\ \forall c\ {\bigl (}c\in D\Leftright \exists b\ (b \in A\ \land \ \phi [b,c]){\bigr )))$ existence funkčního obrazu. $D=\phi (A)$
$\forall A\ {\Bigl (}A\neq \varnothing \ \land \ \forall b\ (b\in A\Rightarrow b\neq \varnothing )\ \land \ \forall b_{1}\forall b_{2}\ (b_{1}\neq b_{2}\ \land \ \{b_{1},b_{2}\}\subseteq A\Rightarrow b_{1}\cap b_{2}=\ varnothing)$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists D\forall b\ {\bigl (}b\in A\to \exists c\ (b\cap D=\{c\}){\bigr )}{\Bigr )))$ pro jakoukoli třídu neprotínajících se neprázdných množin existuje množina obsahující jeden prvek z každé množiny ( axiom výběru ). Nepřesně: ${\displaystyle D=\{c_{i}:c_{i}\in b_{i},i\in I\},A=\{b_{i}:i\in I\))$
${\displaystyle \forall A\ {\Bigl (}A\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ {\bigl (}b\in A\ \land \ \forall c\ (c\in b\Rightarrow c\notin A){\bigr )}{\Bigr )))$ Každá neprázdná třída obsahuje množinu , jejíž všechny prvky nejsou prvky třídy ( axiom pravidelnosti ). Nepřesně: $A$ $b$ $A$ $\exists b\in A:b\cap A=\varnothing$

Výčet je uveden podle knihy Frenkel A. A., Bar-Hillel I. „Fundamentals of Set Theory“.

Můžete zavést axiom číslo 0 o existenci prázdné množiny , ale není to nic jiného než zápis. Důležitá je pouze jednoznačnost prázdné množiny, která je odvozena z axiomů 1-5. Množinu {a} je třeba chápat jako dvojici {a, a}. $\exists A\colon \forall b\ (b\notin A)$

Diskutovaný článek obsahuje 10 tvrzení (včetně axiomu prázdné množiny), které lze seskupit následovně.

Vysvětlení axiomů ZFC

Axiomy ZFC zahrnují:

0) skupina výroků o rovnosti množin (axiom 1),

1) skupina tvrzení o existenci množin (axiomy 0, 6),

2) skupina tvrzení o tvorbě množin z již existujících množin (axiomy 2, 3, 4 a schémata 5, 7), ve kterých lze rozlišit tři podskupiny,

3) skupina výroků o řazení vytvořených množin (axiomy 8, 9).

0. Kritéria pro rovnost množin v ZFC

Následující tvrzení vyjadřuje postačující podmínku pro identitu dvou množin.

Axiom extenzionality ( Axiom objemu )

\forall A_{1}\forall A_{2}\ (\forall b\ (b\v A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2})\to A_{1}=A_{2} )

Poznámka

„Axiom štíhlosti“ lze říci takto: „Pokud každý prvek první sady patří do druhé sady a každý prvek druhé sady patří do první sady, pak jsou obě sady totožné.

Nezbytná podmínka pro identitu dvou množin má tvar a je odvozena z predikátových axiomů , a to: $\forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\to \forall b\ (b\v A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2}) )$ $=$

\forall a\ (a=a)

\forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\to (\varphi [A_{1}]\to \varphi [A_{2}]))

, kde je nějaký matematicky správný soud o , a je stejný soud, ale o .

\varphi [a_{1}]

a_{1}

\varphi [a_{2}]

a_{2}

Kombinace zadané nutné podmínky [identita množin] s axiomem trojrozměrnosti dává následující kritérium pro rovnost množin :

\forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\leftrightarrow \forall b\ (b\v A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2}) \ )

1. ZFC axiomy o existenci množin

„Axiom objemu“ by byl zbytečným návrhem, kdyby neexistovala žádná množina nebo pouze jedna množina.

Následující dvě tvrzení zaručují existenci alespoň dvou různých množin, a to: a) množiny, v níž není nic, a b) množiny obsahující nekonečné množství prvků.

1.0 Prázdný axiom množiny

\exists A\forall b\ (b\notin A)

Poznámka

"Axiom [existence] prázdné množiny" může být vyjádřen takto: "Existuje [alespoň jedna] množina bez jediného prvku."

Je dokázáno, že „axiom prázdné množiny“ je ekvivalentní výroku . Proto lze pojmenovat jednu sadu . Existují dva běžné názvy: a . Pomocí těchto názvů je „axiom prázdné množiny“ zapsán následovně: $\exists !A\forall b\ (b\notin A)$ $A$ $\varno nic$ $\{\}$

\forall b\ (b\notin \varnothing )

\forall b\ (b\notin \{\})

1.1 Axiom nekonečna

\exists A\ (\varnothing \in A\ \land \ \forall b\ (b\in A\to b\cup \{b\}\in A)\ )

, kde

b\cup \{b\}=\{c\colon c\in b\ \lor \ c=b\}

Poznámka

"Axiom nekonečna" lze říci takto: "Existuje [alespoň jedna] ' nekonečná množina ', která se skládá z ." $\varnothing ,\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \},\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \}\cup \{\varnothing \cup \{\varnothing \}\},\ \ ldots$

Tvrzení o existenci nekonečné množiny se liší od (v této axiomatice nepravdivé) tvrzení o existenci " množiny všech množin " ( ). $\exists A\forall b\ (b\in A)$

2. ZFC axiomy o tvoření množin

Následujících pět tvrzení můžeme nazvat axiomy tvorby množin [z existujících množin, včetně alespoň jedné ]. $\varno nic$ $\infty$

Každý z těchto pěti výroků je postaven na základě výroku , který je odvozen z axiomů predikátu . $\forall A\exists b\ (b=\varphi [A])$ $=$

Těchto pět tvrzení lze seskupit do následujících podskupin:

2.0) skupina postulátů o vytváření množin výčtem jejich prvků,

2.1) soubor prohlášení o zřízení a zrušení rodin souprav,

2.2) skupina schémat pro tvorbu množin pomocí matematicky správných úsudků.

2,0. Postulát tvorby množin výčtem jejich prvků: Axiom páru

Nejjednodušší způsob, jak vytvořit novou sadu [z již existujících sad], je „strčit prst“ do každé sady, která by se měla stát prvkem [vytvářející se sady]. V ZFC je tento způsob tvoření množin reprezentován jedním axiomem, ve kterém je „ukazování prstem“ modelováno pomocí predikátu . $=$

2.0 Párový axiom

\forall a_{1}\forall a_{2}\existuje c\forall b\ (b\v c\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})

, co je

\forall a_{1}\forall a_{2}\existuje c\ (c=\{b\dvojtečka b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2}\})

Poznámka

"Axiom [neuspořádané] dvojice" lze formulovat takto: "Z libovolných dvou množin lze vytvořit" neuspořádanou dvojici ", tedy takovou množinu , jejíž každý prvek je shodný s danou množinou resp . danou sadu ." $C$ $b$ $a_{1}$ $a_{2}$

Příklady

1.\ a_{1}=0\ \land \ a_{2}=1\Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=0\ \lor \ b=1)

2.\ a_{1}=\varnothing \ \land \ a_{2}=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=\varnothing \ \ lor \ b=\{\varnothing \}\ )

Je dokázáno, že „párový axiom“ je ekvivalentní tvrzení . Proto lze jedné množině přiřadit název . Pomocí křestního jména je „párový axiom“ zapsán takto: $\forall a_{1}\forall a_{2}\existuje !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})$ $C$ $\{a_{1},a_{2}\}$

\forall a_{1}\forall a_{2}\forall b\ (b\in \{a_{1},a_{2}\}\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b= a_{2})

nebo

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\{a_{1},a_{2}\}=\{b\colon b=a_{1}\ \lor \ b=a_{ 2}\})

2.1. Prohlášení o zakládání a rušení rodin množin

Další dva axiomy, nazývané „axiom množiny“ a „axiom unie“, lze považovat za přirozený doplněk „axiomu páru“. Abychom to ověřili, poznamenáváme následující.

Je známo, že každá množina má podmnožiny včetně [kopie prázdné množiny] a [kopie samotné množiny] . Jinými slovy, $z$ $\varno nic$ $z$

\forall z\exists x\exists y\ (x\subseteq z\ \land \ y\subseteq z)\quad \land \quad \forall z\ (\varnothing \subseteq z\ \land \ z\subseteq z)

Podle „párového axiomu“ lze z pojmenovaných podmnožin vytvořit neuspořádaný pár . Říkejme této dvojici rodina . ${\displaystyle \{\varnothing ,z\))$ $Fam_{2}(z)$

Pokud je možné sestavit rodinu ze dvou podmnožin množiny , pak je možné deklarovat vytvoření rodiny ze všech podmnožin množiny . $Fam_{2}(z)$ $z$ $Fam_{a}(z)$ $z$

Pro deklaraci vytvoření rodiny stačí vyžadovat, aby každý prvek pojmenované rodiny byl podmnožinou množiny a každá podmnožina pojmenované množiny byla prvkem rodiny . Jinými slovy,

Fam_{a}(z)

b

z

b

Fam_{a}(z)

\forall b\ (b\in Fam_{a}(z)\to b\subseteq z)\ \land \ \forall b\ (b\subseteq z\to b\in Fam_{a}(z) \ )

, což je stejné jako nabídka

\forall b\ (b\in Fam_{a}(z)\leftrightarrow b\subseteq z)

, což znamená nabídku

\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq z)

, což je zvláštní případ výroku

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

Pokud lze prohlásit založení rodiny , pak lze prohlásit zrušení jmenované rodiny. $Fam_{a}(z)$

Lze si představit různé způsoby zrušení rodiny , včetně:

Fam_{a}(z)

1) jeho úplné zrušení (zničení), tedy , což je ekvivalentní

Del(Fam_{a}(z))=\varnothing

\forall c\ (c\in Del(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in \varnothing )

, 2) jeho fiktivní zrušení (rezervace), tedy , což je ekvivalentní

Fic(Fam_{a}(z))=Fam_{a}(z)

\forall c\ (c\in Fic(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in Fam_{a}(z))

, 3) jeho zpětné zrušení (rozpuštění), tedy , což je ekvivalentní

Rev(Fam_{a}(z))=z

\forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in z)

. Protože

c\in z\Leftrightarrow \{c\}\in Fam_{a}(z)\Leftrightarrow \exists b\ (b=\{c\}\ \land \b\in Fam_{a}(z ))\Šipka doleva \existuje b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))

, pokud jde o návrh

\forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in z)

se rovná nabídce

\forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))\ )

, což znamená nabídku

\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))\ )

, což je zvláštní případ výroku

\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in a)\ )

Z výše uvedeného vyplývá, že prohlášení a mohou být podmíněně považovány za nezávislé. $\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ $\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in a)\ )$

2.1.0 Množina axiomu podmnožin (Booleovský axiom )

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

co je kde

\forall a\exists d\ (d=\{b\dvojtečka b\subseteq a\})

b\subseteq a\Leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)

Poznámka

„Axiom množiny podmnožin“ lze formulovat takto: „Z jakékoli množiny je možné vytvořit „superhromadu“, tedy množinu skládající se z (vlastních nebo nevlastních) podmnožin dané množiny . $A$ $d$ $b$ $A$

Příklady

1.\ a=\varnothing \Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing \})

, protože

\forall a\ (\varnothing \subseteq a\land a\subseteq a)

2.\ a=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{\varnothing \}\})\Leftrightarrow \ existuje d\forall b\ (b\v d\leftrightarrow b=\varnothing \ \lor \ b=\{\varnothing \})

3.\ a=\{1,2,3\}\Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{1\},\{2 \},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\})

4.\ a=\{a_{1},a_{2}\}\Šipka doprava \existuje d\forall b(b\v d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{a_{1} \},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\})

Je dokázáno, že "axiom množiny podmnožin" je ekvivalentní tvrzení . Proto lze jedné množině přiřadit jméno , které se vyslovuje: „množina všech podmnožin [množin] “ nebo „ Booleovský [množiny] “. Pomocí křestního jména se „axiom množiny podmnožin“ zapíše jako: $\forall a\exists !d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ $d$ ${\mathcal {P}}(a)$ $A$ $A$

\forall a\forall b\ (b\in {\mathcal {P}}(a)\leftrightarrow b\subseteq a)

nebo

\forall a\ ({\mathcal {P}}(a)=\{b\colon b\subseteq a\})

2.1.1 Axiom sjednocení

\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )

, co je

\forall a\exists d\ (d=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\})

Poznámka

Axiom sjednocení [množin] lze formulovat takto: „Z jakékoli rodiny množin lze vytvořit „hromadu-malou“, tedy takovou množinu , jejíž každý prvek patří alespoň do jedné množiny této rodiny. “. $d$ $C$ $b$ $A$

Příklady

1.\ a={\mathcal {P))(\varnothing )=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \varnothing )

2.\ a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\Rightarrow \exists d\forall c \ (c\in d\leftrightarrow c\in {\mathcal {P))(\varnothing )\ )\Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{\varnothing \})

{\begin{aligned}3.\ a=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}=\{\{0,1\},\{1,2\},\{ 3\}\}\Šipka doprava \existuje d\forall c\ (c\in d\šipka doleva doprava c\in \{0,1\}\nebo c\in \{1,2\}\nebo c\in \{ 3\})\\\ \Šipka doleva \existuje d\forall c\ (c\v d\šipka doleva c\v \{0,1,2,3\})\end{aligned}}

4.\ a=\{b,\{b\}\}\Šipka doprava \existuje d\forall c\ (c\v d\leftrightarrow c\in b\cup \{b\})\Leftrightarrow \ existuje d\forall c\ (c\in d\šipka doleva doprava c\in b\ \lor \ c=b)

5.\ a=(a_{1},a_{2})=\{\{a_{1}\},\{a_{1},a_{2}\}\}=\{\ {a_{1},a_{1}\},\{a_{1},a_{2}\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{a_ {1},a_{2}\})

6.\ a=\langle a_{1},a_{2}\rangle =\{a_{1},\{a_{1},a_{2}\}\}\Rightarrow \exists d\ forall c\ (c\v d\šipka doleva doprava c\v a_{1}\pohár \{a_{1},a_{2}\})

7.\ a={\mathcal {P}}(\{a_{1},a_{2}\})=\{\varnothing ,\{a_{1}\},\{a_{2 }\},\{a_{1},a_{2}\}\}\Šipka doprava \existuje d\forall c\ (c\v d\šipka doleva doprava c\v \{a_{1},a_{2}\ })

Je dokázáno, že sjednocovací axiom je ekvivalentní tvrzení . Proto lze jedné množině dát jméno , které se vyslovuje: „ spojení množin rodiny “. Pomocí křestního jména je sjednocovací axiom zapsán takto: $\forall a\exists !d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )$ $d$ $\cup \,a$ $A$

\forall a\forall c\ (c\in \cup a\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )

nebo .

\forall a\ (\cup a=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\}\ )

Spojení množin rodiny ( ) by nemělo být zaměňováno s průnikem množin rodiny ( ), které je známé: $A$ $\cup a$ $A$ $\cap a$

\forall a\forall c\ (c\in \cap a\leftrightarrow \forall b\ (b\in a\to c\in b)

, to je

\forall a\ (\cap a=\{c\colon \forall b\ (b\in a\to c\in b)\})

2.2. Schémata pro tvorbu množin pomocí matematicky správných úsudků

Mezi matematickými tvrzeními existují axiomy spojení, včetně:

a) axiom spojení mezi algebraickou operací (sčítat) a algebraickou operací (násobit) $+$ $\cdot$

\forall x\forall y\forall z\ (x\in \mathbb {R} \land \ y\in \mathbb {R} \land z\in \mathbb {R} \to (x+y) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z)

b) axiom vztahu mezi relací řádu (menší nebo rovno) a algebraickou operací (sčítat) $\leq$ $+$

\forall x\forall y\forall z\ (x\in \mathbb {R} \land y\in \mathbb {R} \land z\in \mathbb {R} \to (x\leq y\ až x+z\leq y+z))

Další dvě tvrzení, nazvaná „schéma extrakce“ a „schéma transformace“, jsou axiomy spojení mezi množinami (například množina ) a matematicky správnými výroky (například propozice ). $\{0,1\}$ $x\leq 0$

"Schéma výběru" a "schéma transformace" vyjadřují následující jednoduchou myšlenku: "Každý matematicky správný úsudek o prvcích jakékoli množiny vede k vytvoření [stejné nebo jiné] množiny."

Matematicky správné úsudky objevující se ve "výběrovém schématu" umožňují "přivést [do prezentace]" množiny, které jsou tvořeny například pomocí booleovského axiomu.

Matematicky správné úsudky objevující se v "transformačním schématu" umožňují vytvářet "[matematické] produkty" z ["hrubých"] množin vytvořených například pomocí booleovského axiomu.

2.2.0 Výběrové schéma

\forall a\exists c\forall b\ (b\v c\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )

, co je , kde je nějaký matematicky správný úsudek o , ale ne o množině a ne o množině .

\forall a\exists c\ (c=\{b\dvojtečka b\in a\ \land \ \Phi [b]\}\ )

\Phi [b]

b

A

C

Poznámka

Schéma výběru [podmnožin] lze formulovat následovně: „Z každé množiny lze vybrat [alespoň jednu] podmnožinu tím, že si uděláme úsudek o každém prvku této množiny . $C$ $\Phi$ $b$ $A$

Příklady

1.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x=x)\rightarrow \forall a\existuje c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b=b)

2.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\neq x)\Rightarrow \forall a\existuje c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\neq b )

3.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\in y)\rightarrow \forall a\existuje c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\in y )

4.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\notin y)\rightarrow \forall a\existuje c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\notin y )

5.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x<2)\ \land \ a=\mathbb {N} \Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \mathbb {N} \ \land \ b<2)\šipka doleva \existuje c\forall b\ (b\v c\šipka doleva b\v \{0,1\})

\begin{align} 6. \ (\Phi[x] \leftrightarrow \exist k \ (k \in \mathbb{N} \land x = 2k)) \land a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \mathbb{N} \land \exist k \ (k \in \mathbb{N} \land b = 2k)) \\ \ \Leftrightarrow \exist c \ forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \{0,2,4,6,\ldots\}) \end{align}

{\begin{aligned}7.\ (\Phi [x]\ \leftrightarrow \ \exists u\exists v\ (u\in U\ \land \ v\in V\ \land \ x=(u,v) \ )\ )\quad \land \quad a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(U\cup V))\\\ \Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in {\mathcal {P}} ({\mathcal {P}} (U\cup V))\ \land \ \exists u\exists v\ (u\in U\land v\in V \land b=(u,v)))\end{aligned}}

Je dokázáno, že výběrové schéma je ekvivalentní tvrzení . Proto lze jedné podmnožině přiřadit název . Pomocí zadaného názvu je schéma přidělování zapsáno takto: $\forall a\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )$ $C$ $\{x\dvojtečka x\in a\land \Phi [x]\}$

\forall a\forall b\ (b\in \{x\dvojtečka x\in a\land \Phi [x]\}\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )

nebo

{\displaystyle \forall a(\{x\dvojtečka x\v a\ \land \ \Phi [x]\}=\{b\dvojtečka b\v\ \land \ \Phi [b]\))

Výběrové schéma je ekvivalentní spočítatelné množině axiomů.

2.2.1 Schéma převodu

\forall x\existuje !y\ (\phi [x,y])\ \to \ \forall a\existuje d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a \ \land \ \phi [b,c]\ )\ )

, co je

\forall x\exists !y\ (\phi [x,y])\ \to \ \forall a\exists d\ (d=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \ země \ \phi [b,c])\}\ )

Poznámka

Transformační schéma [množiny] lze formulovat následovně: "Jakoukoli množinu lze transformovat na [stejnou nebo jinou] množinu vyjádřením jakéhokoli skutečného matematicky správného funkčního úsudku o všech prvcích této množiny ." $d$ $\phi$ $b$ $A$

Příklady

1.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=x)\vpravo \forall a\existuje d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \existuje b\ (b\in a\ \ země \ c=b))\Šipka doleva\forall a\existuje d\forall c\ (c\v d\šipka doleva c\v a)

{\begin{aligned}2.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=x^{2})\ \land \ a=\{1,2,3\}\Rightarrow \exists d\forall c \ (c\v d\leftright \exists b\ (b\in \{1,2,3\}\ \land \ c=b^{2}))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{1,4,9\})\end{aligned}}

3.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=f(x))\Rightarrow \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c=f(b)\ )\ )

{\begin{aligned}4.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow (x=\varnothing \to y=a_{1})\land (x\neq \varnothing \to y=a_{2}) \ )\quad \land \quad a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\\\ \Rightarrow \ existuje d\forall c\ (c\in d\leftright \exists b\ (b\in \{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\land (b=\varnothing \to c=a_{1})) \land (b\neq \varnothing \to c=a_{2})\ ))\\\ \Šipka doleva \existuje d\forall c\ (c\in d\šipka doleva c=a_{1}\ \lor \ c =a_{2})\end{aligned}}

\begin{align} 5. \ (\phi[x,y] \leftrightarrow y = 2x) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \ exist b \ (b \in \mathbb{N} \land c = 2b)) \\ \ \Šipka doleva \exist d \forall c \ (c \in d \šipka doleva c \in \{0,2,4,6 ,\ldots\}) \end{align}

\begin{align} 6. \ (\phi[x,y] \leftrightarrow y = 2x + 1) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \ leftrightarrow \exist b \ (b \in \mathbb{N} \land c = 2b + 1)) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{1,3 ,5,7,\ldots\}) \end{align}

{\begin{aligned}7.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow (x\in {\mathbb {N))\ \land \ x<2\to y=x)\ \land \ (x\ v {\mathbb {N}}\ \land \ \neg (x<2)\to y=1))\quad \land \quad a={\mathbb {N}}\\\ \Rightarrow \exists d\ forall c(c\in d\leftrightarrow \exists b(b\in {\mathbb {N))\ \land \ (b\in {\mathbb {N))\land b<2\to c=b)\ \land \ (b\v {\mathbb {N))\land \neg (b<2)\to c=1)))\\\ \Šipka doleva \existuje d\forall c\ (c\v d\šipka doleva doprava c\in {\mathbb {N}}\ \land \ c<2)\Šipka doleva \existuje d\forall c\ (c\in d\šipka doleva c\v \{0,1\})\end{zarovnáno} }

Je dokázáno, že množina v transformačním schématu je jedinečná. Zadané sadě tedy může být přidělen název . Pomocí zadaného názvu je transformační schéma napsáno takto: $d$ ${\displaystyle \{y\colon \exists x\ (x\in a\ \land \ \phi [x,y])\))$

\forall x\exists !y(\phi [x,y])\to \forall a\forall c\ (c\in \{y\colon \exists x\ (x\in a\ \land \ \phi [x,y])\}\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ )

nebo

\forall x\exists !y(\phi [x,y])\to \forall a(\{y\colon \exists x\ (x\in a\ \land \ \phi [x,y]) )\}=\{c\dvojtečka \existuje b\ (b\v a\ \land \ \phi [b,c])\}\ )

Transformační schéma je ekvivalentní spočetné množině axiomů.

3. ZFC axiomy o řazení množin

Následující dva výroky definují uspořádání množin, které jsou tvořeny z a každá s pomocí axiomů tvorby množin. $\varno nic$ $\infty$

3.0 Axiom pravidelnosti

\forall a\ (a\neq \varnothing \to \existuje b\ (b\in a\ \land \ \forall c\ (c\in b\to c\notin a)\ )\ )

Poznámka

"Axiom pravidelnosti" může být vyjádřen následovně: "V každé rodině množin existuje [alespoň jedna] množina , jejíž každý prvek nepatří do dané rodiny ." $b$ $C$ $A$

Příklady

{\begin{aligned}1.\ a=\{x\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x\}\land \forall c\ (c\in b\ do c\notin \{x\})\ )\\\ \Šipka doleva \existuje b\ (b\v \{x\}\land \forall c\ (c\v \{x\}\do c\notin b))\Šipka doprava \forall x(x\notin x)\\\ \Šipka doleva \forall a(a\notin a)\Šipka doleva \forall a\forall b\ (a\in b\ \lor \ b\in a \to a\neq b)\end{aligned}}

Porovnejte s prohlášeními a , a také .

\forall a\ (a=a)

\forall a\ (a\ne <a)

\forall a\forall b\ (a<b\ \lor \ b<a\to a\neq b)

{\begin{aligned}2.\ a=\{x,y\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x,y\}\ \land \ \forall c\ (c\in b\do c\notin \{x,y\}))\\\ \Šipka doprava \forall x\forall y\ (x\in y\to y\notin x)\\\ \Šipka doleva doprava \forall a\forall b\ (a\in b\to b\notin a)\end{zarovnáno}}

Porovnejte s prohlášeními a .

\forall a\forall b\ (a=b\to b=a)

\forall a\forall b\ (a<b\to b\ne <a)

{\begin{aligned}3.\ a=\{x,y,z\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x,y,z\}\land \forall c\ (c\in b\to c\notin \{x,y,z\}))\\\ \Šipka doprava \forall a\forall b\forall c\ (a\in b\land b\in c\ do c\notin a)\end{aligned}}

Porovnejte s prohlášeními a .

\forall a\forall b\forall c\ (a=b\land b=c\to c=a)

\forall a\forall b\forall c\ (a<b\land b<c\to c\ne <a)

3.1 Axiom volby

{\begin{aligned}\forall a\ (a\neq \varnothing \land \forall b\ (b\in a\to b\neq \varnothing )\land \forall b_{1}\forall b_{2}\ (b_{1}\neq b_{2}\land \{b_{1},b_{2}\}\subseteq a\to b_{1}\cap b_{2}=\varnothing )\\\ \to \exists d\forall b\ (b\in a\to \exists c\ (b\cap d=\{c\})\ )\ )\end{aligned}}

Poznámka

„Axiom volby“ lze formulovat následovně: „Z jakékoli rodiny neprázdných párově disjunktních množin lze vybrat „delegaci“, tedy množinu , která má jeden prvek z každé množiny této rodiny . $d$ $C$ $b$ $A$

Příklad Předpokládejme, že rodina je tvořena z množiny nezáporných sudých čísel a množiny nezáporných lichých čísel. V tomto případě jsou splněny všechny podmínky „axiomu volby“, konkrétně:

1.\quad \{\{0,2,4,\ldots \},\ \{1,3,5,\ldots \}\}\neq \varnothing

2.\quad \{0,2,4,\ldots \}\neq \varnothing \quad \land \quad \{1,3,5,\ldots \}\neq \varnothing

3.\quad \{0,2,4,\ldots \}\ \cap \ \{1,3,5,\ldots \}=\varnothing

. Proto je možné vytvořit alespoň jednu „delegaci“ složenou z jednoho „delegáta“ (např. číslo nula) z množiny a jednoho „delegátu“ (např. jedničky) z množiny . Opravdu:

\{0,2,4,\ldots\}

\{1,3,5,\ldots\}

{\displaystyle \{0,2,4,\ldots \}\ \cap \ \{0,1\}=\{0\))

{\displaystyle \{1,3,5,\ldots \}\ \cap \ \{0,1\}=\{1\))

Poznámky

1. Pokud je ZFC konzistentní, pak jeho konzistenci nelze dokázat pomocí ZFC, podle druhého Gödelova teorému .

Historické pozadí

Původní verze teorie množin, kterou německý matematik Georg Cantor záměrně nazývala doktrína množin, se zřejmě skládala ze dvou axiomů, a to:

1) axiom objemu , který nám umožňuje formulovat kritérium pro rovnost množin ,

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\v a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\to a_{1}=a_{2} )

2) "axiomy matematické svobody" , který umožňuje vytvářet množiny pomocí "úsudku svobody" .

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow \Phi [a,c])

\Phi [a,c]

„Axiom matematické svobody“ má racionální důsledky, včetně následujících:

\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\neq c)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=a)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=a\ \lor \ c=x)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\in a\land \Phi [c])

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\subseteq a)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow \exists d\ (d\in a\land c\in d))

V roce 1903 anglický filozof Bertrand Russell upozornil na následující:

1) vedeni „axiomem matematické svobody“, nelze rozlišovat mezi „svobodou“ a „povolením“, 2) výběrem nejtriviálnějšího matematického tvrzení dostaneme tvrzení o existenci „množiny všech množin“ , od které je „jeden krok“ k Russellovu paradoxu .

\Phi [a,c]

c=c

\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=c)

Tato kritická prohlášení o „německé doktríně [množin]“ přiměla německého matematika Ernsta Zermela nahradit „axiom matematické svobody“ jeho důsledky, které by nevyvolaly protesty matematiků.

V roce 1908 v časopise Mathematische Annalen publikoval Ernst Zermelo následujících sedm axiomů:

1) axiom objemu ( německy Axiom der Bestimmtheit ); 2) axiom o existenci „elementárních množin“ ( německy: Axiom der Elementarmengen ) , který lze napsat v následující podobě:

\varno nic

\{A\}

\{a_{1},a_{2}\}

\exists a\forall b\ (b\notin a)\ \land \ \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a)\ \land \ \forall a_{1 }\forall a_{2}\existuje c\forall b\ (b\v c\ \leftrightarrow \ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})

; 3) schéma výběru ( německy Axiom der Aussonderung ); 4) axiom množiny podmnožin ( německy: Axiom der Potenzmenge ); 5) axiom sjednocení ( německy: Axiom der Vereinigung ); 6) axiom výběru ( německy: Axiom der Auswahl ); 7) axiom nekonečna ( německy Axiom der Unendlichkeit ) ve formulaci odlišné od formulace moderní.

Tak se „doktrína množin“ proměnila v teorii množin, konkrétně v teorii ZC [ Z ermelo teorie množin s axiomem C hoice].

Poslední axiom teorie ZC (axiom nekonečna) sblížil stoupence Georga Cantora s stoupenci Leopolda Kroneckera , který považoval množinu přirozených čísel za svatý grál matematiky. $\mathbb {N}$

Předposlední axiom teorie ZC (axiom volby) se stal předmětem živých matematických diskusí. Ve skutečnosti tento axiom není důsledkem „axiomu matematické svobody“.

V roce 1922 doplnili německý matematik Abraham Frenkel a norský matematik Turalf Skolem teorii ZC transformačním schématem . V důsledku toho se teorie ZC změnila v teorii ZFC [ Zermelo - Fraenkelova teorie množin s axiomem volby ].

V roce 1925 maďarský matematik John von Neumann doplnil teorii ZFC o axiom pravidelnosti . Jeden z důsledků tohoto axiomu ( ) „pohřbil“ jak „množinu všech množin“, tak „ Russelův paradox “. $\forall a\ (a\notin a)$

Viz také

Zermelova věta

Literatura

Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Matematická logika. — M.: URSS, 2005. — 240 s.
Frenkel A. A. , Bar-Hillel I. Základy teorie množin. — M.: Mir, 1966. — 556 s.
Fraenkel, Abraham ; Bar-Hillel, Jehošua ; Levy, AzrielZáklady teorie množin (neopr.) . — North-Holland , 1973.Fraenkelovo poslední slovo o ZF a ZFC.
Hatcher, William. Logické základy matematiky. — Pergamon Press, 1982.
Hinman, Peter. Základy matematické logiky. — A. K. Peters, 2005. - ISBN 978-1-56881-262-5 .
Jech, ThomasiTeorie množin: Vydání třetího tisíciletí, revidované a rozšířené . — Springer, 2003. - ISBN 3-540-44085-2 .
Kunen, KennethTeorie množin: Úvoddo důkazů nezávislosti . - Elsevier , 1980. - ISBN 0-444-86839-9 .
Levy, Azriel. Základní teorie množin. - Dover Publications , 2002. - ISBN 0486420795 .
Odkaz, Godharde. Formalism and Beyond: On the Nature of Mathematical Discourse (anglicky) . - Walter de Gruyter GmbH & Co KG , 2014. - ISBN 978-1-61451-829-7 .
Quine, Willard van Orman. Teorie množin a její logika . — Přepracováno. - Cambridge, Massachusetts a Londýn, Anglie: Harvard University Press , 1969. - ISBN 0-674-80207-1 .
Montáž, Richarde . Sémantické uzavření a neomezená axiomatizovatelnost // Infinistické metody. — Londýn: Pergamon Press, 1961. - S. 45-69.
Shoenfield, Joseph R. Axiomy teorie množin // Handbook of Mathematical Logic / Barwise, KJ. - 1977. - ISBN 0-7204-2285-X .
Takeuti, Gaisi; Zaring, W M. Úvod do axiomatické teorie množin. — 1982.
Tarski, AlfredNa dobře uspořádaných podmnožinách libovolné množiny // Fundamenta Mathematicae : journal . - 1939. - Sv. 32 . - S. 176-183 .

Odkazy

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), ZFC , Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Metamath verze axiomů ZFC ; Stručná a neredundantní axiomatizace. Základní logika prvního řádu je definována zejména pro usnadnění strojového ověřování nátisků
Odvození v Metamath
Axiomatics of Set Theory (anglicky) na webu PlanetMath .

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velká Katalánština velká čínština Britannica (online)