Sada faktorů

Faktorová množina je množina všech tříd ekvivalence pro daný vztah ekvivalence na množině , označovaná jako . Rozdělení množiny do tříd ekvivalentních prvků se nazývá její faktorizace . $\sim$ $X$ $X/\!\sim$

Mapování z do sady tříd ekvivalence se nazývá faktorové mapování . Díky vlastnostem vztahu ekvivalence je rozdělení do množin jedinečné. To znamená, že třídy obsahující buď se neprotínají, nebo se úplně shodují. Pro jakýkoli prvek je nějaká třída from jednoznačně definována , jinými slovy existuje surjektivní mapování od do . Třída obsahující je někdy označována jako . $X$ $X/\!\sim$ $\forall x,\;y\in X$ $x\in X$ $X/\!\sim$ $X$ $X/\!\sim$ $X$ $[X]$

Pokud je množina opatřena strukturou, pak lze často použít mapování, aby poskytlo množině faktorů stejnou strukturu; například třídy ekvivalence topologického prostoru mohou být vybaveny indukovanou topologií ( faktorový prostor ), třídy ekvivalence algebraického systému mohou být vybaveny stejnými operacemi a vztahy ( faktorový systém ). $X\to X/\!\sim$ $X/\!\sim$

Aplikace a příklady

Pokud je dáno surjektivní zobrazení , pak je vztah dán na množině . Můžete zvážit sadu faktorů . Funkce definuje přirozenou korespondenci jedna ku jedné mezi a . $f\dvojtečka X\to Y$ $X$ $x\sim x'\iff f(x)=f(x')$ $X/\!\sim$ $F$ $X/\!\sim$ $Y$

Je rozumné použít faktorizaci množin k získání normovaných prostorů z polonormovaných prostorů, prostorů s vnitřním součinem z prostorů s téměř vnitřním součinem atd. K tomu se zavádí norma třídy, resp. rovna normě jeho libovolný prvek a skalární součin tříd jako skalární součin libovolných prvků tříd. Relace ekvivalence se zavádí následovně (například pro vytvoření normovaného podílového prostoru): zavede se podmnožina původního seminormovaného prostoru sestávající z prvků s nulovou seminormou (mimochodem je lineární , to znamená, že je to podprostor) a má se za to, že dva prvky jsou ekvivalentní, pokud jejich rozdíl patří do stejného podprostoru.

Je-li pro faktorizaci lineárního prostoru zaveden určitý podprostor lineárního prostoru a předpokládá se, že pokud rozdíl dvou prvků původního prostoru náleží tomuto podprostoru, pak jsou tyto prvky ekvivalentní, pak je faktorová množina lineární prostor a se nazývá faktorový prostor.

Projektivní rovinu lze definovat jako podílový prostor dvourozměrné koule tím, že definujeme vztah ekvivalence . $\mathbb{R} P^{2}$ $(x,\;y,\;z)\sim (-x,\;-y,\;-z)$

Kleinova láhev může být reprezentována jako podílový prostor válce s ohledem na vztah ekvivalence ( je úhlová souřadnice na kružnici). $S^{1}\krát [0,\;1]$ $(\varphi ,\;0)\sim (-\varphi ,\;1)$ $\varphi \in [-\pi ,\;\pi ]$

Vlastnosti

Faktorová zobrazení q : X → Y jsou mezi surjektivními zobrazeními popsána následující vlastností: pokud Z je nějaký topologický prostor a f : Y → Z je nějaká funkce, pak f je spojitá právě tehdy, když f ∘ q je spojitá.

Kvocientový prostor X /~ spolu s kvocientovou mapou q : X → X /~ je popsán následující univerzální vlastností : jestliže g : X → Z je spojitá mapa taková , že jestliže a ~ b implikuje g ( a ) = g ( b ) pro všechna a a b z X pak existuje jednoznačné zobrazení f : X /~ → Z takové , že g = f ∘ q . Říkáme, že g sestupuje do faktorizace .

Spojitá zobrazení definovaná na X /~ jsou tedy přesně ta zobrazení, která pocházejí ze spojitých zobrazení definovaných na X , která splňují vztah ekvivalence (v tom smyslu, že mapují ekvivalentní prvky na stejný obrázek). Toto kritérium je široce používáno při studiu kvocientových prostorů.

Daný spojitý surjekce q : X → Y , to je užitečné mít kritérium, podle kterého určovat zda q je kvocient. Dvě dostatečné podmínky — q je otevřené nebo uzavřené . Všimněte si, že tyto podmínky jsou pouze dostatečné , ale nejsou nutné . Je snadné sestavit příklady zobrazení faktorů, která nejsou ani otevřená, ani uzavřená. Pro topologické skupiny je faktorové mapování otevřené.

Kompatibilita s jinými topologickými koncepty

Oddělitelnost
- Obecně se podílové prostory chovají špatně s ohledem na axiomy oddělitelnosti. Vlastnosti oddělitelnosti množiny X se nemusí nutně dědit pod X /~ a X /~ může mít vlastnosti oddělitelnosti, které v X neexistují .
- X /~ je prostor T 1 právě tehdy, když je nějaká třída ekvivalence ~ uzavřena v X .
- Pokud je kvocientová mapa otevřená , pak X /~ je Hausdorffův prostor právě tehdy, když ~ je uzavřená podmnožina součinu prostorů X × X .
Konektivita
- Pokud je prostor připojen nebo připojen k cestě , pak jsou připojeny i všechny jeho podílové prostory.
- Podílový prostor jednoduše připojeného nebo smrštitelného prostoru nemusí mít nutně tyto vlastnosti.
kompaktnost
- Pokud je prostor kompaktní, jsou kompaktní i všechny jeho podílové prostory.
- Podílový prostor lokálně kompaktního prostoru nemusí být nutně lokálně kompaktní.
Dimenze prostoru
- Topologická dimenze kvocientového prostoru může být větší (a může být menší) než dimenze původního prostoru; takové příklady poskytují křivky vyplňující prostor .