Lebesgueova dimenze

Lebesgueova dimenze nebo topologická dimenze je dimenze definovaná pomocí obalů, nejdůležitější invariant topologického prostoru . Lebesgueova dimenze prostoru je obvykle označena . $X$ $\dim X$

Definice

Pro metrické prostory

Pro kompaktní metrický prostor je Lebesgueova dimenze definována jako nejmenší celé číslo , které má vlastnost, že pro jakýkoli existuje konečná otevřená pokrývající - která má multiplicitu ; $X$ $n$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon$ $X$ $\leqslant n+1$

V čem

$\varepsilon$ -kryt metrického prostoru je kryt, jehož všechny prvky mají průměr a $<\varepsilon$
násobnost konečného pokrytí prostoru je největší celé číslo, takže v prostoru existuje bod obsažený v prvcích tohoto krytu. $X$ $k$ $X$ $k$

Pro topologické prostory

Pro libovolný normální (zejména metrizovatelný ) prostor je Lebesgueova dimenze nejmenším celým číslem , takže pro každý konečný otevřený kryt prostoru existuje (konečný otevřený) kryt násobnosti vepsaný do něj . $X$ $n$ $X$ $n+1$

O krytu se říká, že je vepsán do krytu , pokud je každý prvek krytu podmnožinou alespoň jednoho prvku krytu . ${\mathcal P}$ $\mathcal Q$ ${\mathcal P}$ $\mathcal Q$

Příklady

Nultorozměrné prostory: jednobodový prostor, diskrétní prostor , Cantorova množina .
- Viz také nulový rozměrný prostor .
Jednorozměrné prostory: kruh , Sierpinského trojúhelník , Sierpinského koberec , Mengerova houba
- Viz také Urysohnova křivka

Vlastnosti

Nerovnost $\dim(X\krát Y)\leqslant \dim X+\dim Y.$

je splněna podle jednoho z následujících požadavků na topologické prostory a :

X

Y

metrizovatelnost,
kompaktnost,
lokální kompaktnost a parakompaktnost.

Existují příklady dvojic prostorů, u kterých je tato nerovnost porušena; [1] tato nerovnost se také může ukázat jako přísná, například pro některé páry Pontrjaginových ploch .

Lebesgueova dimenze metrického prostoru nepřesahuje jeho Hausdorffovu dimenzi .
- Navíc se Lebesgueova dimenze metrizovatelného separovatelného prostoru shoduje s infimem Hausdorffových dimenzí s ohledem na všechny metriky na . $X$ $X$
Ostrandův teorém o barevných dimenzích: Normální prostor má dimenzi právě tehdy, když pro jakýkoli lokálně konečný otevřený kryt prostoru existuje vepsaný kryt , který se skládá z podrodin tak, že každá podrodina se skládá z disjunktních množin. $X$ $\dim X\leqslant n$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A))))$ $X$ ${\mathcal V}$ $n+1$ ${\mathcal {V}}_{1},{\mathcal {V}}_{2},\dots ,{\mathcal {V}}_{n+1}$ ${\mathcal {V}}_{i}$

Historie

Nejprve představil Henri Lebesgue . Předpokládal, že rozměr -rozměrné krychle je . Leutzen Brouwer to dokázal poprvé. Přesnou definici invariantu (pro třídu metrických kompaktních množin) podal Pavel Samuilovich Uryson . $n$ $n$ $\dim X$

Poznámky

↑ Mzda, Michael L. Dimenze produktových prostorů // Proc. Nat. Akad. sci. USA. - 1978. - T. 75 , č. 10 . — S. 4671–4672 . - doi : 10.1073/pnas.75.10.4671 .

Literatura

Alexandrov P. S., Pasynkov B. A. Úvod do teorie dimenze. Moskva: Nauka, 1973

fraktály
Charakteristika	fraktální dimenze Hausdorffův rozměr Lebesgueova dimenze rekurze sebepodobnost
Nejjednodušší fraktály	Fern Barnsley Sada Cantor dračí křivka Kochova křivka Houba Menger Koberec Sierpinski Sierpinského trojúhelník Křivka vyplňující prostor
podivný atraktor	Multifraktální
L-systém	Křivka vyplňující prostor
Bifurkační fraktály	Julia sada Ljapunovský fraktál Sada Mandelbrot Newtonovy bazény
Náhodné fraktály	Brownův pohyb brownian strom fraktální povrch Perkolační teorie
Lidé	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexandr Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Václav Sierpinski
související témata	Jak dlouhé je pobřeží Velké Británie? » Paradox pobřeží

Dimenze prostoru
Prostory podle dimenzí	Nulový rozměr jednorozměrný 2D 3D čtyřrozměrný pětirozměrný šestirozměrný sedmirozměrný osmičková devítirozměrný n-rozměrný Negativní rozměr
Polytopy a postavy	Simplexní hyperkrychle tesseract Hyperobdélník (ortotop) Semihypercube Cross-polytope hypersféra
Typy prostorů	konečně-dimenzionální prostor Euklidovský prostor afinní prostor projektivní prostor Modul zdarma Rozdělovač Dimenze algebraické proměnné vesmírný čas
Jiné dimenzionální koncepty	Krullova dimenze Lebesgueova dimenze Indukční rozměr Zlomková dimenze ( Minkowského dimenze , Hausdorffova dimenze ) fraktální dimenze Stupně svobody
Matematika