Perkolační teorie

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 11. prosince 2021; kontroly vyžadují 6 úprav .

Perkolační teorie ( perkolační teorie nebo teorie průsaku ) je matematická teorie používaná ve fyzice, chemii a dalších oborech k popisu vzniku spojených struktur v náhodných médiích ( shlucích ) skládajících se z jednotlivých prvků.

Nejjednodušší problémy perkolační teorie jsou formulovány pro diskrétní svazy . Udává se pravděpodobnost (koncentrace) , s jakou bude uzel mřížky obsazen. Pravděpodobnost, že uzel bude volný, je tedy rovna . V nejjednodušším případě jsou všechny uzly považovány za nezávislé, to znamená, že vytížení jednoho uzlu neovlivňuje vytížení ostatních. Dva uzly jsou považovány za patřící do stejného shluku, pokud mohou být spojeny souvislým řetězcem sousedních obsazených uzlů. S rostoucí hodnotou parametru bude obsazen stále větší počet uzlů a v důsledku toho se budou objevovat shluky stále větší velikosti. Při určité kritické hodnotě se v systému vytvoří zužující (perkolační) shluk spojující jeden konec systému s druhým - dojde ke kritickému přechodu, podobnému fázovému přechodu druhého řádu . Popsaná formulace úlohy odpovídá tzv. uzlovému problému . Je možné formulovat další problém, ve kterém s pravděpodobností nebudou obsazeny samotné uzly, ale spojení mezi nimi - problém spojení. Takový přístup umožňuje využít aparát perkolační teorie v mnoha oblastech, např. při popisu porézních materiálů, vodivosti, polymerace, biologické evoluce, vzniku galaxií a mnoha dalších [1] . $p$ $1-p$ $p$ ${\displaystyle p=p_{c))$ $p$

Historie

Historie zájmu matematiků o fenomén perkolace pochází z problému navrženého profesorem De Volsonem Woodem a publikovaného v roce 1894 v American Mathematical Monthly [2 ] :

Obsahové vyjádření problému. Stejný počet bílých a černých koulí stejné velikosti je vhozen do obdélníkové krabice. Jaká je pravděpodobnost, že dojde k nepřetržitému kontaktu bílých kuliček z jednoho konce krabice na druhý? Jako speciální příklad předpokládejme, že krabice je 30 kuliček dlouhá, 10 kuliček široká a 5 (nebo 10) vrstev hluboká.

Původní text (anglicky)[ zobrazitskrýt] Skutečný případ naznačoval následující: Stejný počet bílých a černých koulí stejné velikosti je vhozen do obdélníkové krabice, jaká je pravděpodobnost, že dojde k souvislému kontaktu bílých koulí z jednoho konce krabice na opačný konec. Jako speciální příklad předpokládejme, že krabička má 30 kuliček na délku, 10 na šířku a 5 (nebo 10) vrstev hluboko.

Důsledný matematický základ pro popis fyzikálních jevů spojených s perkolací byl vyvinut jako výsledek desetileté práce Stanislava Smirnova , který získal v roce 2010 Fieldsovu cenu za jednu ze svých prací v oblasti modelů plochých mříží ve statistické fyzice [ 3] [4] .

Popis

Fenomén perkolace (nebo středního toku ) je určen:

Prostředí, ve kterém je tento jev pozorován;
Externí zdroj, který zajišťuje proudění v tomto prostředí;
Způsob, jakým médium proudí, který závisí na vnějším zdroji.

Příklad

Jako nejjednodušší příklad můžeme uvažovat model proudění (například elektrického průrazu ) ve dvourozměrné čtvercové mřížce , skládající se z uzlů, které mohou být vodivé nebo nevodivé. V počátečním okamžiku jsou všechny uzly sítě nevodivé. Časem zdroj[ co? ] nahrazuje nevodivé uzly vodivými uzly a počet vodivých uzlů se postupně zvyšuje. V tomto případě jsou uzly nahrazeny náhodně, to znamená, že výběr kteréhokoli z uzlů pro nahrazení je stejně pravděpodobný pro celý povrch mřížky.

Perkolace je okamžik, kdy se objeví takový stav mřížky, ve kterém existuje alespoň jedna souvislá cesta sousedními vodivými uzly od jednoho k protějšímu okraji. Je zřejmé, že s nárůstem počtu vodivých uzlů tento okamžik nastane dříve, než bude celý povrch mřížky [ upřesnit ] sestávat výhradně z vodivých uzlů.

Označme nevodivé a vodivé stavy uzlů nulami a jedničkami. Ve dvourozměrném případě bude médium odpovídat binární matici. Pořadí nahrazování nul matice jedničkami bude odpovídat zdroji úniku.

V počátečním okamžiku se matrice skládá výhradně z nevodivých prvků:

0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0

Při vystavení vnějšímu zdroji se do matrice začnou přidávat vodivé prvky, ale zpočátku nestačí k perkolaci:

0	0	jeden
jeden	0	0
0	jeden	0
0	jeden	0

Jak se zvyšuje počet vodivých uzlů, nastává kritický okamžik, kdy dochází k perkolaci, jak je znázorněno níže:

0	0	0	jeden
jeden	jeden	0	0
0	jeden	jeden	0
0	0	jeden	jeden

Je vidět, že od levého k pravému okraji poslední matice je řetězec prvků, který zajišťuje tok proudu vodivými uzly (jednotkami), které na sebe plynule navazují.

Perkolaci lze pozorovat jak v mřížkách, tak v jiných geometrických strukturách, včetně spojitých, sestávajících z velkého počtu podobných prvků, respektive spojitých oblastí, které mohou být v jednom ze dvou stavů. Odpovídající matematické modely se nazývají mřížka nebo kontinuum.

Příkladem perkolace v kontinuálním médiu může být průchod kapaliny objemným porézním vzorkem (například voda houbou z pěnového materiálu), ve kterém se postupně nafukují bubliny, dokud jejich velikost nedostačuje k prosakování kapaliny. od jednoho okraje vzorku k druhému.

Indukčně se pojem perkolace přenáší na libovolné konstrukce nebo materiály, které se nazývají perkolační médium, pro které je třeba určit vnější zdroj úniku, jehož způsob proudění a prvky (fragmenty) mohou být v různém stavu, jeden z nichž (primární) tento způsob průchodu nesplňuje.a druhý vyhovuje. Ze způsobu proudění vyplývá i určitá posloupnost výskytu prvků nebo změna fragmentů prostředí do stavu potřebného pro proudění, které zajišťuje zdroj. Zdroj naproti tomu postupně přenáší prvky nebo fragmenty vzorku z jednoho stavu do druhého, dokud nenastane okamžik perkolace.

Perkolační práh

Soubor prvků, kterými proudění probíhá, se nazývá perkolační shluk . Vzhledem k tomu, že se jedná o spojený náhodný graf , může mít v závislosti na konkrétní implementaci různý tvar. Proto je zvykem charakterizovat jeho celkovou velikost. Prahová hodnota úniku je minimální koncentrace, při které dochází k úniku.

Vzhledem k náhodné povaze spínacích stavů prvků prostředí není ve výsledném systému jasně definován práh (velikost kritického shluku), ale existuje tzv. kritický rozsah hodnot, do kterého se proniká. prahové hodnoty získané v důsledku různých náhodných implementací klesají. S rostoucí velikostí systému se oblast zužuje do bodu. Pro nekonečné systémy se rovná nějaké pevné hodnotě: pro všechny v systému není žádný kontrahující shluk, protože je vždy přítomen. Analytický výpočet kritické koncentrace je však možný pouze pro omezený počet konfigurací mřížky. Například v jednorozměrném případě (mříž je nekonečný řetězec uzlů) pro Betheovu mřížku , kde z je koordinační číslo . V ostatních případech je možný numerický výpočet založený na softwarových simulacích na velkých konečných svazech. $p_{c}$ ${\displaystyle p<p_{c))$ $p>p_{c}$ $p_{c}=1$ $p_{c}=1/(z-1)$

V kritickém bodě je mnoho důležitých charakteristik systému (jako je délka korelace, průměrná velikost shluku, síla omezujícího shluku atd.) singulární a v téměř kritické oblasti jsou řízeny mocenskými zákony formulář . Kritické exponenty fungují jako pro různé veličiny . Ze zákona univerzálnosti vyplývá, že tyto indexy závisí pouze na typu perkolačního modelu a rozměru prostoru a nezávisí na geometrii mřížky. Jsou také stejné pro problémy s uzly a propojením. ${\displaystyle p=p_{c))$ ${\displaystyle |p-p_{c}|^{x))$ $X$

Poznámky

↑ M. Sahini, M. Sahimi. Aplikace teorie perkolace . — Londýn: CRC Press, 2014-04-21. — 276 s. — ISBN 978-0-429-08044-9 . Archivováno 21. prosince 2021 na Wayback Machine
↑ Problémy // Americký matematický měsíčník : časopis . - 1894. - Sv. 1 , ne. 3 . — S. 99 . - doi : 10.2307/2971675 . Archivováno z originálu 23. srpna 2021.
↑ Návrat do budoucnosti: 100letý problém AMM mohl být nejstarším náznakem teorie perkolace , Mathematical Association of America (25. srpna 2010). Archivováno z originálu 5. listopadu 2016. Staženo 5. listopadu 2016.
↑ Rajendra Bhatia. Sborník příspěvků z Mezinárodního kongresu matematiků: Hajdarábád, 19. – 27. srpna 2010 . — World Scientific, 2011-06-06. - S. 73-84. — 814 s. — ISBN 978-981-4324-35-9 . Archivováno 23. srpna 2021 na Wayback Machine

Viz také

Koherer

Literatura

Tarasevich Yu Yu. Perkolace: teorie, aplikace, algoritmy: Učebnice - Moskva: Editorial URSS, 2002. - 112 s.
Smirnov S. O moderní matematice a její výuce // Kvant , 2011, č. 2, s. 11-18.
Kesten H. Perkolační teorie pro matematiky. - Boston: Birkhauser, 1982. (Ruský překlad: Kesten X. Perkolační teorie pro matematiky. - M .: Mir, 1986. - 392 s.)
D. Stauffer a A. Aharony, Úvod do teorie perkolace, Taylor a Fransis, Londýn, 1994.
B. I. Shklovsky, A. L. Efros, Elektronické vlastnosti dopovaných polovodičů, kapitola 5. M.: Nauka, 1979.
A. Bunde, S. Havlin, Perkolace I (str. 51-95), Perkolace II (str. 97-149), in: Fraktály a neuspořádané systémy, eds. A.Bunde, S.Havlin, Springer, Berlín, 1996.
VKSShante a S. Kirkpatrick, Adv. Phys. 20, 325 (1971).
S. Kirkpatrick, Rev. Mod. Phys. 45, 574 (1973).
Efros A. L. Fyzika a geometrie nepořádku . — M .: Nauka , 1982. — 176 s. - ( Knihovna "Quantum" ). — 150 000 výtisků.

Odkazy

Simulace otevírání mřížových uzlů (vodič elektrického proudu) Archivováno 5. května 2019 na Wayback Machine

fraktály
Charakteristika	fraktální dimenze Hausdorffův rozměr Lebesgueova dimenze rekurze sebepodobnost
Nejjednodušší fraktály	Fern Barnsley Sada Cantor dračí křivka Kochova křivka Houba Menger Koberec Sierpinski Sierpinského trojúhelník Křivka vyplňující prostor
podivný atraktor	Multifraktální
L-systém	Křivka vyplňující prostor
Bifurkační fraktály	Julia sada Ljapunovský fraktál Sada Mandelbrot Newtonovy bazény
Náhodné fraktály	Brownův pohyb brownian strom fraktální povrch Perkolační teorie
Lidé	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexandr Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Václav Sierpinski
související témata	Jak dlouhé je pobřeží Velké Británie? » Paradox pobřeží