Julia sada

V holomorfní dynamice je Juliova množina racionální mapy množinou bodů, jejichž dynamika sousedství je v jistém smyslu nestabilní s ohledem na malé odchylky výchozí polohy. Je-li f polynom, uvažuje se také vyplněná Juliova množina , tj . množina bodů, které nemají sklon k nekonečnu. Obvyklá Julia množina je pak její hranicí . $J(f)$ $f:\mathbb {C} P^{1}\to \mathbb {C} P^{1}$

Sada Fatou je doplňkem sady Julia. Jinými slovy, dynamika iterace f není pravidelná, ale ani chaotická. $F(f)$ $F(f)$ $J(f)$

Doplňuje Picardovu velkou větu o „chování analytické funkce v okolí v podstatě singulárního bodu“.

Tyto množiny jsou pojmenovány po francouzských matematikech Gaston Julia a Pierre Fatou , kteří zahájili studium holomorfní dynamiky na začátku 20. století.

Definice

Nechť je racionální mapování. Množina Fatou se skládá z bodů z tak, že v omezení na dostatečně malé okolí z , posloupnost iterací $f:\mathbb {C} P^{1}\to \mathbb {C} P^{1}$

(f^n)_{n\in\mathbb{N}}

tvoří normální rodinu v Montelově smyslu . Sada Julia je doplňkem sady Fatou.

Tato definice umožňuje následující ekvivalentní přeformulování: Fatouova množina je množina těch bodů, jejichž oběžné dráhy jsou Ljapunovovy stabilní . (Ekvivalence přeformulování není zřejmá, ale vyplývá z Montelovy věty .)

Vlastnosti

Jak vyplývá z definic, množina Julia je vždy uzavřena , zatímco množina Fatou je vždy otevřená .
Množina Julia pro zobrazení stupně většího než 1 je vždy neprázdná (jinak by bylo možné zvolit jednotně konvergentní podposloupnost iterací.) Pokud jde o množinu Fatou, podobné tvrzení neplatí: existují příklady, ve kterých Julia soubor dopadá být celý Riemann koule . Takový příklad lze zkonstruovat tak, že vezmeme mapu zdvojení na torusu (jehož dynamika je všude chaotická) a předáme ji Weierstrassovou funkcí . $z\mapsto 2z (mod\, \Z[i])$ $\mathbb {C} /\mathbb {Z} [i]$ $\wp$ ${\displaystyle \wp :\mathbb {C} /\mathbb {Z} [i]\to \mathbb {C} P^{1))$
Sada Julia je uzavřením spojení všech odpudivých periodických drah.
Sady Fatou a Julia jsou obě zcela invariantní pod působením f , to znamená, že se shodují jak se svým vlastním obrazem, tak s úplným předobrazem:

\ f^{-1}(J(f)) = f(J(f)) = J(f),

\f^{-1}(F(f)) = f(F(f)) = F(f).

Julia množina J(F) je hranicí (celkové) přitažlivé pánve jakékoli atraktivní nebo superatraktivní oběžné dráhy; zvláštním případem je tvrzení, že J(F) je hranicí vyplněné Juliovy množiny (protože pro polynomiální zobrazení je nekonečno superatraktivní pevný bod a vyplněná Juliova množina je doplňkem jejího povodí přitažlivosti). Navíc, vezmeme-li polynomické zobrazení se třemi různými přitahujícími se pevnými body, získáme příklad tří otevřených (přirozeně nespojených) množin v rovině se společnou hranicí.
Pokud otevřená množina protíná množinu Julia, pak, počínaje nějakým dostatečně velkým n , se obraz shoduje s celou množinou Julií . Jinými slovy, iterace roztahují libovolně malé sousedství v sadě Julia přes celý soubor Julia. $U$ $f^n(U\cap J) = f^n(U) \cap J$ $J$
Vzhledem k tomu, že k výše naznačenému roztažení dochází nejčastěji poměrně rychle, jsou holomorfní zobrazení konformní a množina Julia je v dynamice invariantní – ukazuje se, že má fraktální strukturu : její malé části jsou podobné velkým.
Jestliže Julia soubor je odlišný od celé Riemann koule , pak to nemá žádné vnitřní body .
Pro všechny body z Riemannovy koule, snad kromě dvou, je množinou limitních bodů posloupnosti úplných předobrazů Juliova množina. Tato vlastnost se používá v počítačových algoritmech pro konstrukci množiny Julia. $f^{-n}(z)$
Sullivanův teorém říká, že jakákoli spojená složka Fatouovy množiny je preperiodická. Věta o klasifikaci periodických složek Fatouovy množiny zase říká, že periodické složky jsou jednoho ze čtyř typů: pool přitažlivosti přitahujícího nebo superatraktivního pevného nebo periodického bodu, Fatouův lalok parabolického bodu, Siegelův kotouč a Hermanův prsten .

Související pojmy

Kvadratické mapování změnou souřadnic je vždy zmenšeno do tvaru . Ukazuje se, že množina Julia je spojena právě tehdy, když kritický bod z=0 (nebo ekvivalentně její obraz z=c ) nejde do nekonečna. Jestliže iterace 0 inklinují k nekonečnu, množina Julia (v tomto případě se shoduje s vyplněnou množinou Julia) se ukáže být homeomorfní ke Cantorově množině a má nulovou míru. V tomto případě se jmenuje Fatou dust (i přes matoucí název je to právě sada Julia - soubor chaotické dynamiky!). $z\mapsto P_2(z)$ $z\mapsto z^2 +c$

Množina parametrů c , pro kterou je připojena Juliova množina kvadratické dynamiky, se nazývá Mandelbrotova množina . Má také fraktálovou strukturu (a je pravděpodobně jedním z nejznámějších fraktálů).

Numerická konstrukce

Boundary Scan Method (BSM)

Má-li funkce f několik atraktorů (pevných nebo periodických), je Juliova množina hranicí pánve přitažlivosti pro kterýkoli z nich. Tato vlastnost je základem zobrazovacího algoritmu Julia set nazývaného metoda hraničního skenování (BSM). Skládá se z následujícího. Zvažte mřížku obdélníkových pixelů. Abychom určili, zda má být pixel namalován jako náležející do množiny Julia, vypočítá se obraz každého z jeho „rohů“ při působení velkého počtu iterací f. Pokud jsou obrázky od sebe daleko, pak rohy patří do pánví různých atraktorů. Z toho vyplývá, že hranice mezi bazény prochází tímto pixelem a je přemalován. Procházením všech pixelů získáme obrázek, který se blíží množině Julia.

Tato metoda může být také použita, když neexistují dva atraktory, ale existují Siegelovy disky , Ehrmanovy prstence nebo parabolické pánve. (Pokud dva blízké body zůstanou blízko, pak jsou jejich oběžné dráhy Ljapunovově stabilní a malé okolí těchto bodů patří do oblasti Fatou; jinak jsou v jejich blízkosti body množiny Julia.) Zároveň tato metoda funguje, když mapování má pouze jeden atraktor a téměř celá Riemannova koule je jeho přitažlivostí. (Například .) [1] $z\mapsto z^2+i$

Metoda výpočtu inverzní iterace (IIM)

Sada Julia je uzavřením spojení všech plných inverzních obrazů jakéhokoli odpudivého pevného bodu. Pokud tedy existuje účinný algoritmus pro výpočet inverzního mapování a je znám alespoň jeden odpudivý pevný bod, lze postupně vypočítat jeho inverzní obrazy a zkonstruovat množinu Julia. V každém kroku má každý bod tolik předobrazů, jako je mocnina f, takže celkový počet předobrazů roste exponenciálně a uložení jejich souřadnic vyžaduje hodně paměti. [1] V praxi se také používá následující modifikace: v každém kroku je vybrán jeden náhodný předobraz. Zároveň je však třeba vzít v úvahu, že takovýto algoritmus obchází množinu Julia nejednotně: některé oblasti lze dosáhnout pouze za velmi dlouhou (prakticky nedosažitelnou) dobu a ve výsledném grafu nebudou zobrazeny. . $f^{-1}$

Zajímavosti

Matematici dokázali, že libovolný uzavřený útvar v rovině lze aproximovat libovolně blízko pomocí Juliovy množiny pro vhodný polynom. Vědcům se mimo jiné jako ukázka vlastní techniky podařilo postavit docela dobré přiblížení siluety kočky. Jejich příklad podle vědců jasně demonstruje, že dynamiku polynomických (tedy polynomy daných) dynamických systémů lze uspořádat nejrozmanitějším způsobem. Říkají, že jejich příklad bude užitečný v teorii takových systémů [2] .

Galerie

Vyplněná Juliova množina pro zobrazení f ( z ) = z 2 −1. Osová symetrie indikuje nepřítomnost imaginární složky ve volném členu zobrazení f ( z )
Vyplněná Julia množina pro zobrazení f ( z ) = z 2 +0,28+0,0113 i . Víření proti směru hodinových ručiček indikuje kladnou imaginární složku ve volném členu zobrazení f ( z )
Vyplněná Julia sada pro f ( z ) = z 5 −0,549653+0,003 i
Vyplněná Julia sada pro f ( z ) = z 5 −0,549653+0,003 i (fragment)
Vyplněná Julia množina pro f ( z ) = cos z . Střed obrázku je počátek souřadnic 0+0 i , vodorovná perioda ornamentu je $\pi$
Vyplněná Julia množina pro f ( z ) = hřích z . Pokud obrázek otočíte o 90°, získáte vyplněnou Julii sadu pro f ( z ) = sh z

Odkazy

Milnor, J. Holomorfní dynamika. Úvodní přednášky. = Dynamika v jedné komplexní proměnné. Úvodní přednášky. - Iževsk: Výzkumné centrum "Regular and Chaotic Dynamics", 2000. - 320 s. - ISBN 5-93972-006-4 .
Jednoduchý program pro generování Julia sad (Windows, 370 kB)
Mandelbrot a Julia sedí ve FractalWorld

Poznámky

↑ 1 2 D. Saupe. Efektivní výpočet Juliových množin a jejich fraktální dimenze // Physica. - Amsterdam, 1987. - Vydání. 28D . - S. 358-370 . Archivováno z originálu 11. června 2007.
↑ Matematici aproximovali kočku pomocí Juliových sad . Získáno 29. září 2012. Archivováno z originálu 21. ledna 2021. (neurčitý)

fraktály
Charakteristika	fraktální dimenze Hausdorffův rozměr Lebesgueova dimenze rekurze sebepodobnost
Nejjednodušší fraktály	Fern Barnsley Sada Cantor dračí křivka Kochova křivka Houba Menger Koberec Sierpinski Sierpinského trojúhelník Křivka vyplňující prostor
podivný atraktor	Multifraktální
L-systém	Křivka vyplňující prostor
Bifurkační fraktály	Julia sada Ljapunovský fraktál Sada Mandelbrot Newtonovy bazény
Náhodné fraktály	Brownův pohyb brownian strom fraktální povrch Perkolační teorie
Lidé	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexandr Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Václav Sierpinski
související témata	Jak dlouhé je pobřeží Velké Británie? » Paradox pobřeží