Ermanův prsten

Ermanův prstenec je v holomorfní dynamice jedním z typů pevné nebo periodicky spojené složky domény Fatou . Takto připojená složka je topologicky ekvivalentní kruhu a dynamika mapování (nebo jeho první návratová iterace v případě periodické složky) musí být konjugována s iracionální rotací tohoto kruhu.

Konstrukce

Jeden ze způsobů, jak sestrojit mapování, jehož jednou ze součástí sady Fatou je prsten Hermann, je založen na úvahách o výrobcích Blaschke . Výrobky Blaschke jsou totiž mapami formy

f(z)=\lambda \prod _{j=1}^{n}{\frac {z-a_{j}}{1-{\bar {a_{j}}}z}}, \quad |\lambda |=1,\quad |a_{j}|\neq 1,\,

zachovejte jednotkovou kružnici a zachovejte na ní orientaci tehdy a pouze tehdy, když je mimo jednotkový disk sudý počet bodů . ${\displaystyle \{|z|=1\))$ $aj}$

Výběrem bodů lze zajistit, že omezení zobrazení f na tuto kružnici je difeomorfismus s diofantickým rotačním číslem . Herman-Yokkozův teorém v tomto případě říká, že f je analyticky konjugovaná s odpovídající rotací. Tato místní konjugace se dále rozšiřuje na hranici složky Fatou obsahující jednotkový kruh, který se tak ukazuje jako Hermanův prstenec. $aj}$

Příkladem realizace takové stavby je racionální mapování stupně 3,

f(z)=e^{2\pi it}\cdot {\frac {z^{2}(z-4)}{1-4z)),

kde konstanta je zvolena tak, že číslo rotace omezení f na jednotkové kružnici je . $t=0,6151732\dots$ $({\sqrt {5}}-1)/2$

Literatura

Milnor, J. Holomorfní dynamika. Úvodní přednášky. = Dynamika v jedné komplexní proměnné. Úvodní přednášky. - Iževsk: Výzkumné centrum "Regular and Chaotic Dynamics", 2000. - S. 189-194. — 320 s. - ISBN 5-93972-006-4 .