Rotační číslo

V teorii dynamických systémů , odvětví matematiky , rotační číslo orientace-zachování homeomorphism kruhu je průměr “počet rotací na iteraci” přes dlouhou iteraci bodu. Přesněji je to hranice poměru (nějak definovaného) „počtu otáček“ k počtu iterací.

Definice

Pro formální definici se místo homeomorfismu kruhu uvažuje jeho zvednutí , aby se kruh pokryl čárou . Smykové číslo tohoto zdvihu je definováno jako limit $f:S^{1}\to S^{1}$ $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z}$

\tau (F)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n)),

kde je libovolný bod. Rotační číslo f je pak definováno jako $x\in \mathbb {R}$

\rho (f):=\tau (F)\mod 1\,\in \mathbb {R} /\mathbb {Z}

Vlastnosti

Rotační číslo je invariantem topologické konjugace zachovávající orientaci a dokonce i polokonjugace pomocí zobrazení stupně 1: jestliže je zobrazení stupně 1 takové, že , kde jsou kruhové homeomorfismy, pak se čísla rotace a shodují. $h:S^{1}\to S^{1}$ $f\circ h=h\circ g$ $f,g$ $F$ $G$
Jak říká Poincarého teorém , rotační číslo je racionální právě tehdy, když má zobrazení periodický bod.
Denjoyův teorém říká, že pokud je zobrazení C2 - hladké a jeho rotační číslo je iracionální, pak je konjugováno s rotací o . $F$ $\rho (f)$ $F$ $\rho (f)$
Číslo rotace závisí nepřetržitě na homeomorfismu — zobrazení je spojité. $\rho :Homeo(S^{1})\to S^{1}$

Literatura

Katok A. B. , Hasselblat B. Úvod do moderní teorie dynamických systémů / přel. z angličtiny. A. Kononěnko za účasti S. Ferlegera. - M. : Factorial, 1999. - 768 s. — ISBN 5-88688-042-9 .