Krullova dimenze

Krullova dimenze je numerická charakteristika komutativních prstenců , největší délky řetězce vnořených primárních ideálů daného prstence. Ne nutně konečný dokonce pro noetherian prsteny .

Krullova dimenze nám umožňuje formulovat čistě algebraickou definici dimenze algebraické variety : dimenze afinní algebraické variety dané ideálem v polynomiálním kruhu je Krullova dimenze podílového kruhu . $já$ $R$ $R/I$

Definice

Délka řetězce hlavních ideálů formy:

{\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}

se bere jako , to znamená, že se uvažuje počet striktních inkluzí a ne počet ideálů. Krullův rozměr prstenu je maximální délka přes soubor všech řetězců hlavních ideálů . $n$ $R$ $R$

Pro primární ideál , jeden může definovat jeho codimension (také volal výšku nebo pozici), označovaný jako maximální délka řetězce primárních ideálů formy . $\mathfrak{p}$ $\operatorname{codim}(\mathfrak{p})$ $\mathfrak{p}_0\subsetneq \mathfrak{p}_1\subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_n\subseteq \mathfrak{p}$

Příklady

Rozměr libovolného pole je roven nule, obecněji je rozměr okruhu polynomů k [ x 1 , …, x n ] roven n . Navíc, jestliže R je noetherovský prstenec , jehož rozměr je roven n , pak rozměr prstence R [ x ] je roven n + 1. Bez Noetherovské hypotézy se může rozměr R [ x ] pohybovat od n +1 do 2 n +1.
Rozměr jakéhokoli hlavního ideálního prstenu je 1.
Integrální prstenec je pole právě tehdy, když je jeho rozměr nulový. Dedekindovy prsteny , které nejsou pole, mají rozměr 1.
Noetheriánský prsten je artinovský právě tehdy, když je jeho rozměr nula.
Celočíselné rozšíření prstenu má stejný rozměr jako původní prsten.
Krullův rozměr prstence R se rovná rozměru jeho spektra jako topologického prostoru, tedy maximální délce řetězce neredukovatelných uzavřených podmnožin.

Rozměr modulu

Pokud R je komutativní prstenec a M je modul R , pak Krullův rozměr M je definován jako Krullův rozměr podílového prstence anihilátorem modulu:

\operatorname{dim}_R M := \operatorname{dim}( R/\operatorname{Ann}_R(M))

kde Ann R ( M ) je jádro přirozeného zobrazení R → End R (M) (asociace prvku kruhu násobení tímto prvkem).

Ideální výška

Výška prvočíselného ideálu komutativního prstence je supremum délek řetězců prvočíselných ideálů obsažených v . Například výška primárního ideálu, který neobsahuje žádné jiné primární ideály, je 0. Krullův rozměr prstenu lze definovat jako supremum výšky nad souborem primárních ideálů. $\mathfrak p$ $R$ $\mathfrak p$ $R$

V případě noetherovského komutativního kruhu podle Krullovy věty výška ideálu generovaného n prvky nepřesahuje n .

Definici výšky lze rozšířit na libovolné ideály tím, že výšku ideálu definujeme jako minimum z výšek hlavních ideálů obsahujících daný ideál.

Viz také

Literatura

Atiyah M., McDonald I. Úvod do komutativní algebry. - Factorial Press, 2003 - ISBN 5-88688-067-4 .
Irving Kaplansky , Komutativní kruhy (revidované vydání), University of Chicago Press, 1974, ISBN 0-226-42454-5 . Strana 32.
Eisenbud, David (1995), Komutativní algebra s pohledem na algebraickou geometrii , sv. 150, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1

Dimenze prostoru
Prostory podle dimenzí	Nulový rozměr jednorozměrný 2D 3D čtyřrozměrný pětirozměrný šestirozměrný sedmirozměrný osmičková devítirozměrný n-rozměrný Negativní rozměr
Polytopy a postavy	Simplexní hyperkrychle tesseract Hyperobdélník (ortotop) Semihypercube Cross-polytope hypersféra
Typy prostorů	konečně-dimenzionální prostor Euklidovský prostor afinní prostor projektivní prostor Modul zdarma Rozdělovač Dimenze algebraické proměnné vesmírný čas
Jiné dimenzionální koncepty	Krullova dimenze Lebesgueova dimenze Indukční rozměr Zlomková dimenze ( Minkowského dimenze , Hausdorffova dimenze ) fraktální dimenze Stupně svobody
Matematika