Jednoduchý ideál

Prvočíslo je přirozené zobecnění konceptu prvočísla v teorii prstenu .

Jednou z nejdůležitějších konstrukcí komutativní algebry , využívající koncept prvočíselného ideálu, je lokalizace prstence .

Definice

Ideál v prstenu je řekl, aby byl jednoduchý jestliže prsten podílu je doména integrity s ohledem na to . $já$ $A$ $A/I$

Ekvivalentní formulace: jestliže a vyplývá z nebo , pak je primární ideál. $I\neq A$ $ab\in I$ $v I$ $b\in I$ $já$

Související pojmy

Soubor všech hlavních ideálů prstenu tvoří spektrum prstenu . Jeho definice také zahrnuje popis topologie a strukturního svazku lokálních prstenců , přeměnit je v afinní schéma , základní objekt algebraické geometrie . $A$ ${\mathrm {Spec}}A$

Vlastnosti

Maximální ideál prstenu (tj. správný ideál , který není obsažen v žádném správném ideálu) je prvočíslo. $já$ $A$

Důkaz

Opravdu, ať , . Uvažujme o ideálu . Protože je maximální, buď (což je nemožné, protože ) nebo . Ale pak , a proto, . $ab\in I$ $a\notin I$ $J=I+aA$ $já$ $J=I$ $a\notin I$ $J=A$ $1\in I+aA$ $b\in bI+baA=I$

Ideál je jednoduchý právě tehdy, když prvky jeho doplňku tvoří multiplikativní systém . Podmnožina kruhu s jednotkou se nazývá multiplikativní systém, pokud obsahuje jednotku, neobsahuje nulu a je uzavřena násobením. $já$
Separační teorém: Nechť je dán ideál v komutativním kruhu s jednotou , která se neprotíná s multiplikativním systémem . Pak existuje primární ideál obsahující a disjunktní ze systému . $A$ $já$ $S_{0}$ $I_0$ $já$ $S_{0}$
Radikální teorém: Průsečík všech prvočísel obsahujících ideál se shoduje s radikálem ideálu . Radikálem ideálu je množina . Je to také ideál prstenu . $já$ $já$ $já$ ${\sqrt {I}}=\{f\v A:\,\existuje n\v \mathbb {N} \,\,f^{n}\v I\}$ $A$

Důkaz

Nechť je primární ideál obsahující . Pokud prvek patří k radikálu , pak některé jeho mocniny patří k ideálu , a proto nemohou patřit k doplňku k , protože tento doplněk je multiplikativní systém (pokud obsahuje , pak obsahuje i všechny jeho mocniny). Patří tedy ke všem primárním ideálům obsahujícím ideál . A naopak: nechť nepatří k radikálnímu . Pak množina všech jejích mocnin je multiplikativní systém, který se neprotíná s . Podle předchozí věty existuje prvočíselný ideál, který obsahuje a neobsahuje žádnou z mocnin prvku . Nepatří tedy ke všem primárním ideálům obsahujícím ideál . $J$ $já$ $F$ ${\sqrt {I}}$ $I\subset J$ $F$ $J$ $F$ $F$ $já$
$F$ ${\sqrt {I}}$ $já$ $já$ $F$ $F$ $já$

Příklady

V kruhu celých čísel má každý prvočíslo tvar , kde je prvočíslo . $A=\mathbb {Z}$ $pa$ $p$

Důkaz

Dovolit být nejmenší kladné číslo v . Vezměme libovolný a vydělme zbytkem : , kde . Vzhledem k výběru máme , tzn. všechny prvky jsou dělitelné . Tedy, . $a\in I$ $já$ $b\in I$ $A$ $\quad b=a*g+r$ $0\leq r<a$ $A$ $r=0$ $já$ $A$ $I=a\mathbb {Z}$

Předpokládejme nyní . Protože to vyplývá z nebo , je prvočíslo. $I=pA$ $ab\in pA$ $a\in pA$ $b\in pA$ $p$

V kruhu polynomů v jedné proměnné má každý prvočíslo tvar , kde je ireducibilní nad polynomem. $A=\mathbb {R} [x]$ $pa$ $p$ $\mathbb {R}$
V polynomiálním kruhu je množina primárním ideálem. $A=\mathbb {Q} [x,y]$ $I=xA+yA$

Důkaz

Jakýkoli prvek může být reprezentován jako , kde jsou nějaké polynomy, a je jednoznačně určen prvkem . Podmínka je pak ekvivalentní podmínce , která implikuje buď , nebo . $a\in \mathbb {Q} [x,y]$ $a=a_{0}+a_{1}x+a_{2}y$ $a_{1},a_{2}\in \mathbb {Q} [x,y]$ $a_{0}\in \mathbb {Q}$ $A$ $ab\in I$ $a_{0}b_{0}=0$ $a_{0}=0$ $b_{0}=0$

Nekomutativní případ

Pojem primárního ideálu komutativního prstence je speciálním případem pojmu primárního ideálu: primárním ideálem (ne nutně komutativního) prstence je jakýkoli ideál (který se neshoduje s celým prstencem) takový, že pokud dva prvky jsou takové, že , potom nebo , nebo . $já$ $A$ $a,b\in A$ $\forall r\in A\arb\in I$ $v I$ $b\in I$

Literatura

Kurz algebry Vinberg E. B. - 3. vyd. - M. : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 výtisků. — ISBN 5-88688-060-7 .