Nastavit rozdíl

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 25. března 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Rozdíl dvou množin je množinově teoretická operace, jejímž výsledkem je množina zahrnující všechny prvky první množiny, které nejsou zahrnuty do množiny druhé. Obvykle je rozdíl množin a označen jako , ale někdy můžete vidět zápis a . $A$ $B$ $A\setminus B$ $AB$ $A\sim B$

Nechť a být dvě množiny specifikované v definici, pak je definován jejich rozdíl (v jazyce teorie množin): $A$ $B$

A\setminus B=\{x\in A\mid x\ne \in B\}.

Tato množina se často nazývá doplněk množiny k množině . (pouze když sada B patří celá do sady A) $B$ $A$

Obvykle se předpokládá, že se uvažují podmnožiny stejné množiny, která se v tomto případě nazývá vesmír , řekněme . Pak můžeme společně s každou množinou uvažovat její relativní doplněk , který se často označuje vynecháním ikony vesmíru: $X$ $A\podmnožina X$ $X\setminus A$ $\setminus A$ ; zároveň se říká, že je (zjednodušeně) doplňkem množiny (aniž by bylo specifikováno, čeho je daná množina doplňkem). $\setminus A$

S ohledem na tuto poznámku se ukazuje, že , tedy doplněk množiny k množině je průnikem množiny a doplňku množiny . $A\setminus B=A\cap (\setminus B)$ $B$ $A$ $A$ $B$

Používá se také operátorový zápis tvaru , nebo (pokud se vynechá univerzální množina) , . $A^{\complement }$ $\doplňte _{X}A$ $\doplňek A$ $\overline A$ $A'$

Operace rozdílu množin není podle definice symetrická vzhledem k množinám, které jsou v ní obsaženy. Symetrická verze množinově teoretického rozdílu dvou množin je popsána konceptem symetrického rozdílu .

Příklady

Nechte _ Pak $A=\{1,\;2,\;3,\;4\},\;B=\{3,\;4,\;5,\;6,\;7\}$ $A\setminus B=\{1,\;2\},\;B\setminus A=\{5,\;6,\;7\}.$
Nechť je množina všech reálných čísel , množina racionálních čísel a množina celých čísel . Pak - množina všech iracionálních čísel a - zlomkové . $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $\mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z}$

Vlastnosti

Nechť jsou libovolné množiny. $ABECEDA$

Odečtením množiny od sebe samého vznikne prázdná množina :

A\setminus A=\varnothing .

Vlastnosti prázdné množiny s ohledem na rozdíl:

\varnothing \setminus A=\varnothing ;

A\setminus \varnothing =A.

Rozdíl dvou sad je obsažen v menuendu:

A\setminus B\podmnožina A.

$A\pohár (B\setminus A)=A\pohár B$ . Z tohoto vzorce vyplývá, že operace rozdílu není inverzní operace součtu (tedy sjednocení).
$A\setminus B=A\setminus (A\cap B).$
Rozdíl se neprotíná se subtrahendem:

A\cap (B\setminus A)=\varnothing .

Rozdíl množiny se rovná prázdné množině právě tehdy, když je minuend obsažen v subtrahendu:

A\setminus B=\varnothing \Leftrightarrow A\subset B.

De Morganovy zákony v množinové algebře jsou formulovány takto:

A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C);

A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C).

$(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C);$
$A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\hrnek (A\cap C);$
$A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\setminus C;$
$(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A);$
$(B\setminus A)\hrnek C=(B\hrnek C)\setminus A$ pokud . $C\cap A=\varnothing$
Pokud a pak $A\podmnožina B$ $C\podmnožina D$ $(A\setminus D)\subset (B\setminus C);$
Pokud , tak pro jakýkoli . Tento vztah má svou analogii v aritmetice : jestliže , pak pro jakýkoli . $A\podmnožina B$ $C$ $(C\setminus B)\podmnožina (C\setminus A)$ $a\leqslant b$ $C$ $(cb)\leqslant (ca)$

Počítačové implementace

V balíku Mathematica je operace implementována pomocí funkce Complement . V balíku MATLAB je implementován také pomocí funkce setdiff.

V programovacím jazyce Pascal (stejně jako v jeho objektovém rozšíření Object Pascal ) je operace množiny rozdílu reprezentována operátorem "−", oba operandy a jehož výsledkem jsou hodnoty typu set.

V programovacím jazyce Python je operace implementována pomocí metody diff na objektu typu set.

Nastavit doplněk

Definice

Pokud z kontextu vyplývá, že všechny uvažované množiny jsou podmnožinami nějakého pevného vesmíru , pak je operace sčítání definována: $X$

A^{\komplement }=X\setminus A\equiv \{x\in X\mid x\ne \in A\}.

Vlastnosti

Operace komplementu je unární booleovská operace . $2^{X}$
Doplňkové zákony: [1]

$A\cup A^{\complement }=X;$
$A\cap A^{\complement }=\varnothing .$

Konkrétně, pokud oba a nejsou prázdné , pak je oddíl .

A

A^{\complement }

\{A,\;A^{\doplňte }\}

X

$X^{\complement }=\varnothing ;$
$\varnothing ^{\complement }=X;$
$(A\subset B)\Leftrightarrow (B^{\complement }\subset A^{\complement }).$

Operace komplementu je involucí :

(A^{\complement })^{\complement }=A.

De Morganovy zákony :

$(A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement };$
$(A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.$

Nastavte rozdílové zákony:

$A\setminus B=A\cap B^{\komplement };$
$(A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B.$

Kódování

grafém	název	Unicode	HTML	Latex
∁	DOPLNĚK	U+2201	∁	\complement

Viz také

Operace na soupravách

Literatura

Lavrov I. A. , Maksimova L. L. Problémy v teorii množin, matematické logice a teorii algoritmů. - M. : Fizmatlit, 2004. - 256 s.
Kuratovský K. , Mostovský A. Teorie množin/Per. z angličtiny. M. I. Stručně, ed. A. D. Taimanová. -M.: Mir, 1970. - S. 16, 20-22.

Poznámky

↑ Iljin V.A. , Sadovničij V.A. , Sendov Bl. H. _ Kapitola 2. Reálná čísla // Matematická analýza / Ed. A. N. Tichonova . - 3. vyd. , revidováno a doplňkové - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 66. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .

Deriváty latinského písmene C, c
Písmena	Çç Ç̌ç̌ Ç̇ç̇ Ćć Ĉĉ Ċċ Čč Č̓č̓ C Ƈƈ Ȼȼ Ḉḉ ɕ ' ʗ̃ ʗ̬ 𝼏 ᴄ Ꜿꜿ Ꞓꞓ Ꞔꞔ 𝼝 Ↄↄ / C̀c̀ C̆c̆ C̨̆c̨̆ C C C̓c̓ C̈c̈ C̄c̄ C̃c̃ Čič C̱c̱ C̣c̣ C̦c̦ Č̣č̣ Č̈č̈ c̋c̋ C ʨ
Symboly	₵ ₡ ¢ ℂ 𝔠 © 🄯 ¶•⸿ ∁ 𝄡 𝇐 ℃ ₠ ₢ 𝄊 Ⓒⓒ ⒞