Ideální radikál

V komutativní algebře je radikálem ideálu I ideál tvořený všemi prvky x tak, že nějaká mocnina x patří k I. Radikální ideál je ideál, který se shoduje se svým vlastním radikálem.

Definice

Radikál ideálního I v komutativním kruhu R , označený , je definován jako ${\sqrt {I}}$

{\sqrt {I}}=\{r\in R\mid \exists n\in\mathbb {N} \,\,\,r^{n}\in I\}

Abychom dosáhli radikálu ideálu, musíme intuitivně vzít kořeny všech možných stupňů z jeho prvků. Ekvivalentní definicí radikálu ideálu I je inverzní obraz nulového radikálu pod faktorizační mapou. To se také ukazuje jako ideál. $R/I$ ${\sqrt {I}}$

Příklady

V kruhu celých čísel je radikál hlavního ideálu ideálem generovaným součinem všech prvočíselných dělitelů . $(A)$ $A$
Radikál primárního ideálu je jednoduchý . Pokud je radikál ideálu maximální , pak je tento ideál primární (pokud je radikál jednoduchý, pak ideál nemusí být nutně primární).
V jakémkoli komutativním kruhu pro prvočíslo [1] . Zejména každý primární ideál je radikální. ${\sqrt {P^{n}}}=P$ $P$

Vlastnosti

${\sqrt {{\sqrt {I}}}}={\sqrt {I}}$ . Navíc je nejmenší radikální ideál obsahující I . ${\sqrt {I}}$
${\sqrt {I}}$ je průsečíkem všech prvotních ideálů obsahujících I . Zejména nulový radikál je průsečíkem všech prvotních ideálů.
Ideál je radikální právě tehdy, když jeho podílový kruh neobsahuje netriviální nilpotenty .

Aplikace

Hlavní motivací pro studium radikálů je jejich výskyt ve slavné Hilbertově nulové větě z komutativní algebry . Nejjednodušší formulace této věty je následující: pro jakékoli algebraicky uzavřené pole a jakýkoli konečně generovaný ideál v polynomickém kruhu v proměnných nad polem platí následující rovnost: $k$ $n$ $k$

\operatorname {I}(\operatorname {V}(J))={\sqrt J},

kde

\operatorname {V}(J)=\{x\in k^{n}\ |\ f(x)=0~\forall f\in J\}

\operatorname {I}(S)=\{f\in k[x_{1},x_{2},\ldots x_{n}]\ |\ f(x)=0~\forall x\in S\ }.

Poznámky

↑ Atiyah a McDonald, 2003 , Návrh 4.2.

Literatura

Atiyah M. , McDonald I. . Úvod do komutativní algebry. - M .: Factorial Press, 2003. - ISBN 5-88688-067-4 .
Eisenbud, David. . Komutativní algebra s pohledem na algebraickou geometrii. - Springer-Verlag, 1995. - (Absolventské texty z matematiky, sv. 150). — ISBN 0-387-94268-8 .