Konečně vygenerovaný ideál

Konečně generovaný ideál asociativního kruhu je ideál , který je generován konečným počtem jeho prvků. $já$ $R$

V případě, kdy je kruh s jednotkou, konečné generování pro jednostranný (například pravý) ideál kruhu znamená, že existuje konečná množina prvků , takže jakýkoli prvek z může být reprezentován jako součet , kde jsou některé prvky prstenu. Tato definice plně odpovídá definici konečně generovaného modulu nad prstencem, pokud za pravý ideál považujeme pravý modul přes prstenec . V souladu s tím bude oboustranný ideál konečně generován, pokud existuje konečná množina prvků , takže jakýkoli prvek z může být reprezentován jako součet , kde jsou některé prvky kruhu . $R$ $já$ $R$ $i_{1},\ldots ,i_{n}\in I$ $já$ ${\displaystyle i_{1}a_{1}+\ldots +i_{n}a_{n))$ $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ $já$ $R$ $i_{1},\ldots ,i_{n}\in I$ $já$ ${\displaystyle a_{1}i_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}i_{n}b_{n))$ $a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n}\in R$ $R$

V obecném případě, když prsten nemusí nutně obsahovat jednotku, pravý ideál je konečně generován, pokud existuje konečná množina prvků , takže jakýkoli prvek z může být reprezentován jako součet , kde jsou některé prvky kruhu, . Dvoustranný ideál se nazývá konečně generovaný, pokud existuje konečná množina prvků taková, že jakýkoli prvek z lze reprezentovat jako součet , kde jsou některé prvky prstence , . $R$ $i_{1},\ldots ,i_{n}\in I$ $já$ ${\displaystyle i_{1}a_{1}+\ldots +i_{n}a_{n}+m_{1}i_{1}+\ldots +m_{n}i_{n))$ $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ $m_{1},\ldots ,m_{n}\in \mathbb {Z}$ $i_{1},\ldots ,i_{n}\in I$ $já$ $a_{1}i_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}i_{n}b_{n}+c_{1}i_{1}+\ldots +c_{n}i_{ n}+i_{1}d_{1}+\ldots +i_{n}d_{n}+m_{1}i_{1}+\ldots +m_{n}i_{n}$ $a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n},c_{1},\ldots ,c_{n},d_{1},\ldots, d_{n}\in R$ $R$ $m_{1},\ldots ,m_{n}\in \mathbb {Z}$

Viz také

Ideál