Primární ideál
Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. srpna 2013; ověření vyžaduje 1 úpravu .V komutativní algebře se ideální Q komutativního kruhu A nazývá primární , pokud se neshoduje s celým kruhem, a pro jakýkoli prvek Q tvaru xy je buď x nebo y n pro nějaké n>0 také prvkem Q. Například v kruhu celých čísel Z je ideál prvočíslo právě tehdy, když má tvar ( p n ), kde p je prvočíslo .
Primární ideály jsou důležité v teorii komutativních prstenců, protože každý ideál noetherovského prstenu má primární rozklad, to znamená, že jej lze zapsat jako průsečík konečného počtu primárních ideálů. Tento výsledek je známý jako Lasker-Noetherova věta .
Primární ideály jsou obvykle brány v úvahu v teorii komutativních prstenů, takže v následujících příkladech se předpokládá, že prsten je komutativní as jednotkou.
Příklady a vlastnosti
- Jakýkoli primární ideál je primární.
- Ideál je prvočíslo tehdy a jen tehdy, když je jakýkoli nulový dělitel v podílovém kruhu ve vztahu k němu nilpotentní .
- Jestliže Q je primární ideál, pak jeho radikál P je jednoduchý. V tomto případě se Q nazývá P -primární.
- Jestliže P je maximální prvočíslo, pak jakákoli mocnina P je primárním ideálem. Ne všechny P- primární ideály jsou však mocniny P , například ideál ( x , y 2 ) je P - primární pro P = ( x , y ) v kruhu k [ x , y ], ale není a síla P. _
- Jestliže A je noetherovský kruh a P je prvočíslo, pak jádro zobrazení od A k jeho lokalizaci pomocí ideálního P je průsečíkem všech P -primárních ideálů. [jeden]
Poznámky
- ↑ Atiyah-McDonald, důsledek 10.21