Noetheriánský prsten

Noetherian ring je druh prstenů , zobecnění prstenu hlavních ideálů . Pojmenována po Emmy Noetherové .

Definice

Noetheriánský prsten je asociativní prsten s prvkem identity, ve kterém je splněna následující podmínka pro přerušení vzestupných řetězců :

každá posloupnost ideálů (u nekomutativních kruhů, levých ideálů) se stabilizuje, to znamená počínaje nějakým .

p_1\podmnožina p_2\podmnožina\tečky\podmnožina p_n\podmnožina \tečky

p_n=p_{n+1}=\tečky,

n

Pokud v definici nahradíme rostoucí řetězce klesajícími, dostaneme definici artiniánského kruhu .

Pole , protože má pouze dva ideály - a pole samotné. $\{0\}$
Prsten hlavních ideálů .
- Například polynomický kruh v jedné proměnné nad polem. (Nicméně ne každý noetheriánský prsten je hlavním ideálním prstenem.)
Polynomiální kruhy v konečném počtu proměnných v poli jsou noetherovské (nejsou to však hlavní ideální kruhy pro více než 1 proměnnou).

Prsten je noetherovský tehdy a jen tehdy, když nějaká neprázdná množina ideálů má maximální prvek. $A$
Prstenec je noetherovský právě tehdy, když je každý ideál generován s konečnou platností.
Hilbertův základní teorém : pro jakýkoli noetherovský kruh je polynomický kruh noetherovský. $A$ $Sekera]$
- Zejména je také noetherian. $A[x_1, \ldots, x_n]$
V komutativních Noetherových prstencích platí Lasker-Noetherova věta , podle níž každý ideál připouští primární rozklad . $A$