Hilbertova základní věta

Hilbertův základní teorém  je jedním z hlavních teorémů o Noetherových prstencích :

Jestliže R  je noetherovský kruh , pak polynomický kruh R [ x ] je také noetherovský.

Důkaz

Nechť F  je ideál v R [ x ] (zde budeme předpokládat, že R je komutativní, pro nekomutativní kruhy je celý důkaz zachován, je pouze nutné předpokládat, že všechny ideály jsou ponechány ), a p  je množina vedoucí koeficienty polynomů patřících k tomuto ideálu. Dokažme, že p  je ideál.

Pokud jsou a a b  prvky p , pak a a b jsou vedoucí koeficienty některých polynomů v F  - f ( x ) = ax n + ... ag ( x ) = bx m + ... Jestliže, například m ⩾ n , pak a + b je vedoucí koeficient polynomu x m - n f ( x ) + g ( x ) náležejícího F . Jestliže a je vedoucí koeficient f ( x ) , pak ar je vedoucí koeficient rf ( x ) z ideální F pro jakýkoli prvek kruhu r . P je tedy  ideál, a protože R  je noetherovský kruh, p je konečně generováno některými prvky a 1 , a 2 … a n , což jsou v tomto pořadí vedoucí koeficienty polynomů f 1 , f 2 … f n z F . Nechť největší stupeň těchto polynomů je r . Můžeme předpokládat, že stupeň každého z těchto polynomů je roven r (pokud je roven m ⩽ r , pak to uděláme vynásobením x r - m ).

Podobně je dokázáno, že p k  — množina vedoucích koeficientů polynomů v F , jejichž stupeň je roven k , v kombinaci s nulou kruhu — je ideál a díky noetherovské vlastnosti je jistě generován prvky a k 1 , a k 2 … . Nechť jsou vedoucí koeficienty polynomů f k 1 , f k 2 … stupně k od ideálu F .

Dokažme, že polynomy f 1 , …, f i , …, f 1 1 , …, f 1 i , …, f r -1 1 , …, f r-1 i … generují ideál F . Nechť f ( x ) = ax s + ...  je nějaký polynom ideálu F , pak a patří p . Je-li jeho stupeň s ⩾ r , pak protože a tím, co bylo dokázáno, je lineární kombinací a = r 1 a 1 + r 2 a 2 + … r n a n vedoucích členů polynomů f 1 , f 2 … f n stupně r , pak dostaneme takové, že f ( x ) − r 1 x s − r f 1 − r 2 x s-r f 2 − … − r n x s − r f n je polynom stupně menšího než s a také patřící k ideálu F . Opakováním této operace několikrát v případě potřeby lze dospět k polynomu stupně ⩽ r .

Pro polynom stupně ⩽ r se použije stejný postup, ale s použitím polynomů f k 1 , f k 2 … jejichž vedoucí koeficienty generují ideální p k . Dále se postup opakuje, dokud nedosáhneme nulového polynomu.

Důsledky

Postupnou aplikací věty můžeme dokázat, že okruh polynomů v n proměnných R [ x 1 , …, x n ] je noetherovský.

Prstenec R [ u 1 , …, u n ] , konečně generovaný přes noetherovský kruh R , je také noetherovský (jako podílový kruh polynomického kruhu R [ x 1 , …, x m ] ).

Literatura

Viz také