Operátor Hilbert-Schmidt

Hilbert-Schmidtův operátor je omezený operátor na Hilbertově prostoru s konečnou Hilbert-Schmidtovou normou , tj. pro který existuje ortonormální báze v , takže $A$ $H$ $\{e_i\dvojtečka i \in I\}$ $H$

\sum_{i\in I} \|Ae_i\|^2 < \infty.

Pokud to platí v nějaké ortonormální bázi, pak to platí v jakékoli ortonormální bázi.

Hilbert-Schmidtův skalární součin

Nechť a být dva Hilbert-Schmidt operátory. Hilbert-Schmidtův skalární součin je definován jako $A$ $B$

\langle A,B \rangle_\mathrm{HS} = \operatorname{tr}\,A^T\!B = \sum_{i \in I} \langle Ae_i, Be_i \rangle.

kde označuje stopu operátora. Norma vyvolaná takovým vnitřním produktem se nazývá Hilbert-Schmidtova norma : $\operatorname{tr}$

\lVert A \rVert_\mathrm{HS}^2 = \sum_{i \in I} \lVert Ae_i \rVert^2.

Tato definice nezávisí na volbě ortonormálního základu a je podobná Frobeniově normě pro operátory v konečněrozměrném vektorovém prostoru.

Vlastnosti

Hilbert-Schmidtovy operátory tvoří oboustranný *-ideál v Banachově algebře omezených operátorů na . Hilbert-Schmidtovy operátory tvoří množinu uzavřenou v topologii indukované normou na , právě když je konečná. Tvoří také Hilbertův prostor. Lze ukázat, že je přirozeně izomorfní k tenzorovému součinu Hilbertových prostorů $H$ $H$ $H$

H^* \otimes H,

kde je prostor konjugovaný s . $H^*$ $H$

Příspěvek Davida Hilberta k vědě
prostory	Hilbertův prostor PředHilbertův prostor Gilbertova cihla
axiomatika	Hilbertova axiomatika
Věty	Hilbertova věta 90 Hilbertova základní věta Hilbertova nulová věta Hilbert-Schmidtova věta
Operátoři	Hilbertova transformace Operátor Hilbert-Schmidt
Obecná teorie relativity	Einstein-Hilbertovy rovnice " Hilbert a rovnice gravitačního pole "
jiný	Hilbertovy problémy Hilbertova křivka Hilbertova matice Problém Hilbert-Arnold Hilbertova řada a Hilbertův polynom Paradox "Grand Hotel"