Banachova algebra

Banachova algebra nad komplexním nebo skutečným polem je asociativní algebra , což je Banachův prostor . V tomto případě musí být násobení v souladu s normou:

\forall x, y \in A , \|x \, y\| \ \leq \|x \| \, \| y\|

Tato vlastnost je vyžadována pro kontinuitu operace násobení s ohledem na normu.

Banachova algebra se nazývá jednotková nebo Banachova algebra s jednotkou , pokud má jednotku (tj. takový prvek , který platí pro všechny ). V tomto případě se obvykle vyžaduje, aby norma jednotek byla rovna 1. Pokud jednotka existuje, pak je jedinečná. Libovolnou Banachovu algebru lze izometricky vložit do její odpovídající jednotkové Banachovy algebry jako uzavřený oboustranný ideál . $\mathbf{1}$ $x\v A$ $x\mathbf{1}=\mathbf{1} x=x$ $A$ $A_e$

Banach algebra je řekl, aby byl komutativní jestliže operace násobení v tom je komutativní .

Příklady

Obory komplexních čísel nebo reálných čísel - as ohledem na standardní operace sčítání a násobení. Jedná se o jednotkové komutativní algebry. $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$
Algebry komplexních nebo reálných matic s ohledem na násobení matic a normu submultiplikativní matice .
Čtvercová algebra je skutečná algebra s normou, modulem.
$C( \Omega)$ je algebra spojitých funkcí na kompaktní množině s ohledem na bodové násobení vzhledem k nadnormě . Obecnějším příkladem je prostor funkcí s komplexní hodnotou mizející v nekonečnu, kde je lokálně kompaktní prostor . $C_0( \Omega)$ $\Omega$
Algebra omezených operátorů působící na Banachův prostor s ohledem na operátorovou normu a složení jako násobení. Množina kompaktních operátorů s ohledem na stejné operace je v této algebře uzavřený ideál.
Jestliže je lokálně kompaktní Hausdorffova topologická grupa s Haarovou mírou , pak Banachův prostor měřících integrovatelných komplexních funkcí na je Banachova algebra s ohledem na násobení-konvoluci, definovanou vzorcem $G$ $\mu$ $L_1(G)$ $\mu$ $G$

(xy)(g) = \int_G x(h) y(h^{-1}g) \, \mathrm{d}\mu(h), \; g \v G

$L_1(\mathbb R)$ je algebra funkcí sčítatelných na přímce s konvolucí jako násobení. Toto je speciální případ předchozího příkladu.
C*-algebra je algebra s * -involucí kompatibilní s normou: $\forall a \ ||a^*a||=||a||^2$

Vlastnosti

Některé elementární funkce lze definovat pomocí mocninných řad pro prvky Banachovy algebry. Konkrétně lze definovat exponent prvku Banachovy algebry, goniometrické funkce a obecně jakoukoli celou funkci . Pro prvky Banachovy algebry zůstává v platnosti vzorec pro součet nekonečně klesající geometrické posloupnosti ( Neumannova řada ) .

Množina invertibilních prvků algebry je otevřená množina . Navíc zobrazení , které spojuje každý invertibilní prvek s inverzí, je homeomorfismus . Jedná se tedy o topologickou skupinu. $\mathrm{Inv}(A)$ $A$ $\mathrm{Inv}$ $\mathrm{Inv}(A)$

V jednotkové algebře nemůže být jednotka komutátorem: pro libovolné x , y ∈ A. Z toho vyplývá, že se také nejedná o komutátor. $xy - yx \ne \mathbf{1}$ $\lambda \mathbf{1}, \ \lambda \ne 0$

Platí Gelfandova – Mazurova věta : každá jednotková komplexní Banachova algebra, ve které jsou všechny nenulové prvky invertibilní, je izomorfní . $\mathbb {C}$

Spektrální teorie

V unitálních Banachových algebrách je zaveden pojem spektra, který rozšiřuje pojem spektra operátora na obecnější třídu objektů.

Prvek algebry se říká , že je invertibilní , pokud existuje prvek takový, že . Spektrum prvku je množina taková , že prvek je nevratný. Spektrum libovolného prvku unitární komplexní Banachovy algebry je neprázdná kompaktní množina. Na druhou stranu, pro jakoukoli kompaktní množinu se spektrum prvku z algebry definované vzorcem shoduje s , takže neexistují žádná další omezení spektra prvku v libovolné Banachově algebře. $v A$ $A$ $a^{-1} \in A$ $aa^{-1}=a^{-1}a=\mathbf{1}$ $\sigma(a)$ $A$ $\lambda \in \mathbb{C},$ $a-\lambda \mathbf{1}$ $K \subset \mathbb{C}$ $w$ $C(K)$ $w(z)=z$ $K$

Spektrální poloměr prvku je veličina $\mathrm{r}(x)$ $x\v A$

\mathrm{r}(x) = \up \{ |\lambda| : \lambda \in \sigma(x) \}

Platí Beurling - Gelfandův vzorec pro spektrální poloměr :

\mathrm{r}(x) = \lim_{n \to \infty} \|x^n\|^{1/n}.

Solventní množina prvku se nazývá množina . Solventní množina prvku Banachovy algebry je vždy otevřená. Rozpustnost prvku je funkcí komplexní proměnné definované vzorcem . Resolvent prvku Banachovy algebry je holomorfní funkce . $v A$ $\rho(a) = \mathbb{C} \setminus \sigma(a)$ $v A$ $R_a \colon \rho(a) \to A$ $R_a(\lambda) = (\lambda\mathbf{1} - a)^{-1}$

Jestliže je holomorfní funkce v okolí spektra , lze ji určit podle vzorce $F$ $D\subset {\mathbb {C}}$ $\sigma(a)$ $f(a) \in A$

f(a) = \frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma f(\lambda) R_a(\lambda) \, \mathrm{d}\lambda

kde je rektifikovatelný Jordanův obrys ležící v , obsahující spektrum prvku a orientovaný kladně, a je rezolvent prvku . Zejména lze tento vzorec použít k určení exponentu prvku z Banachovy algebry. $\gamma$ $D$ $X$ $R_{a}$ $A$

Ideály a postavy

Nechť A je jednotková komutativní Banachova algebra nad polem komplexních čísel. Znak χ algebry A je nenulový lineární funkcionál , který má multiplikativní vlastnost: pro libovolné a , b ∈ A , χ( ab ) = χ( a )χ( b ) a χ( 1 ) = 1 platí. To znamená, že znak je nenulový homomorfismus algeber A a . Lze ověřit, že každý znak v Banachově algebře je spojitý a jeho norma je 1. $\mathbb {C}$

Znakové jádro je maximálním ideálem v A . Jestliže je maximální ideál, pak je kvocientová algebra pole a Banachova algebra, pak podle Gelfand-Mazurovy věty je izomorfní k . Proto lze každému maximálnímu ideálu přiřadit jedinečný znak χ takový, že ker χ = . Tento znak je definován jako složení faktorového zobrazení a izomorfismu v . Tak je vytvořena bijekce mezi množinou znaků a množinou maximálních ideálů . $\mathfrak{m}$ $A/\mathfrak{m}$ $\mathbb {C}$ $\mathfrak{m}$ $\mathfrak{m}$ $A/\mathfrak{m}$ $\mathbb {C}$

Množina všech znaků se nazývá prostor maximálních ideálů nebo spektrum algebry A a označuje se Spec A . Tato množina může být vybavena topologií zděděnou ze slabé* topologie (topologie bodové konvergence ) v duálním prostoru A * . Z Banach-Alaogluovy věty a uzavřenosti Spec A vyplývá, že Spec A je kompaktní Hausdorffův topologický prostor .

Gelfandova transformace prvku algebry A je spojitá funkce definovaná vzorcem pro všechny znaky χ. Gel'fandova transformace provádí kontrakční homomorfismus algebry A na algebru C(Spec A) spojitých funkcí na kompaktní množině. $A$ $\hat{a} \colon \mathrm{Spec}\, A \to \mathbb{C}$ $\hat{a}(\chi) = \chi(a)$

Radikál algebry A je průsečíkem všech jejích maximálních ideálů. Pokud se radikál skládá pouze z nuly, říká se, že algebra A je polojednoduchá . Jádro Gelfandovy transformace se shoduje s radikálem algebry, takže Gelfandova transformace je injektivní právě tehdy, když je algebra A polojednoduchá. Každá semijednoduchá komutativní Banachova algebra s jednotou se tedy shoduje až po izomorfismus s nějakou algebrou funkcí spojitých na kompaktní množině – s obrazem Gelfandovy transformace.

Literatura

Normované prsteny Naimark M. A. — M .: Nauka, 1968. — 664 s.
Helemsky A. Ya Přednášky o funkcionální analýze. - M. : MTSNMO, 2004. - ISBN 5-94057-065-8 .
Helemsky A. Ya Banachs a polynormed algebras: obecná teorie, reprezentace, homologie. — M .: Nauka, 1989. — ISBN 5-02-014192-5 .