Noetheriánský modul

Noetheriánský modul je modul, ve kterém je splněna podmínka přerušení rostoucích řetězců pro jeho submoduly uspořádané zahrnutím.

Historicky byl Hilbert prvním matematikem, který prozkoumal vlastnosti finitně generovaných submodulů. Zvláště, on dokázal Hilbertův základní teorém , podle kterého nějaký ideál v polynomial prstenu v několika proměnných je finitely generován (tato vlastnost je ekvivalentní k bytí Noetherian). Noetheriánský majetek byl však pojmenován po Emmy Noetherové , která si jako první uvědomila rozsah jeho důležitosti.

Ekvivalentní definice a vlastnosti

Existuje několik ekvivalentních definic noetheriánského modulu:

Libovolná posloupnost submodulů formuláře se ustálí, tedy vycházet z některých $M_{1}\subsetneq M_{2}\subsetneq M_{3}\subsetneq \ldots \qquad (1)$ $n,\;M_{n}=M_{{n+1}}=\ldots .$
Jakákoli neprázdná sada submodulů M má maximální prvek . Tato podmínka je ekvivalentní první pro jakoukoli částečně uspořádanou množinu (důkaz používá axiom výběru ).
Každý submodul modulu M je definitivně generován .

Poslední definice je obzvláště užitečná a důkaz její ekvivalence s původní definicí je elementární:

Pokud modul splňuje vlastnost z poslední definice, pak také splňuje vlastnost z první. Pokud je totiž nějaký submodul generován s konečnou platností, pak vezmeme-li modul, který je spojením všech submodulů řetězce (1), máme, že je generován, řekněme, prvky . Pak existuje nějaký prvek řetězce obsahující tato x i , a proto se rovná sjednocení všech M i . Odtud $x_{1},x_{2},\ldots x_{n}$ $M_{k}$ $M_{k}=M_{{k+1}}=M_{{k+2}}=\ldots$
Naopak, pokud M nad kruhem A splňuje vlastnost z první definice (ekvivalentně z druhé definice) a N je jeho submodul, pak v množině všech konečně generovaných submodulů modulu N existuje maximální submodul . Jestliže pak tím, že vezmeme prvek a zkonstruujeme modul (nebo v nekomutativním případě pro správný modul) zkonstruujeme proti předpokladu větší konečně generovaný modul. N se tedy generuje konečně. $N'\podmnožina N$ $N'\neq N,$ $x\in N/N'$ $N+Ax$ $N+xA$

Nechť je nějaký modul a buď jeho submodul. je noetherian tehdy a jen tehdy a jsou noetherian. $M$ $N$ $M$ $N$ $M/N$

Příklady

Celá čísla , považovaná za modul na kruhu celých čísel, jsou noetherovský modul.
Nechť je úplný kruh matice nad libovolným polem a je množinou sloupcových vektorů nad tímto polem, pak z něj můžeme udělat modul nad tím, že zadáme násobení prvku modulu prvkem kruhu jako násobení sloupce číslem matrice. Pak je tu noetheriánský modul. $R=M_{n}(K)$ $K$ $M$ $M$ $R,$ $M$
Každý modul, který je konečnou množinou, je noetherovský.
Každý definitivně vygenerovaný pravý modul přes pravý noetherovský prstenec (viz definice níže).

Vztahy s jinými strukturami

Asociativní prstenec s jednotkou se nazývá noetheriánský , pokud je noetherovským modulem nad sebou samým, to znamená, že splňuje podmínku přerušení rostoucích řetězců pro ideály . V nekomutativním případě se rozlišují levý noetheriánský a pravý noetheriánský kruh, ale pokud je kruh levý noetheriánský a pravý noetheriánský, nazývá se jednoduše noetheriánský.

Noetheriánskou podmínku lze také definovat pro bimoduly : bimodul se nazývá noetherovský, pokud splňuje podmínku ukončení vzestupného řetězce pro své subbimoduly. Může se stát, že bimodul je noetherovský, zatímco struktury levého a pravého modulu na něm nejsou noetherovské.

Viz také

Modul Artin

Literatura

Atiyah M., McDonald I. Úvod do komutativní algebry. — M.: Mir, 1972
Zarissky O., Samuel R. Komutativní algebra. — M.: IL, 1963
Leng S. Algebra. — M.: Mir, 1968