Submodul

Submodul je podmnožinou modulu , který je podskupinou jeho aditivní skupiny a je uzavřen pod násobením prvky hlavního kruhu . Zejména levý (pravý) ideál prstenu je submodulem levého (pravého) modulu . $R$ $R$ $R$

Související definice

Submodul, který se liší od celého modulu, se nazývá nativní modul .
Submodul se nazývá velký (nebo nezbytný ), pokud má nenulový průsečík s jakýmkoli jiným nenulovým submodulem.
- Například celá čísla tvoří velký podmodul skupiny racionálních čísel.
Každý modul je velkým submodulem svého injektivního pláště .
Submodul modulu se nazývá malý (nebo koesenciální ), pokud pro jakýkoli podmodul rovnost implikuje . $A$ $B$ $A'\subset B$ $A+A'=B$ $A'=B$
- Například každý správný submodul řetězového modulu se ukáže být malý .

Vlastnosti

Sada submodulů daného modulu, uspořádaná podle zahrnutí, je kompletní Dedekindova mřížka .
Součet všech malých submodulů je stejný jako průnik všech maximálních submodulů.
Levý ideál patří k Jacobsonovu radikálu právě tehdy, když je malý pro jakýkoli konečně generovaný levý modul . $já$ $IM$ $M$ $M$
Prvky malého submodulu jsou negenerátory, to znamená, že jakýkoli systém generátorů modulu zůstane takový i po odstranění některého z těchto prvků (to ovšem neznamená, že je lze odstranit všechny najednou!) .
Jacobsonův radikál kruhu endomorfismu modulu se shoduje se sadou endomorfismů s malým obrazem.
Jestliže je homomorfismus modulu v modul , pak se množina ukáže jako podmodul modulu a nazývá se jádro homomorfismu . $\phi$ $A$ $B$
$\phi ^{-1}(0)\subset A$
$A$ $\phi$
- Každý submodul slouží jako jádro nějakého homomorfismu.

Literatura

Kash F. Moduly a kroužky, - per. z němčiny, M. , 1981;
Tvář K. Algebra: kroužky, moduly a kategorie, - per. z angličtiny, svazek 1-2, Moskva , 1977-79.