Dedekindův prsten

V obecné algebře je Dedekindův prsten integrální prsten , ve kterém se každý nenulový správný ideál rozkládá na součin prvočíselných ideálů . Lze ukázat, že v tomto případě je expanze jedinečná až do pořadí faktorů. Níže je několik dalších popisů Dedekindových prstenů, které lze brát jako definici.

Pole je integrální kruh, ve kterém neexistují žádné nenulové vlastní ideály, takže předchozí vlastnost, přísně vzato, platí. Někteří autoři přidávají podmínku „nebýt polem“ k definici Dedekindova kruhu; mnoho dalších autorů se řídí implicitní konvencí, že formulace všech teorémů pro Dedekindovy prstence mohou být triviálně upraveny tak, že platí i pro pole.

Z definice okamžitě vyplývá, že každá doména hlavních ideálů je Dedekindův prsten. Dedekindův kruh je faktoriální právě tehdy, když je hlavní ideální doménou.

Prehistorie vzhledu konceptu

V 19. století se stalo běžnou technikou používat algebraické číselné kroužky k řešení diofantických rovnic . Například ve snaze určit, která celá čísla lze reprezentovat jako , je zcela přirozené faktorizovat kvadratickou formu na faktory , rozklad nastává v kruhu celých čísel kvadratického pole . Podobně pro přirozený polynom (který vzniká při řešení Fermatovy rovnice ) lze rozšířit v mezikruží , kde je primitivní th odmocnina z jednoty . $x^{2}+můj^{2}$ $(x+{\sqrt {-m}}y)(x-{\sqrt {-m}}y)$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {-m)))$ $n$ $z^{n}-y^{n}$ $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ $\mathbb {Z} [\zeta _{n}]$ $\zeta _{n}$ $n$

Pro malé hodnoty a jsou tyto kruhy celých čísel doménami hlavních ideálů; v jistém smyslu to vysvětluje částečný úspěch Fermata ( ) a Eulera ( ) při řešení těchto dvou problémů. Tou dobou znali specialisté na studium kvadratických forem postup kontroly kruhu celých čísel kvadratického pole pro vlastnost „být doménou hlavních ideálů“. Gauss studoval případ : našel devět hodnot vyhovujících vlastnosti a předpokládal, že neexistují žádné jiné hodnoty (Gaussův odhad byl prokázán více než sto let poté). $m$ $n$ $m=1,n=4$ $m=2,3,n=3$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {D)))$ $D<0$ $D$

Ve 20. století si matematici začali uvědomovat, že podmínka hlavních ideálů byla příliš jemná, zatímco podmínka Dedekindova byla silnější a stabilnější. Například Gauss navrhl, že existuje nekonečně mnoho kladných prvočísel , takže kruh celých polí je doménou hlavních ideálů; dodnes se však ani neví, zda existuje nekonečně mnoho číselných polí , jejichž kruhy celých čísel tuto podmínku splňují! Na druhé straně kruh celých čísel číselného pole je vždy Dedekind. $p$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {p}})$

Dalším důkazem této "stability" je, že Dedekindness je lokální vlastnost : Noetheriánský prsten je Dedekind právě tehdy, když jeho lokalizace jakýmkoliv maximálním ideálem je Dedekind. Ale lokálním kruhem je Dedekind právě tehdy, když je hlavní ideální doménou a diskrétním oceňovacím kruhem , takže pro hlavní ideální domény je Dedekindity globalizací diskrétní oceňovací vlastnosti. $R$

Ekvivalentní definice

Pro integrální kruh , který není polem, jsou následující tvrzení ekvivalentní: $R$

Každý nenulový vlastní ideál se rozloží na součin prvočísel;
$R$ je noetherovský a jeho lokalizace vzhledem k jakémukoli maximálnímu ideálu je diskrétní oceňovací kruh;
Nějaký zlomkový ideál prstenu je invertibilní; $R$
$R$ je integrálně uzavřená , noetherovská, a její Krullova dimenze je rovna jedné.

Krullův prsten je "vyšší dimenzí" analogem Dedekindova prstenu: Dedekindovy prsteny (které nejsou pole) jsou přesně Krullovy prstence dimenze 1. Tuto definici Dedekindova prstenu použil N. Bourbaki v komutativní algebře.

Příklady

Všechny oblasti hlavních ideálů, a tedy všechny diskrétní oceňovací kruhy, jsou Dedekind.

Okruh algebraických celých čísel číselného pole K je noetherovský, integrálně uzavřený a má dimenzi 1 (k prokázání posledně jmenovaného stačí poznamenat, že pro jakýkoli nenulový ideál I jsou kruhy R , R / I konečné a konečný integrál prsteny jsou pole), takže R je Dedekind. Toto je základní, motivující příklad pro teorii Dedekindových prstenů. $R={\mathcal {O}}_{K}$

Další příklad, který je neméně důležitý než ten první, poskytuje algebraická geometrie. Nechť C je afinní algebraická křivka nad tělesem k . Potom prstenec souřadnic k [ C ] regulárních funkcí na C je Dedekind. Ve skutečnosti jde pouze o překlad geometrických termínů do algebraického jazyka: souřadnicový kruh afinní variety je podle definice konečně generovaná k - algebra (proto Noetherian); křivka implikuje dimenzi 1 a nepřítomnost singularit implikuje normalitu , tj. integrální uzavření.

Oba příklady jsou speciální případy následující základní věty:

Věta: Nechť R je Dedekindův kruh s tělesem kvocientů K , L konečné rozšíření K a S celočíselný uzávěr R v L . Pak S je Dedekindův prsten.

Aplikováním této konstrukce na R = Z získáme okruh celých čísel číselného pole. R = k [ x ] odpovídá případu algebraických křivek bez singularit.

Zlomkové ideály a ideální třídní skupina

Nechť R je celistvý kruh s tělesem zlomků K . Zlomkovým ideálem kruhu R je nenulový R -podmodul K , pro který existuje nenulové x z K takové, že $xI\subset R.$

Dané dva zlomkové ideály I , J , jejich součin IJ lze definovat jako množinu všech konečných součtů : součin IJ je také zlomkový ideál. Množina Frac(R) všech zlomkových ideálů je tedy komutativní pologrupa a dokonce monoid: prvkem identity je zlomkový ideál R . $\sum _{n}i_{n}j_{n},\ i_{n}\in I,\ j_{n}\in J$

Pro jakýkoli zlomkový ideál I lze definovat zlomkový ideál

I^{*}=(R:I)=\{x\in K\ |\ xI\subset R\}.

Samozřejmě . Rovnosti je dosaženo, když je I invertibilní (jako prvek monoidu Frac(R)). Jinými slovy, pokud mám inverzní prvek, pak tato inverzní je . $I^{*}I\subset R$ $já^*$

Hlavní zlomkový ideál je zlomkový ideál tvaru pro nenulové x v K . Všechny zlomkové ideály jsou reverzibilní: inverzní for je jednoduše . Označte podgrupu hlavních zlomkových ideálů Prin(R). $xR$ $xR$ ${\frac {1}{x}}R$

Integrální kruh R je hlavním ideálním kruhem právě tehdy, když je každý zlomkový ideál hlavní. V tomto případě Frac(R) = Prin(R) = , protože a shodují se právě tehdy, když je invertibilním prvkem R . $K^{*}/R^{*}$ $xR$ $YR$ $xy^{-1}$

Pro libovolný integrální kruh R má smysl podíl monoidu Frac(R) submonoidem Prin(R). Obecně je tento faktor jen monoid. Je snadné vidět, že zlomková ideální třída I ve Frac(R)/Prin(R) je invertibilní právě tehdy, když I je sama invertovatelná.

Nyní je význam třetí definice Dedekindova kruhu jasný: v Dedekindově kruhu - a pouze v Dedekindově kruhu - je každý zlomkový ideál invertovatelný. Dedekindovy kruhy jsou tedy třídou kruhů, pro kterou je Frac(R)/Prin(R) skupina nazývaná ideální třídní skupina Cl(R ) kruhu R. Cl(R) je triviální právě tehdy, když R je hlavní ideální doména.

Jedna ze základních vět algebraické teorie čísel říká, že ideální třídní grupa okruhu celých čísel číselného pole je konečná.

Definitivně vygenerované moduly přes Dedekindovy prsteny

S ohledem na existenci extrémně užitečné strukturní věty pro konečně generované moduly nad doménami hlavních ideálů je přirozené zjistit, zda ji lze rozšířit i na případ Dedekindových prstenců.

Vzpomeňte si na formulaci věty o struktuře pro modul nad doménou hlavních ideálů. Torzní submodul definujeme jako množinu prvků prstence tak, že pro nějakou nenulovou hodnotu . Pak: $M$ $T$ $m$ $M$ $rm=0$ $r$ $R$

(1) lze rozložit na přímý součet cyklických torzních modulů, z nichž každý má tvar pro nějaký nenulový ideál kruhu . Podle čínské věty o zbytku lze každý rozložit na přímý součet modulů tvaru , kde je stupeň prvoideálu. Výsledná expanze modulu je jedinečná až do pořadí faktorů. $T$ $R/I$ $já$ $R$ $R/I$ $R/P^{i}$ $P^{i}$ $T$

(2) Existuje doplňkový submodul modulu takový, že . $P$ $M$ $M=T\oplus P$

(3) je izomorfní pro jednoznačně určené nezáporné celé číslo . Zejména se jedná o definitivně generovaný bezplatný modul. $P$ $R^{n}$ $n$ $P$

Nyní buďme konečně vygenerovaným modulem nad Dedekindovým prstencem. Tvrzení (1) a (2) zůstávají pravdivá i pro něj. Z (3) však plyne, že jakýkoli konečně generovaný beztorzní modul je volný . Zejména z toho vyplývá, že všechny zlomkové ideály jsou hlavní. Jinými slovy, netrivialita ideální třídní skupiny Cl [ R ] je v rozporu (3). Ukazuje se, že počet "dodatečných" definitivně generovaných torzních modulů lze řídit znalostmi ideální skupiny tříd. Pro libovolný konečně generovaný modul přes Dedekindův prstenec příkaz $M$

(3') je izomorfní k přímému součtu projektivních modulů úrovně 1: . Navíc pro všechny projektivní moduly úrovně 1 $P$ ${\displaystyle P\cong I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r))$ ${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{r},J_{1},\ldots ,J_{s))$

{\displaystyle I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}\cong J_{1}\oplus \cdots \oplus J_{s))

proveden tehdy a jen tehdy

r=s

I_{1}\otimes \cdots \otimes I_{r}\cong J_{1}\otimes \cdots \otimes J_{s}.

Projektivní moduly úrovně 1 jsou identifikovány se zlomkovými ideály, takže poslední podmínka může být přeformulována jako

[I_{1}\cdots I_{r}]=[J_{1}\cdots J_{s}]\in Cl(R).

Konečně generovaný modul bez torze tedy lze zapsat jako , kde je projektivní modul úrovně 1. Steinitzova třída modulu P nad R je ideální třída ve skupině Cl(R), je jednoznačně definována [ 1] . Proto $n>0$ $R^{n-1}\oplus I$ $já$ $[I]$ $já$

Teorém. Nechť R je Dedekindův prsten. Pak , kde K 0 ( R ) je Grothendieck grupa komutativního monoidu konečně generovaných projektivních R -modulů. $K_{0}(R)\cong \mathbb {Z} \oplus Cl(R)$

Tyto výsledky stanovil Ernst Steinitz v roce 1912.

Poznámky

↑ Fröhlich & Taylor (1991) s. 95

Literatura

Atiyah M., McDonald I. Úvod do komutativní algebry. - M: Mir, 1972
Bourbaki N. Komutativní algebra. - M: Mir, 1971
Zarissky O., Samuel P. Komutativní algebra sv. 1-2. - M: IL, 1963
Claborn, Luther (1965), Dedekindovy domény a okruhy kvocientů , Pacific J. Math. T. 15: 59–64 , < http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pjm/1102995991 > Archivováno 7. června 2011 na Wayback Machine
Claborn, Luther (1966), Každá abelovská skupina je třídní skupina , Pacific J. Math. T. 18: 219–222 , < http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pjm/1102994263 > Archivováno 7. června 2011 ve Wayback Machine
Clark, Pete L. (2009), Elliptic Dedekind domains revisited , L'Enseignement Mathematique vol . 55: 213–225 , < http://math.uga.edu/~pete/ellipticded.pdf > Archivováno 16. května 2018 v Wayback Machine
Fröhlich, A. & Taylor, MJ (1991), II. Dedekindovy obory, Algebraická teorie čísel , sv. 27, Cambridge studies in advanced matematics, Cambridge University Press , str. 35-101, ISBN 0-521-36664-X
Leedham-Green, C. R. (1972), The class group of Dedekind domains , Trans. amer. Matematika. soc. T. 163: 493–500 , DOI 10.2307/1995734
Rosen, Michael (1976), Elliptické křivky a Dedekindovy domény , Proc. amer. Matematika. soc. T. 57 (2): 197–201 , DOI 10.2307/2041187
Steinitz, E. (1912), Rechteckige Systeme und Moduln in algebraischen Zahlkörpern , Math. Ann. V. 71 (3): 328–354 , DOI 10.1007/BF01456849